Презентация к занятию "Геометрические преобразования в пространстве" 11 класс

Геометрические преобразования в пространстве Выполнил: Данилова С.В. Основные свойства движения в пространстве

• Прямые переходят в прямые
• Полупрямые переходят в полупрямые
• Отрезки переходят в отрезки
• Сохраняются углы между полупрямыми
• Движение переводит плоскости в плоскости

Две фигуры называются равными , если они совмещаются движением

Геометрические преобразования в пространстве.

Движение

Симметрия

Поворот

Параллельный перенос

Подобие

Центральная симметрия- отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную точку М₁ относительного данного центра О.

Простейшими фигурами, обладающими центральной симметрией, является окружность и параллелограмм.

Центром симметрии окружности является центр окружности, а центром симметрии параллелограмма точка пересечения его диагоналей.

x

y

z

0

1

1

A

1

a

b

c

Пусть A(a; b; c)

−a

−b

−c

A0

Построим точку A0, симметричную данной точке относительно точки O.

Координаты точки A0(−a; −b;−c).

Центральная симметрия

Осевая симметрия с осью а называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей точку М₁ относительно оси а.

Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симметрии фигуры.

Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией.

У неразвёрнутого угла одна ось симметрии - прямая, на которой расположена биссектриса угла.

Равнобедренный(но не равносторонний) треугольник имеет также одну ось симметрии, а равносторонний треугольник - три основные симметрии.

Прямоугольник и ромб, не являющиеся квадратами имеют по две оси симметрии,

а квадрат - четыре оси симметрии.

 

Имеются фигуры, у которых нет ни одной оси симметрии. К таким фигурам относятся параллелограмм, отличный от прямоугольника, разносторонний треугольник.

У окружности их бесконечно много - любая прямая, проходящая через её центр, является осью симметрии.

x

y

z

0

1

1

A

1

a

b

c

Пусть A(a; b; c)

−c

−b

A1

Построим точку A1, симметричную данной точке относительно оси Ox.

Координаты точки A1(a; −b; −c).

Осевая симметрия

x

y

z

0

1

1

A

1

a

b

c

Пусть A(a; b; c)

−c

−a

A2

Построим точку A2, симметричную данной точке относительно оси Oy.

Координаты точки A2(−a; b; −c).

Осевая симметрия

x

y

z

0

1

1

A

1

a

b

c

Пусть A(a; b; c)

−a

−b

A3

Построим точку A3, симметричную данной точке относительно оси Oz.

Координаты точки A3(−a; −b; c).

Осевая симметрия

Зеркальная симметрия - называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей

относительно плоскости α точку М₁.

x

y

z

0

1

1

A

1

a

b

c

Пусть A(a; b; c)

−c

A4

Построим точку A4, симметричную данной точке относительно плоскости Oxy.

Координаты точки A4(a; b; −c).

Зеркальная симметрия

x

y

z

0

1

1

A

1

a

b

c

Пусть A(a; b; c)

−b

A5

Построим точку A5, симметричную данной точке относительно плоскости Oxz.

Координаты точки A5(a; −b; c)

Зеркальная симметрия

x

y

z

0

1

1

A

1

a

b

c

Пусть A(a; b; c)

A6

Координаты точки A6(−a; b; c).

Зеркальная симметрия

Построим точку A6, симметричную данной точке относительно плоскости Oyz.

−a

Отражение в воде – хороший пример зеркальной симметрии играет ро оОтражение в воде – хороший пример зеркальной симметрии в природе.

Мы любуемся пейзажами художников, удачными снимками. Горы красиво отражаются на поверхности озера, придавая снимку законченность. Поверхность озера играет роль зеркала, и воспроизводит отражение с геометрической точностью. Поверхность воды есть плоскость симметрии...

с геометрической точностью. Поверхность

снимку законченность. Поверхность озера

Примерами зеркальных отражений одна другой могут служить рука человека.

Возьмем зеркало, поставим его вертикально так , чтобы линия пересечения плоскости зеркала с плоскостью листа, на котором написано два слова «ЧАЙ» и «КОФЕ» делила эти слова по горизонтали . Какое слово изменится и почему?

Игра с зеркалом

Зеркало не подействовало на слово « КОФЕ» , тогда как слово «ЧАЙ» оно изменило до неузнаваемости . Этот фокус имеет простое объяснение . Разумеется , зеркало одинаковым образом отражает нижнюю половину обеих слов . Однако в отличии от слова «ЧАЙ» слово

«КОФЕ» обладает горизонтальной осью симметрии , именно поэтому оно не искажается при отражении в зеркале .

Параллельный перенос на вектор называется отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в такую точку М₁, что

Параллельный перенос в пространстве Параллельным переносом в пространстве называется такое преобразование, при котором произвольная точка (x; y; z) фигуры переходит в точку (x + a; y + b; z + c), где числа a, b, с одни и те же для всех точек (x; y; z).  Параллельный перенос в пространстве обладает следующими свойствами: 1. Параллельный перенос есть движение.  2. При параллельном переносе точки смещаются по параллельным прямым на одно и то же расстояние.  3. При параллельном переносе каждая прямая переходит в параллельную ей прямую или в себя.  4. Каковы бы ни были точки A и A', существует единственный параллельный перенос, при котором точка A переходит в точку A'.  5. При параллельном переносе в пространстве каждая плоскость переходит либо в себя, либо в параллельную ей плоскость.

Поворот около данной точки называется такое движение при котором каждый луч, исходящий из этой точки, поворачивается на один и тот же угол в одном и том же направлении

Подобие пространственных фигур

Центральным подобием с центром О и коэффициентом к≠0 называется отображение пространства на себя, при котором каждая точка М переходит в такую точку М₁, что

Две тела называются подобными, если существует такое преобразование подобия, при котором одно из них переходит в другое

Определение

• Преобразование фигуры F называется преобразованием подобия , Если при этом преобразовании расстояние между точками изменяется в одно и то же число раз . т. е. для любых двух точек X и У фигуры F и точек X', У фигуры F', в которые они переходят, X'Y' = k*XY.
• Две фигуры называются подобными, если они переводятся одна в другую преобразованием подобия.

Простейшим преобразованием подобия в пространстве является

Симметрия вокруг нас

Многие листья деревьев и лепестки цветов симметричны относительно среднего стебля. С симметрией мы часто встречаемся в искусстве; архитектуре; технике; быту. Так, фасады многих зданий обладают осевой симметрией. В большинстве случаев симметричны относительно оси или центра узоры на коврах, тканях, комнатных обоях.

Симметрия переноса

Симметрия. Орнамент

Многогранник. Зеркально-осевая симметрия.

Куб. Симметрия третьего порядка.

Кувшин. Плоская

симметричная фигура

Крапива. Винтовая

симметрия

Звезда. Симметрия

восьмого порядка

Зеркальная симметрия в природе Симметрия в архитектуре Симметрия в искусстве Симметрия в технике Симметрия в природе Спасибо за внимание