Ученики на Учителя.com


Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа № 7»
Способы отбора корней
в тригонометрических уравнениях
Гурова С.Н.
Учитель математики
Мариинск 2019
В профильном варианте ЕГЭ по математике в задании №13 надо «Решить
тригонометрическое уравнение и выполнить отбор корней, удовлетворяющих условию».
Для успешного решения тригонометрических уравнений необходимо знать не только
формулы и методы решения этих уравнений, но и правильно отбирать корни на заданном
промежутке. На экзаменах дорога каждая минута, и четкость, и правильность, и
затраченное время – все влияет на результат, поэтому эта проблема актуальна для всех
учащихся. Для её решения мы рассмотрим все способы на отбор корней
тригонометрических уравнений. Помимо распространённого способа отбора корней с
помощью тригонометрической окружности, в меньшей мере используются
арифметический и алгебраический подходы. Ученик, знающий несколько приёмов
отбора корней, может при решении уравнения выбрать более рациональный.
Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях:
При отборе корней в процессе решения тригонометрических уравнений обычно
используют один из следующих способов.
1) Арифметический способ:
перебор значений целочисленного параметра и вычисление корней.
2) Алгебраический способ:
решение неравенства относительно неизвестного целочисленного параметра и
вычисление корней.
3) Геометрический способ:
изображение корней на тригонометрической окружности с последующим отбором
с учетом имеющихся ограничений.
4) Функционально-графический способ.
Выбор корней с помощью графика простейшей тригонометрической функции.
Каждый из этих способов по-своему хорош и удобен для применения в том или ином
случае.
1 способ. Арифметический:
Перебор значений целочисленного параметра и вычисление корней.
Пример 1. Укажите корни уравнения cos x =
1
, принадлежащие отрезку [
−π ;
3 π
¿
Решение: х =
π
3
+2
πn
, n
Z, х = -
π
3
2 2
+2
πk
, k
Z
Для наглядности изобразим отрезок на числовой прямой
х =
π
3
+2
πn
, n
Z,
х = -
π
3
+2
πk
, k
Z
n
=0, х=
π
+2
π ·
0 =
π
[
−π ;
3 π
¿
k
=0, х= -
π
+2
π ·
0 = -
π
[
−π ;
3 π
¿
3 3 2 3 3 2
n
=1, х=
π
3
+2
π ·
1 =
7 π
3
не прин. [
−π ;
3 π
¿
2
k
=1, х= -
π
3
+2
π ·
1 =
5 π
3
не прин. [
−π ;
3 π
¿
2
n
=-1, х=
π
+2
π
·(-1) =
−5 π
не прин[
−π ;
3 π
¿
k
=-1, х=-
π
+2
π ·
(-1)=
−7 π
не прин[
−π ;
3 π
¿
3 3 2
3 3 2
Ответ: -
π
и
π
.
3 3
2
−
+
− +
2 способ. Алгебраический:
Решение неравенства относительно неизвестного
целочисленного параметра и вычисление корней.
Пример 2. Укажите корни уравнения tg x =−
√
3, принадлежащие отрезку [
−π ;
3 π
¿
Решение: х =
−π
+πn ,n Z
3
−π ≤
π
πn ≤
3 π
разделим на
π
3 2
−
1≤
1
n≤
3
перенесем
−
1
3 2 3
−1+
1
≤ n≤
3
+
1
выполним действия
3 2 3
−
2
≤ n≤
11
3 6
−
2
≤ n≤ 1
5
n
= 0 и
n
= 1, т. к.
n Z
3 6
х = -
π
+πn
3
n
= 0 х = -
π
+π ·0=
−π
3 3
n
= 1 х = -
π
+
π ·1
=
2 π
Ответ:
−
π
и
2 π
3 3 3 3
Решение:
−
3 способ. Геометрический: Изображение корней на тригонометрической
окружности с последующим отбором с учетом имеющихся ограничений
Пример 3. Укажите корни уравнения sin x =
−1
, принадлежащие отрезку [
−π ;
3 π
¿
2 2
х
1
=
π
−
π
+
6
=
−
5 π
6
π π
0
−
6
=
6
π 7 π
π
+
6
=
6
Ответ:
−
5 π
;
−
π
;
7 π
.
6 6 6
Тригонометрическую окружность удобно использовать при отборе корней на
промежутке, длина которого не превосходит 2
π
, или в случае, когда значения обратных
тригонометрических функций, входящих в серию решений, не являются табличными
Пример 4. Укажите корни уравнения sin x =
1
, принадлежащие отрезку [
π
;
5 π
¿
3 2 2
х
1
=
π
- arcsin
1
3
х
2
= 2
π
+ arcsin
1
3
Ответ: 2
π
+ arcsin
1
,
π
- arcsin
1
3 3
4 способ: Функционально-графический
Выбор корней с помощью графика простейшей тригонометрической функции. При
этом подходе требуется умение схематичного построения графика
тригонометрической функции.
Пример 5. Укажите корни уравнения sin x = 0,5,
принадлежащие отрезку [
−π ;
3 π
¿
2
Решение:
х
1
=
π
6
х
2
=
π −¿
π
6
=
5 π
6
Ответ:
π
6
и
5 π
6
Проведя анализ всех решений, можно сделать вывод, что иногда уместно отобрать
корни разными способами, чтобы твёрдо знать, что отбор выполнен верно.
Арифметический способ самый простой, но он становится не эффективным в
следующих случаях:
✓ Если заданные ограничения охватывают большой промежуток, и
последовательный перебор значений приводит к громоздким вычислениям;
✓ И если серии решений содержат нетабличные значения обратных
тригонометрических функций;
Также удобен алгебраический способ отбора корней.
Тригонометрическую окружность удобно использовать при отборе корней на
промежутке, длина которого не превосходит 2π, или в случае, когда значения обратных
тригонометрических функций, входящих в серию решений, не являются табличными.
Скачать материал

Математика - еще материалы к урокам: