Конспект урока "Определение производной. Задачи, приводящие к понятию производной. Физический и геометрический смысл производной"
Тема урока:
Определение производной. Задачи, приводящие к понятию производной.
Физический и геометрический смысл производной.
Цели урока:
1) ввести понятие производной;
2) рассмотреть задачи, приводящие к понятию производной;
3) рассмотреть примеры на вычисление производной по определению
4) закрепить умение применять физический и геометрический смысл производной на
конкретных примерах из ЕГЭ.
Ход урока.
I. Организационный момент (3 мин)
Сообщить тему и цели урока.
II. Проверка домашнего задания. Актуализация знаний учащихся.(10 мин)
Два ученика у доски решают №39.40 (б) и 39.43(а) из домашнего задания, в это
время идет фронтальный опрос, после которого обсуждается решение примеров на доске.
Два ученика на крыльях доски оформляют свое индивидуальное домашнее творческое
задание ( применить алгоритм нахождения производной базовых функций.)
- Устно по учебнику№39.1
Фронтальный опрос.( слайд2)
- Дать определение функции.
- Дать определение предела функции на бесконечности. Геометрический смысл.
- Дать определение предела функции в точке. Какая функция называется
непрерывной в точке?
- Устно определить тангенс угла наклона прямой к положительному направлению
оси ОХ( слайды 3-4)
- Дать определение приращения аргумента и приращения функции.
- Определение приращения функции и приращения аргумента.( слайд 5)
III. Изучение нового материала. (20мин.)
Понятие предела имеет большой философский смысл. Окружающий нас мир
бесконечен, бесконечны пространство и время. Если какое-либо явление можно описать
некоторым законом, т. е. функцией, то предел этой функции на бесконечности может нам
многое «рассказать» о будущем этого явления.
Ученик (небольшая историческая справка)
С понятием предела непосредственно связано понятие производной. Различные
задачи из различных областей знания приводят к одной и той же математической модели
– пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что
приращение аргумента стремиться к нулю. Впервые название этой модели и ее
обозначение ввел немецкий ученый Готфрид Вильгельм Лейбниц в 1675 году –
основоположник дифференциального и интегрального исчисления. Лейбниц был
философом и лингвистом, историком и биологом, дипломатом и политическим деятелем,
математиком и изобретателем. Он в 1700 году организовал академию в Берлине, он же
рекомендовал Петру I организовать академию в России. При организации Петербургской
Академии наук в 1725 г. пользовались планами Лейбница.
Мы рассмотрим две задачи, которые приводят к понятию производной.
1. Задача о скорости движения.(слайд7)
Рассмотрим прямолинейное движение некоторого тела. Закон движения задан формулой
S = S(t), т.е. каждому моменту времени t соответствует определённое значение
пройденного пути S. Найти скорость движения тела в момент времени t.
Решение: Пусть в момент времени t тело находится в точке М.
Дадим аргументу t приращение Δt, за это время тело
переместится в некоторую точку Р, т.е. пройдёт путь ΔS.
Итак, за время Δt тело прошло путь ΔS.
Что можно найти, зная эти два значения?
1
, т.е. среднюю скорость движения тела за промежуток времени
.
Определение: Средней скоростью движения тела называется отношение пройденного
пути ко времени, в течение которого этот путь пройден.
В физике часто идёт речь о скорости v(t), т.е. скорости в определённый момент времени t,
часто её называют мгновенной скоростью.
Можно рассуждать так: мгновенную скорость получим если Δt , т.е. Δt выбирается всё
меньше и меньше, т.е.
2. Еще одна задача, приводящая к понятию производной, – задача о касательной к графику
функции = f(). Сначала напомнить определения касательной и секущей к
графику(слайд8)
Рассмотрим график непрерывной функции и проведем в точке А секущую и касательную
к графику(слайд9)
Прямая АВ – секущая, ee уравнение y = k
сек
х +b, где k
сек
– угловой коэффициент
секущей,
k
сек
=∆y/∆x = tg α
сек
, где α
сек
– угол наклона секущей (отсчитывается от
положительного направления оси Ох против часовой стрелки).
Пусть ∆х стремится к нулю, тогда секущая стремится к своему предельному
положению – к касательной в точке А, т. е. угловой коэффициент касательной равен
пределу углового коэффициента секущей:
сек
= k
кас
, причем k
кас
= tg α, где α - это
угол наклона касательной, отсчитываемый от положительного направления оси Ох.
Значит, k
кас
= tg α =
Итак, определение производной: (слайд11)
Производная непрерывной функции в данной точке равна пределу отношения
приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение
аргумента стремится к нулю.
f
′
() =
.
Обозначается f
′
(х)
или df/ dx , где df – дифференциал функции,
dx - дифференциал аргумента (дифференциал – бесконечно малое приращение).
2
Если функция имеет производную в точке х
о
, то ее называют дифференцируемой в
точке х
о
. Процедуру нахождения производной функции называют дифференцированием
функции.
Вывод.(слайд12) Физический смысл производной заключается в том, что
мгновенная скорость – это производная пути по времени:
v = S
′
(t)
Вспомним определение ускорения: а = ∆v/∆t, но если ∆t→0, то
а =
Итак, задача механики о нахождении скорости тела в любой момент
времени решена. Нужно только вычислить предел отношения приращения пути к
приращению времени, если приращение времени стремится к нулю, т. е. найти
производную пути.
Вывод.(слайд13) Геометрический смысл производной заключается в том, что
угловой коэффициент или тангенс угла наклона касательной к графику функции в
данной точке с абсциссой равен производной функции в этой точке:
k
кас
= tg α = f
′
()
Алгоритм нахождения производной функции у = f(x) (слайд14)
1. Зафиксировать значение х, найти f(x).
2. Дать аргументу приращение Δх, перейти в новую точку х + Δх, найти f(x + Δх).
3. Найти приращение функции Δу = f(x + Δх) - f(x).
4. Составить отношение Δу\ Δх
5. Вычислить lim Δу\ Δх при Δх стремящемся к 0
6. Этот предел и есть f’(x).
заслушать творческое задание на доске и записываем в тетрадь
Найти производную функции y =
.
Решение: f(x) =
.
1.Возьмём два значения аргумента x и x + Δx.
2.
3.
4.
.
Значит,
=
.
Найти производную функции y =
.
Решение: f(x) =
.
1.Возьмём два значения аргумента x и x + Δx.
2.
3.
4.
Домножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряжённое числителю
3
Значит,
=
.
Таким образом, с помощью определения производной, можно найти производную любой
функции.
Домашнее задание : найти для следующих функций:
Пример1
Найти производную функции y = C.
Решение: f(x) = C.
1.Возьмём два значения аргумента x и x + Δx.
2.
3.
4.
.
Значит,
= 0 или производная постоянной равна нулю.
Пример 2.
Найти производную функции y = x.
Решение: f(x) = x.
1.Возьмём два значения аргумента x и x + Δx.
2.
3.
4.
.
Значит,
= 1.
Пример3
Найти производную функции y = x
2
.
Решение: f(x) = x
2
.
1.Возьмём два значения аргумента x и x + Δx.
2.
3.
4.
.
Значит,
= 2x.
Пример 4.
Найти производную функции y = .
Решение: f(x) = .
1.Возьмём два значения аргумента x и x + Δx.
2.
3.
4.
.
4
Значит,
= k.
Далее рассмотрим примеры из ЕГЭ (слайды 16-18)
Рефлексия (подведение итогов урока).
Цель: качественная оценка работы класса и отдельных учащихся.
Итог урока. Ученикам предлагается высказать мнение по поводу урока.
5
Ученик (небольшая историческая справка)
С понятием предела непосредственно связано понятие производной. Различные
задачи из различных областей знания приводят к одной и той же математической модели
– пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что
приращение аргумента стремиться к нулю. Впервые название этой модели и ее
обозначение ввел немецкий ученый Готфрид Вильгельм Лейбниц в 1675 году –
основоположник дифференциального и интегрального исчисления. Лейбниц был
философом и лингвистом, историком и биологом, дипломатом и политическим деятелем,
математиком и изобретателем. Он в 1700 году организовал академию в Берлине, он же
рекомендовал Петру I организовать академию в России. При организации Петербургской
Академии наук в 1725 г. пользовались планами Лейбница.
Найти производную функции y =
.
Решение: f(x) =
.
1.Возьмём два значения аргумента x и x + Δx.
2.
3.
4.
.
Значит,
=
.
Найти производную функции y =
.
Решение: f(x) =
.
1.Возьмём два значения аргумента x и x + Δx.
2.
3.
4.
Домножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряжённое числителю
Значит,
=
.
6
Определение производной. Задачи, приводящие к понятию производной. Физический и
геометрический смысл производной.
Задача о скорости движения
Пусть в момент времени t тело находится в точке М.
Дадим аргументу t приращение Δt, за это время тело переместится в некоторую точку Р, т.е. пройдёт путь
ΔS.
,
Итак, за время Δt тело прошло путь ΔS.
Определение: Средней скоростью движения тела называется отношение пройденного пути ко времени, в
течение которого этот путь пройден.
Мгновенную скорость получим если Δt , т.е. Δt выбирается всё меньше и меньше, т.е.
2. задача о касательной
Прямая АВ – секущая, ee уравнение y = k
сек
х +b, где k
сек
– угловой коэффициент секущей,
k
сек
=∆y/∆x = tg α
сек
, где α
сек
– угол наклона секущей (отсчитывается от положительного направления оси Ох
против часовой стрелки).
Пусть ∆х стремится к нулю, тогда секущая стремится к своему предельному положению – к касательной в точке
А, т. е. угловой коэффициент касательной равен пределу углового коэффициента секущей:
сек
= k
кас
, причем k
кас
=
tg α, где α - это угол наклона касательной, отсчитываемый от положительного направления оси Ох.
Значит, k
кас
= tg α =
Производная непрерывной функции в данной точке равна пределу отношения приращения функции к
приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.
f
′
() =
.
Физический смысл производной заключается в том, что мгновенная скорость – это производная пути по
времени: v = S
′
(t)
Геометрический смысл производной заключается в том, что угловой коэффициент или тангенс угла наклона
касательной к графику функции в данной точке с абсциссой равен производной функции в этой точке:
k
кас
= tg α = f
′
()
Алгоритм нахождения производной функции у = f(x)
Зафиксировать значение х, найти f(x).
7. Дать аргументу приращение Δх, перейти в новую точку х + Δх, найти f(x + Δх).
8. Найти приращение функции Δу = f(x + Δх) - f(x).
9. Составить отношение Δу\ Δх
10. Вычислить lim Δу\ Δх при Δх стремящемся к 0
11. Этот предел и есть f’(x).
Пример. Найти производную функции y =
.
1.Возьмём два значения аргумента x и x + Δx.
2.
3.
4.
Домножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряжённое числителю
Значит,
=
.
Домашнее задание : найти для следующих функций: 1.Найти производную функции y = C.
2. Найти производную функции y = x.
3. Найти производную функции y = x
2
. 4. Найти производную функции y = .
7
Геометрия - еще материалы к урокам:
- Презентация "Определение производной"
- Технологическая карта урока "Решение задач по теме «Центральные и вписанные углы»" 8 класс
- Экзаменационные билеты для итогового зачёта по геометрии в 7 классе
- Задачи по теме "Периметр"
- Карточки по геометрии ОГЭ 2022. Задание №19
- Отработка заданий по геометрии ОГЭ 2022. Задание №15
