Связь координат векторов с повседневной жизнью (статья)
ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ КЕМЕРОВСКОЙ ОБЛАСТИ
Государственное образовательное учреждение среднего профессионального
образования
Кемеровский профессионально-технический техникум
Связь координат векторов с повседневной жизнью (статья)
Подготовил преподаватель математики
Валеева Людмила Леонидовна
Кемерово 2015
В данной статье будем рассматривать векторы в пространстве, то есть,
вектора с тремя координатами (х, у,z).
Рассмотрим три примера, показывающие взаимосвязь координат векторов
и моменты жизни, которые происходят с большинством людей.
Пример 1:
Водитель машины Honda выехал из магазина автозапчастей
«Автоплаза», имеющей координаты (2; 6; 3), в автосервис «Бизон» с
координатами (4; 0; 6). Необходимо вычислить длину перемещения данного
водителя.
В декартовой системе координат это выглядит следующим образом:
Для удобства схематично изобразим путь следования водителя.
В нашем случае точка А означает начало пути, то есть магазина
автозапчастей «Автоплаза», имеющей координаты (2; 6; 3). Точка В, в нашем
случае, это автосервис «Бизон», то есть конец пути, с координатами (4; 0; 6).
Необходимо вычислить длину перемещения данного водителя, значит,
нам нужно найти длину вектора .
Чтобы найти длину вектора АВ. Сначала найдем координаты вектора ,
для этого необходимо вычесть из координат точки В, соответствующие
координаты точки А. Получим первая координата будет 4 – 2 =2, вторая 0 – 6 =
- 6 и третья: 6 – 3 =3. В результате получаем вектор .
Для нахождения длины данного вектора воспользуемся формулой:
, где вектор имеет координаты {х, у, z}.
[1]
Поставляя наши координаты в формулу,
получаем: .
Получается, что водитель машины Honda имеет длину перемещения
равную семи.
Пример 2.
Автолюбитель Иван Петрович выехал из дома, имеющие координаты (3;
-2; 5) на работу. По пути он заехал на автомойку имеющей координаты (5; 3; 8),
что оказалось ровно на середине его пути. Необходимо определить координаты
работы Ивана Петровича.
Для начала схематично изобразим путь следования водителя.
В нашем случае точка А означает начало пути, то есть местоположение
дома, имеющего координаты (3; -2; 5). Точка Р в нашем случае это автомойка,
находящиеся на середине пути Ивана Петровича из дома на работу и имеет
координаты (4; 0; 6). Точка В - это местонахождения работы Ивана Петровича,
координаты которой нам необходимо найти.
Чтобы найти координаты точки В воспользуемся формулой для
нахождения координат середины отрезка. , где Р
середина отрезка АВ. Точка А имеет координаты {х
1
, у
1
, z
1
}. Точка В {х
2
, у
2
,
z
2
}.
[2]
Обозначим координаты Р через {х, у, z}, нам нужно найти {х
2
, у
2
, z
2
}. Для
этого составим и решим следующие уравнения:
;
;
.
Из первого выразим х
2
. Для этого сначала обе части помножим на 2.
Получим уравнение вида: 2х=х
2
– х
1
.
Тогда х
2
=2х + х
1
. В данное выражение подставляем вместо х четыре, а
вместо х
1
три. Получаем, что х
2
=2*4+3=8+3=11.
Аналогично находим из второго у
2
и из третьего z
2
.
Из второго выражаем у
2
. Для этого сначала обе части помножим на 2.
Получим уравнение вида: 2у=у
2
– у
1
.
Тогда у
2
=2у + у
1
. В данное выражение подставляем вместо у ноль, а
вместо у
1
минус два. Получаем, что у
2
=2*0+(–2)=–2.
Из третьего выражаем z
2
. Для этого сначала обе части помножим на 2.
Получим уравнение вида: 2z=z
2
– z
1
.
Тогда z
2
=2z + z
1
. В данное выражение подставляем вместо z шесть, а
вместо z
1
пять. Получаем, что z
2
=2*6+5=12+5=17.
В результате мы получили, что координаты точки В {11; –2; 17}.
Пример 3.
Два водителя машины Honda Accord и Honda Torneo выехали из одного
автосалона в разные направления. Известно, что дороги, по которым поехали
водители, пересекались под углом в 60
0
. Также известно, что первый водитель
проехал 3 км, а второй 4 км. Необходимо найти скалярное произведение
направляющих векторов данных машин.
Для начала схематично изобразим путь следования водителей.
В нашем случае точка А означает начало пути, то есть местоположение
автосалон. Точка В, в нашем случае, это конец пути машины Honda Torneo.
Точка С это конечное местоположение машины Honda Accord. Также нам
известно, что дороги, по которым следовали данные машины, пересекаются под
углом в 60
0
.
Что бы найти скалярное произведение направляющих векторов и
данных машин, воспользуемся формулой:
, где | | и | | это длины векторов
и . В нашем случае они равны 4 км и 3 км соответственно. =
cos60
0
=1/2=0,5.
Подставляя все наши данные в формулу, получаем: =4*3*0,5=6.
Итак, конечно можно привести много примеров, которые показывают,
где в повседневной жизни можно применить координаты векторов. Но данные
три задевают основные формулы координат векторов.
[3]
Основные источники:
1. Атанасян, Л.С. Геометрия [Текст]: учебник для 10-11 классов
общеобразовательных учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.
Кадомцев. – 16–е изд., доп. – М.: Просвещение, 2008. – 256с. [Рекомендовано
МОиН РФ].
2. Богомолов, Н.В. Математика [Текст]: учебник для сред. проф. образ./ Н.В.
Богомолов, П.И. Самойленко. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2009. – 365с.
– [Допущено МО РФ].
3. Богомолов, Н.В. Сборник задач по математике [Текст]: учебное пособие для
сред. проф. образ./ Н.В. Богомолов. – 5-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2009. –
204с. – [Допущено МО РФ].
Периодические издания (отечественные журналы):
1. Научные исследования в образовании [Текст] : приложение к журналу
«Профессиональное образование. Столица» / учредители Департамент
образования города Москвы; Российская академия образования;
Академия профессионального образования. – 2006 – . – Москва :
НИИРПО, 2012 – . – Ежемес.
2. Образование. Карьера. Общество [Текст] : учредитель ГОУ «Кузбасский
региональный институт развития профессионального образования». –
2005 -.- Кемерово : ГОУ « КРИРПО», 2010 -.- Ежеквар. -
[http://www.krirpo.ru/].
3. Профессиональное образование. Столица [Текст]: информационно-
педагогическое, научно-методическое издание / учредители
Департамент образования города Москвы; Российская академия
образования; Академия профессионального образования. – 1997 – . –
Москва : НИИРПО, 2012 – . – Ежемес. [http://www.e-profobr.ru/].
Интернет-ресурсы:
1. Вся математика в одном месте – математический портал [Электронный
ресурс]. - Режим доступа : http://www.allmath.ru, свободный. - Загл. с
экрана. – (Дата обращения: 12.03.2015).
2. Математика: справочник формул по алгебре и геометрии, решения задач
и примеров. Математические формулы on-line [Электронный ресурс]. -
Режим доступа : http://www.pm298.ru, свободный. - Загл. с экрана. -
(Дата обращения: 12.03.2015).
3. Форум - математический сайт allmatematika.ru [Электронный ресурс]. -
Режим доступа : http://www. allmatematika.ru, свободный. - Загл. с
экрана. - (Дата обращения: 12.03. 2015).
4. Электронно-библиотечная система издательства «Лань» [Электронный
ресурс]. - Режим доступа : http://lanbook.com/ebs.php, для доступа к
информ. ресурсам требуется авторизация. - Загл. с экрана.- (Дата
обращения: 12.03.2015).
5. Электронно-библиотечная система «КнигаФонд» [Электронный ресурс]. -
Режим доступа: http://www.knigafund.ru/, для доступа к информ.
ресурсам требуется авторизация. - Загл. с экрана. - (Дата обращения:
12.03.2015).
