Конспект урока "Показательные уравнения"
Дисциплина – « Математика»
Тема: « Показательные уравнения »
Цели урока:
• Образовательные: познакомить студентов с определением
показательного уравнения и основными методами решения
простейших показательных уравнений; формировать умения и навыки
правильно определять и применять эти методы при решении
конкретных показательных уравнений.
• Развивающие: применять сформированные знания, умения и навыки в
конкретных ситуациях; развивать логическое мышление,
математическую речь, самостоятельную деятельность студентов,
умения анализировать, обобщать, делать выводы, умозаключения.
• Воспитательные: формировать познавательный интерес к
дисциплине; воспитывать культуру общения, умение работать в
коллективе, взаимопомощи, воспитывать навыки самостоятельности
и саморазвития, взаимоконтроля.
Методическая цель открытого урока: показать методику проведения урока
математики с помощью мультимедийных технологий.
Тип урока: комбинированный.
Методы обучения.
показательно - иллюстративные с применением мультимедийных
технологий: словесный, практический, контролирующий.
Формы организации деятельности студентов: фронтальная, групповая,
индивидуальная.
Междисциплинарные связи: физика, биология, химия, экономика,
геодезия.
Оборудование и технические средства обучения:
ноутбук, мультимедийный проектор, экран, планшеты, электронная версия
сборника задач по математике Н.В. Богомолова, презентации к уроку
«Показательные уравнения», «Применение показательной функции в других
науках», листы с высказываниями ученых, раздаточный материал: карточки
для лото, тестовые задания, карточки с домашним заданием.
Продолжительность урока: 90 мин.
План урока:
1. Организационный момент (2 мин.)
2. Актуализация знаний (20 мин.)
3. Формирование новых знаний ( 30 мин.)
4. Первичное закрепление (35 мин.)
5. Итог урока, выставление оценок ( 2 мин.)
6. Домашнее задание ( 1 мин.)
Ход урока
1. Организационный момент.
Приветствие. Проверка присутствующих и готовности группы к
занятию. Информация об особенностях урока.
2. Актуализация опорных знаний.
➢ Игра «Математическое лото», в ходе которой повторяются свойства
степени. Решив задания, студенты зачеркивают те клетки в карточках,
числа в которых являются, по их мнению, ответами на задания. В
карточке для игры останутся три не зачеркнутых числа. Группа, первая
выполнившая верно задания, объявляется победителем игры. Устно
объясняют ход решения и какие свойства применяли.
Задания для математического лото:
Найти значение выражений
1. (3
0
-
)
- 1
( ответ: 1,25)
2. ( 7 + 2
-3
)
0
(ответ: 8)
3.
(ответ: 1/3)
4.
(ответ: 9)
5.
(ответ: 1)
Карточка для лото
8
- 3
9
1,25
2
1
Не зачеркнутые числа: 2,-3,1/9.
➢ Устный фронтальный опрос по теме: «Показательная функция и ее
свойства».
1. Дайте определение показательной функции?( Ответ: функция вида у = а
х
,
где а называется показательной)
2.Какие из перечисленных ниже функций являются показательными?
1) у = 2
х
2) y = x
2
3) у = (
)
x
4) у = x
5) у = (x - 2)
3
6) у =
7) у = 3
-x
(ответ: 1,3,6,7)
3.Назовите основные свойства показательной функции?
(ответ: Область определения- множество действительных чисе; область
значений- множество положительных чисел; при а функция
возрастает, при 0 функция убывает.)
4.Выберите возрастающие функции:
1)у=4
х
6) у=(2)
-Х
2)у=(
)
Х
7)у=(
Х
3)у=3
Х
8)у= 0,9
Х
4)у=(0,1)
Х
9) у=(
Х
5)у=(
)
- Х
10) у=(
)
Х
(Ответ: 1,3,5,9)
5. Укажите область значений функции у=
(ответ: (-1; )
6. Из предложенных функций выберите ту, график которой изображён на
рисунке.
(Ответ: )
7. Укажите вид графика для функции у =
и у =
(Ответ: у=
– график в, у=
- график а.)
8. Какая из функций будет ближе располагаться к оси ОУ?
1) у=3
х
2) у=4
х
3) у=5
х
4) у=10
х
( Ответ: у=10
х
)
➢ Сообщение студентки: «Применение показательной функции в других
науках» (презентация).
3.Формирование новых знаний.
✓ Постановка проблемной ситуации.
Обратить внимание студентов на высказывания об уравнениях.
“Уравнения – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы”.
С.Коваль.
«Уравнения будут существовать вечно» А.Эйнштейн.
Уравнения для меня важнее, потому что политика - для настоящего, а
уравнения - для вечности. А.Эйнштейн.
1
1. ;
2
x
y
=
1
2. ;
3
x
y
=
3. 2 ;
x
y =
4. 2 .
x
y
−
=
y
x
1
3. 2 ;
x
y =
Вопросы студентам.
1) Что называется уравнением?
Равенство, содержащее неизвестную переменную, называют уравнением.
2) Что значит решить уравнение?
Решить уравнение - означает найти все его корни или установить, что их
нет.
3) Какие из данных уравнений вы знаете? Назовите виды данных уравнений.
1) 2х+1=3х – 1
2) х
2
= 9
3) 2
х+2
= 64
4) х
3
+ х + 1 = 0
5) 3
х +1
- 2 3
х
= 9
6) 2х
4
+ х
2
– 1 = 0
7) 9
х
- 43
х
– 45 = 0
-Уравнение 1) – линейное
- Уравнение 2) – квадратное
- Уравнение 4) – кубическое
- Уравнение 6) - биквадратное
4) Где стоит неизвестная переменная в уравнениях 2),4), 6), а в уравнениях 3),
5), 7)?
Неизвестная переменная в уравнениях 2),4), 6) стоит в основании степени, а
3), 5), 7) – в показателе степени.
Отсюда, сделаем вывод, что 3), 5), 7) относятся к группе... - показательных
уравнений.
Откройте тетради. Запишите число и тему урока.
Вместе со студентами сформулировать цели урока.
✓ Мотивация изучаемой темы.
Тема «Показательные уравнения» является важной темой в математике.
Научившись решать такие уравнения, вы смело будете решать показательные
неравенства.
Показательные уравнения встречаются в заданиях ЕГЭ по математике.
Показательные уравнения широко используются при решении химических и
физических задач. В химии показательные уравнения используются при
решении задач по кинетической химии на применение правила Вант - Гоффа.
✓ Основная часть.
Определение: уравнение, которое содержит неизвестное в показателе
степени, называют показательным уравнением.
• Простейшее показательное уравнение имеет вид
• Если b < 0, то уравнение
не имеет решения.
Рассмотрим основные методы решения показательных уравнений
На конкретных примерах рассмотрим суть каждого метода.
Решение показательных уравнений основывается на свойствах показательной
функции.
1.Приведение обеих частей уравнений к одному и тому же основанию.
Этот метод основан на следующей теореме:
Если a>0 и a ≠ 1, то уравнения a
f(x)
=a
g(x)
и f(x)=g(x) равносильны.
Равенство показателей степени при равных основаниях обусловлено
свойством показательной функции, а именно ее монотонностью. Это
означает, что каждое свое значение функция приобретает при единственном
значении аргумента.
3
х
= 27
каждую часть уравнения представим в виде степени с основанием 3
3
х
=3
3
3
1/2
Приведение к одному
основанию
Методы решения
показательных уравнений
Вынесение общего
множителя за скобки
Замена переменной (приведение к
квадратному уравнению)
3
х
= 3
3,5
Т.к. основания равны, то приравниваем и показатели
х=
Ответ: х=3,5
2. Замена переменной.
9
х
- 4
Т.к 9
х
=(3
2
)
х
, тогда получим уравнение вида:
(3
2
)
х
- 4
- 45=0
Замена: 3
х
=у, у
у
2
– 4у – 45 =0
D=196
у
1
= -5(не удовл. условию у
у
2
= 9
3
х
= 9
3
х
= 3
2
х=2
Ответ: х=2
3.Вынесение общего множителя за скобки.
3
х+1
- 2
3
х
- 2
Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем 3
х
3
х
( 3-2)=9
3
х
3
х
= 9
3
х
= 3
2
х=2
Ответ: х=2.
Далее каждая группа выбирает один из методов, и составляет для него
алгоритм решения.
4. Первичное закрепление изученного материала.
М. В. Ломоносов говорил «Теория без практики мертва и бесплодна,
практика без теории невозможна и пагубна. Для теории нужны знания,
для практики сверх того, и умения».
И вот теперь вы должны проявить свои умения при решении различных
показательных уравнений.
1)Определить метод решения показательных уравнений и решить их на
доске. К доске выходят студенты решать эти уравнения.
2.3
х-1
-3
х
+ 3
х+1
= 63
3.7
2х
– 67
х
–7 = 0
Решения:
Так как 3 1, то
х
2
– 9х +20=0
х
1 =
4, х
2
=5.
Ответ: х
1
=
4, х
2
= 5.
2. 3
х-1
- 3
х
+ 3
х+1
= 72
Выносим общий множитель за скобки:
3
х-1
(
3
х
3
х
= 9
3
х
= 3
2
х = 3
Ответ: х = 3.
3. 7
2х
– 67
х
–7 = 0
Введем новую переменную у=7
х
Получаем: у
2
–6 у – 7=0
D=64
у
1
= - 1 у
2
= 7
Переходим к замене:
7
х
= -1 – не имеет решения
7
х
= 7
х=1
Ответ: х=1
2) Внимательно проанализируйте ход решения уравнения и найдите ошибки.
(устно)
1. 64
х
– 8
х
– 56 = 0
(8
2
)
х
– 8
х
– 56 = 0;
8
х
= у;
у
2
– у – 56 = 0;
D = 1 - 4·(-56) = 1 + 224 = 225 = 15
2
.
у
1,2
=
;
у
1
= -7; у
2
= 8
= -7;
= 8
1
;
х =
х= 1
Ответ: х =
, х= 1.
2. 5
х-3
= - 5
х-3 = -1
х=3-1
х=2
Ответ: х=2
3) Заполните пропуски при решении данного уравнения.(на доске)
5
Решение:
2х+6
3 – 4х =
-6х =
х = 3:
х =
Ответ: - 0,5.
Решение:
;
;
=0;
х = 0 или ;
х = - 2;
Ответ: 0 и -2.
4)Выполнение теста по вариантам с взаимопроверкой.
1 вариант
1. Найдите корень уравнения: 27
х
= -27
а) нет корней б) – 1 в) 0
2. Найдите корень уравнения: 9
-9+х
=729
а) -6 б) 12 в) -12
3. Найдите корень уравнения:
= 64
а) 6 б) 9 в) 0
4. Найти сумму корней уравнения
а) 1 б) -1 в) 9
5. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения
а)
б) (5; 7) в)
2 вариант
1. Найдите корень уравнения: 125
х
= -125
а) нет корней б) 3 в) 5
110
2
2
=
−+хх
2. Найдите корень уравнения: 5
3 - х
=125
а) -3 б) 0 в) -1
3. Найдите корень уравнения:
= 49
а) - 3 б) 5 в) 1
4. Найдите сумму корней уравнения
а) – 2 б) 3 в) - 3
5. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения
а)
б) (0; 1) в)
ответы к тесту:
1
2
3
4
5
В-1
а
б
в
б
а
В-2
а
б
в
б
а
На обратной стороне имеется картинка, на которой вы отмечаете верные
ответы. По горизонтали - номера вопросов, а по вертикали - ответы.
Отметьте верные ответы и соедините все точки, начиная с 1 и до последней.
Получается улыбка, как показано на рисунке.
5) Самостоятельная работа обучающего характера:
Решить показательные уравнения из сборника Н.В. Богомолова (стр.20-21).
Решения проверяются учителем дома.
Вариант 1: № 90(3), № 91(2), № 93(4)
Вариант 2: № 90( 2), № 93( 1),№ 93(2)
5. Рефлексия. Выставление оценок.
Продолжите фразу:
Сегодня на уроке я узнал….
Теперь я могу….
Было интересно….
Знания, полученные сегодня на уроке, пригодятся….
6. Домашнее задание.
Студентам предлагаются задания трех уровней сложности. Каждый
определяет свой уровень самостоятельно.
Решить уравнения, выбрав один из трех уровней.
1 уровень – «3»
2 уровень – «4»
3 уровень – «5»
8
2x-3
= 1
10
2x
= 0,1·
· = 4
-1,25
2
x+2
+ 2
x
= 5
5
x+1
– 3 · 5
x-2
= 122
3
x+1
– 4 · 3
x-2
= 69
9
x
– 6 · 3
x
– 27 = 0
4
x
– 14· 2
x
– 32 =0
9
x
- 2 · 3
x
= 63
2
2х
= 4
2√3
5
х+4
·5
1-2х
= 0,2
3
x
–
= 24
25
х
=0
2*3
х+1
−6*3
х-1
−3
х
=9
Литература:
1. Математика: Учебник / А.А. Дадаян. - 3-e изд. - М.: Форум: НИЦ
ИНФРА-М, 2013. - 544 с.
2. Математика: Учебное пособие / Н.А. Березина, Е.Л. Максина. - М.:
ИЦРИОР: НИЦ Инфра-М, 2013. - 175 с.
3. Алгебра и начала математического анализа. А.Г. Мордкович. В 2-х ч.-М.
Мнемозина, 2013.-400 с.
4. Богомолов Н.В. Сборник задач по математике.- М.: Дрофа, 2003
Интернет - ресурсы:
1. решу егэ.ру
2. www.urokimatematiki.ru
3. interneturok.ru
Математика - еще материалы к урокам:
- Презентация "Методы решения систем уравнений с двумя переменными" 9 класс
- Презентация "Метод рационализации при решении логарифмических неравенств" 1 класс
- Краткосрочный план "Сложение чисел с разными знаками" 6 класс
- Конспект урока "Порядок выполнения действий в выражениях" 3 класс УМК «Гармония»
- Рабочая программа по математике 6 класс к УМК Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина
- Система подготовки к ОГЭ по математике
