Конспект урока "Показательные уравнения" 10 класс
БОУ СПО «Чебоксарский медицинский колледж» Минздравсоцразвития Чувашии
Конспект урока по алгебре
в 10 классе
Показательные уравнения.
подготовила
преподаватель математики
Вернова Наталья Евгеньевна
Чебоксары 2014
Тема:
Показательные уравнения
Семестр: 1 семестр
Курс: 1 (либо 10 класс)
Тип занятия:
Урок овладения новым материалом.
Вид занятия:
Аудиторное теоретическое занятие
Цели занятия:
Образовательные:
1. Знать основные методы решения показательных уравнений.
2. Уметь точно определять конкретный метод решения показательного уравнения.
3. Уверенно и быстро решать показательные уравнения средней сложности.
Воспитательные:
1. Воспитывать творческое отношение к труду.
2. Воспитывать умение работать в команде для достижения
поставленной цели.
3. Воспитывать положительное отношение к приобретению новых знаний;
4. Воспитывать ответственность за свои действия и поступки;
Развивающие:
1. Развивать интерес к изучению алгебры.
2. Формировать навыки логического мышления;
3. Формировать умения и навыки учебного труда.
Межпредметные
связи:
1. Физика
2. Геометрия
Внутрипредметные
связи:
1. Свойства степени
2. Решение квадратных уравнений
Методы обучения:
Интерактивная лекция
Планируемый
результат:
Студент знает:
1. Свойства показательной функции
2. Методы решения показательных уравнений
Студент умеет:
1. Определять метод решения показательного уравнения
2. Решать показательные уравнения различной сложности
Структура занятия:
1. Постановка задачи занятия
2. Интерактивное повторение
3. Объяснение нового материала: Разбор методов решения показательных уравнений.
4. Решение проверочных заданий на все изученные методы
5. Объяснение решений более сложных уравнений
6. Выполнение заданий на проверочных карточках
7. Проведение игры «Математический лабиринт»
8. Домашнее задание
9. Подведение итогов
Ход занятия:
1
Постановка задачи:
Друзья! Сегодня на уроке, мы рассмотрим основные методы решения показательных уравнений, что даст нам возможность
решать их уверенно и быстро.
Актуальность:
Чтобы понимать суть явлений происходящих в природе необходимо знание свойств показательной функции.
Чтобы выполнять расчеты отдельных физических процессов, необходимо умение решать показательные уравнения.
Мотивация:
Студенты медицинского колледжа как будущие медицинские работники должны уметь рассчитывать необходимые физические
процессы, протекающие в организме больного.
2
Интерактивное
повторение:
1. Определение
показательной функции:
Необходимо вспомнить определение и затем проверить себя, выполнив щелчок по кнопке
«Проверить»
Ответ:
Функция вида
где заданное число, .
2. Свойства показательной
функции
Необходимо вспомнить все свойства и затем проверить себя, выполнив щелчок по кнопке
«Проверить»
Ответ:
1. Область определения: все действительные числа, то есть ()
2. Множество значений: положительные числа, то есть
3. График функции проходит через точку
4. Функция возрастает при и убывает при
3. Какие из приведенных
функций являются
показательными?
Выбрать показательные функции и щелкнуть по кнопке «Проверить»
1.
2.
3.
3
Объяснение нового
материала: Разбор
методов решения
показательных
уравнений.
1 метод:
Приведение к общему основанию
Заметим, что
поэтому есть возможность перейти к основанию ,
получим:
Итак, слева и справа в нашем уравнении стоят степени с одинаковыми основаниями,
значит можно воспользоваться свойством показательной функции (если
то равенство
тогда и только тогда, когда
и отбросить их.
Имеем:
Мы получили простейшее уравнение. Решая его, получаем:
2 метод:
Приведение к общему показателю
Обратим внимание на то, что в левой части нашего уравнения показателем степени
является , а в правой части показателем степени является . Чтобы привести степени
к общему показателю, воспользуемся свойством степени
и представим левую часть уравнения в виде
,
получим:
Итак, слева и справа в нашем уравнении стоят степени с одинаковыми показателями,
значит можно разделить левую часть уравнения на правую часть этого уравнения
получим:
, то есть
Теперь самое время воспользоваться свойством степени
, то есть в наше
случае получаем
Итак,
Друзья! Вам, конечно, известно, что любое число в нулевой степени равняется
единице! Воспользуемся этим! Представим
Получаем:
Так как
то полученное уравнение равносильно уравнению
3 метод:
Вынесение за скобку общего
множителя
Обратим внимание на то, что в левой части нашего уравнения находится
алгебраическая сумма степеней с одинаковыми основаниями и разными показателями.
Вынесем в левой части уравнения степень с меньшим показателем за скобки, получим:
, то есть
Имеем,
Или
Разделим обе части уравнения на 2, получим
Не забудьте, что
, получаем:
Так как то полученное уравнение равносильно уравнению
4 метод:
Приведение к квадратному
уравнению
Обратите внимание на то, что в левой части уравнения присутствуют степени с
одинаковыми показателями и разными основаниями.
Рассмотрим основания степеней, находящихся в левой части нашего уравнения, это
числа 25 и 5
Заметим, что
Поэтому наше уравнение можно записать
Или,
Теперь, самое время ввести подстановку.
Пусть
тогда
Получаем,
Друзья! Мы получили обычное квадратное уравнение. Предлагаю вам решить его
самостоятельно, так как изучение этой темы относится к программе 8 класса.
В процессе решения, я надеюсь, вы получили следующие ответы
Полученные ответы являются лишь промежуточным решением, поэтому нам
необходимо вернуться к нашей подстановке, где
. Так как в процессе решения
образовалось два значения , то возвращаться будем дважды.
1)
- нет решений, так как
свойство показательной
функции
2)
, то есть
имеем – корень нашего уравнения
Итак,
4
Решение проверочных
заданий на все
изученные методы
Задания необходимо решить самостоятельно, а затем нажать кнопку «Проверка» , чтобы проверить и уточнить свое решение.
Решение:
Ход решения:
Необходимо перейти к степеням с
одинаковыми основаниями. Для этого выделим
1.
2.
3.
4.
Ответ:
основание
в правой части уравнения:
1. Представим
2. Так как
то полученное
уравнение равносильно уравнению
3. Решаем простейшее уравнение,
находим
Решение:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Ответ:
Ход решения:
Необходимо перейти к степеням с
одинаковыми показателями. Для этого
выделим показатель в правой части
уравнения:
1. Представим
1. Разделим левую часть уравнения на
правую
2. Применим свойство степени
в нашем случае
3.
=
=
4. Заметим, что
5. Так как
то полученное
уравнение равносильно уравнению
6. Получаем ответ
Решение:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Ответ:
Ход решения:
В левой части уравнения находится
алгебраическая сумма степеней с одинаковыми
основаниями и разными показателями.
Вынесем степень с меньшим показателем за
скобки
Подсчитаем сумму чисел в скобках
Разделим обе части уравнения на 65
Заметим, что
так как то полученное
уравнение равносильно уравнению
Решаем простейшее уравнение, находим
Решение:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Ответ:
Ход решения:
Заметим, что в левой части уравнения стоят
степени с одинаковыми показателями, но
разными основаниями. Обратим внимание на
эти основания и увидим, что
1. Запишем исходное уравнение в виде
2. Введем подстановку
Получаем простое квадратное уравнение и
решаем его
Возвращаемся к первой подстановке
отсюда
Возвращаемся к первой подстановке
отсюда
5
Объяснение решений
более сложных
уравнений
Друзья! Мы научились решать простейшие показательные уравнения, но этого не достаточно, чтобы справиться с более
сложными математическими проблемами. Предлагаю рассмотреть решения более сложных показательных уравнений. Для их
решения необходимо применение всех изученных выше методов решения и свойств показательной функции и свойств степени.
1.
Метод - Приведение к общему
основанию с использованием
свойств степени
1. В левой части уравнения обратим внимание на то, что
и запишем наше
уравнение в виде
2.
3. Заметим, что в левой части уравнения теперь отчетливо видно произведение двух
степеней с одинаковым основанием. Применим свойство степени
, в
нашем случае
4.
5. Заметим, что
, и запишем наше уравнение в виде
6.
, получили степени с одинаковыми основаниями. Отбрасываем
основания и получаем:
7. решаем это уравнение и находим ответ
8.
2.
Метод - Приведение к общему
основанию с использованием
свойств степени
1. В левой части уравнения можно заметить произведение степеней с разными
основаниями и разными показателями. Обратим внимание на основания этих
степеней и увидим, что
и
поэтому мы можем записать
исходное уравнение в идее
2.
3. Применим свойство степени
, в нашем случае
имеем
4.
5. Применим свойство степени
, в нашем случае
имеем
6.
так как
то
7.
или
8.
решаем обычное квадратное уравнение, получаем
9.
3.
Метод - Приведение к общему
Грозное на вид уравнение, но давайте разберемся!
1. Для начала представим
и
основанию с использованием
свойств степени
2. Представим
тогда можно записать исходное уравнение в виде
3.
уже лучше, но в левой части уравнения нужно применить
свойство степени
, в нашем случае
получим
4.
теперь применим свойство степени
, в нашем
случае
.Имеем
5.
так как то
6.
или
7.
разделим обе части уравнения на 2 и получим
8.
решаем обычное квадратное уравнение, и находим его корни
9.
4.
Метод – вынесение степени с
меньшим основанием за скобку
В левой и правой частях данного уравнения записана алгебраическая сумма степеней с
разными основаниями и разными показателями. Соберем степени с одинаковыми
основаниями в разных частях уравнения.
1. Перенесем степени с основанием 3 в левую часть уравнения, а степени с
основаниями 5 в правую, получим
2.
3. В каждой части уравнения вынесем за скобку степень с меньшим показателем
4.
отсюда
5.
разделим обе части уравнения на 2, получим
6.
Получили степени с одинаковыми показателями, воспользуемся
методом-2 и разделим левую часть уравнения на правую часть
7.
тогда
8.
отсюда
9.
так как
то
10.
11.
5.
Метод - Приведение к общему
основанию с использованием
свойств степени.
1. Перейдем к основанию 5 в левой и правой частях уравнения
2. Представим
и
получим
3.
применим свойство степени
, в нашем случае
тогда наше уравнение примет вид
4.
так как то
5.
умножим обе части уравнения на 2
6.
возведем обе части уравнения в квадрат
7.
раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые
8.
решаем квадратное уравнение и находим корни
9.
6
Выполнение заданий на
проверочных карточках.
В первом задании
выполнить решение и
ввести в специальное
окно ответы через
запятую
Во втором задании
выбрать вариант ответа
(1 и 2 карточки) или (3 и
4 карточки) ввести в
специальное окно
ответы через запятую
Карточка №1
1. Решить уравнение:
2. Какое из чисел -2, 0, 1 являются корнями уравнения
Карточка №2
1. Решить уравнение:
2. Какое из чисел -1, 0, 3 являются корнями уравнения
Карточка №3(повышенный уровень)
1. Решить уравнение:
2. Решить уравнение:
Карточка №4(повышенный уровень)
1. Решить уравнение:
2. Решить уравнение:
Проведение игры
«Математический
лабиринт
Друзья! Предлагаю вам немного поиграть. Правила очень просты. Вы решаете показательные уравнения и выбираете
правильные ответы. В зависимости от этого вы попадаете на ту или иную станцию. В конечном итоге вы попадете либо домой,
либо в темный лес.
8
Домашнее задание
Решение упражнений из учебника №222, 223, 226 (четные пункты)
1
0
Литература
«Алгебра и начала математического анализа» 10-11 классы: учебник для общеобразовательных учреждений: базовый
уровень/[Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин. М.В. Ткачева и др].-17-е изд.- М. : Просвещение, 2011.-464с.
Алгебра - еще материалы к урокам:
- Конспект урока "Преобразование тригонометрических выражений" 10 класс
- Презентация "Вычисление значений тригонометрических выражений и применение основных тригонометрических формул к преобразованию выражений" 10 класс
- Конспект урока "Применение тригонометрических формул к преобразованию выражений" 10 класс
- Презентация "Построение графиков квадратичной функции" 9 класс
- Конспект урока "Построение графиков квадратичной функции" 9 класс
- Конспект урока "Поворот и параллельный перенос" 9 класс
