Презентация "Скалярное произведение векторов" 7-9 класс

• Скалярное произведение
• векторов

• Л.С. Атанасян "Геометрия 7-9"

• 1

• 2

• 9

• 6

• 12

• 11

• 10

• 8

• 7

• 4

• 5

• 3

• a

• b

• Угол между векторами

• a

• b

• a

• b

• 

• =

• 

• Градусную меру этого угла обозначим буквой

• 

• Лучи ОА и ОВ образуют угол АОВ.

• Угол между векторами и
• равен

• 

• a

• b

• О

• А

• В

• Угол между векторами

• a

• b

• a

• b

• 

• a

• b

• 

• Градусная мера угла не зависит от выбора точки О, от которой откладывают
• векторы и

• a

• b

• 

• Обоснуем это с помощью рисунка.

• О1

• О2

• 

• a

• d

• Найти углы между векторами.

• b

• 300

• a

• b

• =

• c

• f

• 300

• a

• c

• =

• b

• c

• =

• d

• f

• =

• d

• c

• =

• 1200

• 900

• 1800

• 00

• a

• b

• d

• f

• Два вектора называются перпендикулярными,
• если угол между ними равен 900.

• b

• c

• 

• b

• d

• 

• b

• f

• 

• № 1039 Диагонали квадрата пересекаются в точке О. Найдите углы между векторами.

• 450

• АВ, АС =

• А

• В

• С

• D

• О

• АВ, DА =

• OА, OB =

• АO, OC =

• OА, OС =

• АC, BD =

• АD, DB =

• 900

• 900

• 1800

• 900

• 1350

• 00

• № 1040 Диагонали ромба пересекаются в точке О,
• диагональ ВD равна стороне ромба.
• Найдите углы между векторами.

• 600

• АВ, АD =

• А

• В

• С

• D

• О

• АВ, DА =

• BА, AD =

• OC, OD =

• АB, DC =

• 1200

• 1200

• 900

• 00

• АB, CD =

• 1800

• Сумма векторов – вектор.

• Разность векторов – вектор.

• Произведение вектора на число – вектор.

• Скалярное произведение векторов – число.

• Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.

• a

• b

• =

• a

• b

• cos( )

• a

• b

• a

• b

• =

• a

• b

• cos 900

• a

• b

• = 0

• 0

• Если векторы и перпендикулярны, то скалярное произведение векторов равно нулю.

• a

• b

• Обратно: если , то векторы и перпендикулярны.

• a

• b

• = 0

• a

• b

• a

• b

• = 0

• a

• b

• 

• 

• Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

• a

• b

• = 900

• a

• b

• =

• a

• b

• cos

• a

• b

• Скалярное произведение ненулевых векторов положительно тогда и только тогда , когда угол между векторами острый.

• a

• b

• > 0

• 

• 

• > 0

• > 0

• a

• b

• < 900

• a

• b

• < 900

• a

• b

• =

• a

• b

• cos

• a

• b

• Скалярное произведение ненулевых векторов отрицательно тогда и только тогда , когда угол между векторами тупой.

• a

• b

• < 0

• 

• 

• < 0

• < 0

• a

• b

• > 900

• a

• b

• > 900

• a

• b

• =

• a

• b

• =

• a

• b

• cos 00

• a

• b

• 1

• a

• b

• = 00

• Если

• a

• b

• a

• b

• =

• a

• b

• cos1800

• a

• b

• -1

• a

• b

• = 1800

• Если

• a

• b

• = –

• a

• b

• a

• a

• =

• a

• a

• cos

• a

• 00

• 1

• a

• a

• = 00

• a

• a

• =

• =

• a 2

• Скалярное произведение называется
• скалярным квадратом вектора и обозначается

• a

• a

• a

• a 2

• Таким образом,
• скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

• a 2

• =

• a 2

• b

• a

• c

• a

• b

• < 0

• 350

• a

• c

• c

• b

• = 0

• > 0

• a

• a

• n

• a

• n

• > 0

• < 0

• c

• n

• = 0

• b

• n

• < 0

• Определите знак
• скалярного произведения.

• Скалярное произведение в физике

• A = F MN cos

• 

• F

• 

• N

• M

• A = F MN

• точку N равна произведению силы F и перемещения MN на косинус угла между ними.

• Скалярное произведение векторов встречается в физике. Например, из курса механики известно, что работа A постоянной силы F при перемещении тела из точки M в

• А

• В

• С

• Найти скалярное произведение векторов

• MN MB =

• MN MB

• MN, MB =

• cos

• M

• N

• 4

• 2

• 1

• 4 =

• 2

• 2 2 cos 600 =

• =

• 2

• 2

• MN CA =

• MN CA

• MN, CA =

• cos

• 2 4 cos 1800 =

• =

• 8 (-1) =

• –8

• NM CB =

• NM CB

• NM, CB =

• cos

• 2 4 cos 600 =

• =

• 4

• 2

• 1

• 8 =

• А

• В

• С

• Найти скалярное произведение векторов

• AC CB =

• AC CB

• AC, CB =

• cos

• D

• 4

• – 8

• 4 4 cos 1200 =

• 2

• 1

• 16 (– ) =

• 16 (– cos 600) =

• =

• CB CB =

• CB2 =

• CB 2 =

• 42

• =16

• AC BD =

• 0

• AC BD

• 

• т.к.

• CB BC =

• – BC2 =

• – BC 2 =

• – 42

• = –16

• – BC BC =

• Заполните пропуски, чтобы получилось верное высказывание

• С

• А

• В

• 300

• 900

• АС, СВ =

• АВ, СА =

• 1500

• АВ, СВ =

• 600

• CВ CА =

• 0

• CВ СА

• 

• т.к.

• АВ ВА =

• – BА2 =

• – BА 2 =

• – 62

• = –36

• – BА BА =

• 6

• …

• …

• …

• …

• …

• Маленький тест

• 9

• 18

• 2

• ВЕРНО!

• 1

• 3

• ПОДУМАЙ!

• ПОДУМАЙ!

• Проверка

• 9

• С

• А

• В

• 300

• 6

• ВС ВА =

• ВС ВА

• ВС, ВА =

• cos

• 2

• 1

• 18

• 6 3 cos 600 =

• 600

• Скалярное произведение векторов
• и :

• АС ВА

• отрицательно;

• положительно.

• 1

• ВЕРНО!

• 2

• 3

• ПОДУМАЙ!

• ПОДУМАЙ!

• Проверка (2)

• С

• А

• В

• 300

• 6

• равно нулю;

• отрицательно, т.к. угол между
• векторами тупой

• Скалярное произведение координатных векторов
• и :

• 3

• ВЕРНО!

• 2

• 1

• ПОДУМАЙ!

• ПОДУМАЙ!

• Проверка

• равно нулю, т.к. угол между
• векторами прямой

• i

• j

• О

• 1

• x

• y

• i

• j

• 1

• – 1

• 0

• 1

• ВЕРНО!

• 2

• 3

• ПОДУМАЙ!

• ПОДУМАЙ!

• Проверка

• Скалярный квадрат вектора равен:

• i

• 1

• – 1

• 0

• Скалярный квадрат вектора
• равен квадрату его длины.

• i 2 = i 2 = 12 = 1

• 1

• ВЕРНО!

• 2

• 3

• ПОДУМАЙ!

• Проверка (4)

• a

• b

• = 00

• если

• a

• b

• Если

• a

• b

• = 12,

• a = 3,

• b = 4,

• то векторы и :

• a

• b

• сонаправлены;

• противоположно направлены.

• перпендикулярны;

• 3

• 4

• ПОДУМАЙ!

• 12

• a

• b

• =

• a

• b

• cos

• a

• b

• cos = 1

• a

• b

• 12 = 3 4 cos

• a

• b

• ПОДУМАЙ!

• 3

• 2

• 1

• ПОДУМАЙ!

• Проверка (4)

• x

• y

• = 1800

• если

• x

• y

• Если

• x

• y

• = –20,

• x = 4,

• y = 5,

• то векторы и :

• x

• y

• сонаправлены;

• противоположно направлены.

• перпендикулярны;

• 4

• 5

• –20

• x

• y

• =

• x

• y

• cos

• x

• y

• cos =

• x

• y

• –20 = 4 5 cos

• x

• y

• ВЕРНО!

• –1

• 3

• ВЕРНО!

• 2

• 1

• ПОДУМАЙ!

• ПОДУМАЙ!

• Проверка

• 500

• 600

• 1200

• m

• n

• = –15,

• m = 5,

• n = 6.

• Найдите угол между векторами и , если

• m

• n

• Скалярное произведение ненулевых векторов отрицательно тогда и только тогда , когда угол между векторами тупой

• ПОДУМАЙ!

• 2

• 3

• 1

• ПОДУМАЙ!

• Проверка (3)

• a

• b

• = 600

• Если

• a

• b

• = 12,

• a = 3,

• b = 8,

• то угол между векторами
• и равен:

• a

• b

• 3

• 8

• 12

• a

• b

• =

• a

• b

• cos

• a

• b

• cos =

• a

• b

• 12 = 3 8 cos

• a

• b

• ВЕРНО!

• 300

• 600

• 1200

• 2

• 1