Ученики на Учителя.com


Задания школьного этапа ВОШ по математике в 6 классе 2019-2020 учебный год

Задания школьного этапа ВОШ по математике в 6 классе
2019-2020 учебный год
Составитель: Стародубов Сергей Геннадьевич,
учитель математики и информатики и ИКТ
1. Решите задачу (7 баллов)
Календарь представляет собой два кубика, у каждого кубика на всех гранях
написано по цифре. Дату (день месяца) составляют, используя один или два
кубика. Придумайте, как написать цифры на кубиках, чтобы можно было
получить любую дату от 1 до 31. (В ответе напишите, какие цифры должны быть
на одном кубике, а какие – на другом).
2. Решите задачу (7 баллов)
Мама дала Электронику денег, чтобы он в школьном буфете купил завтрак. Когда
Электроник вернулся из школы, то перед мамой отчитался так: «1/2 всех денег я
истратил на батарейки, 1/5 – на чай, а 3/10 – на бутерброд». Мама догадалась, что
Электроник истратил все деньги. Как она это узнала?
3. Решите задачу (7 баллов)
Все внутренние углы выпуклого шестиугольника равны. Длина некоторых сторон
известны: AB = 2; CD = 5; DE = 7; EF = 1. Найдите длину сторон AF и BC.
4. Решите задачу (7 баллов)
Имеется 8 палочек длиной в 1 см., 8 палочек длиной в 2 см. и 7 палочек длиной в
5 см. Можно ли из всех палочек этого набора сложить прямоугольник?
Разламывать палочки нельзя.
5. Решите задачу (7 баллов)
Из цифр 1, 2, 3, 4 составили всевозможные четырехзначные числа, в записи
которых каждая из этих цифр присутствует только один раз. Докажите, что сумма
полученных чисел делится: а) на 2; б) на 3.
Решение и комментарии по оцениванию:
1. Решение.
Например, на одном кубике написаны цифры 0, 1, 2, 4, 5, 6 , а на другом 1, 2, 3, 7,
8, 9.
Замечание. Существуют и другие примеры. Для проверки правильности примера,
достаточно проверить, что:
1) в каждой группе по 6 цифр;
2) все цифры встречаются;
3) можно составить числа 11, 22 и 30 (т.е. в каждой группе есть цифры 1 и 2, а
цифры 0 и 3 находятся в разных группах).
2. Решение.
1/2+1/5+3/10=1, т.е. все деньги.
3. Решение.
Исходный шестиугольник достроим до треугольника:
Так как сумма всех углов шестиугольника равна 720° и все углы равны, то
каждый угол равен 120°. Соответственно, смежные с ними углы равны 60°.
Построенный треугольник равносторонний. Приравняв его стороны легко найти
неизвестные отрезки AF и BC.
Ответ: AF=10, ВС=6
4. Решение.
Если a и b – длины сторон прямоугольника, периметр P = 2(a+b), т.е. P –
четное число целых a и b.
8*1+8*2+7*5 = 8+16+35=59 (см) – нечетное число.
Поэтому из всех палочек данного набора прямоугольник сложить нельзя.
Ответ: нельзя
5. Решение.
Первое доказательство.
а) любое из складываемых чисел можно записать так:
a b c d = 1000a + 100b + 10c + d, (*) где a, b, c, d - некоторая перестановка
цифр в 1, 2, 3 и 4. Четность суммы всех чисел зависит от суммы цифр в разряде
единиц. Но 2 и 4 – и так четные цифры, а 1 и 3 встречаются в сумме по 6 раз
(именно столько существует различных перестановок оставшихся трех цифр).
Поэтому сумма цифр в разделе единиц будет четная.
б) Основная идея доказательства уже приведена в пункте а). Каждая из
цифр в каждом разряде встречается по 6 раз. То есть, складывая все единицы в
числах, получим число кратное 6, обозначим это число 6k; аналогично, складывая
«десятки», получим 6k 10, складывая сотни, получим 6k 100, складывая тысячи,
получим 6k 1000 . Значит и вся сумма делится на 6, т. е. и на 3.
Второе доказательство.
Достаточно просто заметить, что описанных чисел ровно 24 (число
перестановок цифр 1, 2, 3, 4), переписать все эти числа (1234, 1243, 1324, 1342,
1423, 1432 и т. д.) и сложить! Полученная сумма равна 66660, очевидно, делится
на 6, а значит на 2 и на 3
Баллы
Правильность (ошибочность) решения
7
Полное верное решение.
6-7
Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение.
5-6
Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно
и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений.
2-3
Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи.
0-1
Рассмотрены отдельные важные случаи при отсутствии решения (или при ошибочном
решении).
0
Решение неверное, продвижения отсутствуют.
0
Решение отсутствует.
Скачать материал

Математика - еще материалы к урокам: