Ученики на Учителя.com


Конспект урока "Определение производной, её физический и геометрический смысл. Алгоритм нахождения производной"

Тема: Производная
Урок: Определение производной, её физический и геометрический смысл. Алгоритм
нахождения производной
1. Введение новых понятий
Рис. 1. График функции .
Рассмотрим функцию , ее график и дадим физическую интерпретацию.
Построим систему координат и кривую (см. рис.1), где
независимая переменная или аргумент (время),
– зависимая переменная или функция (расстояние),
– закон или правило, по которому каждому значению ставится в соответствие только
одно значение .
Зафиксируем момент времени (см. рис.2). В этот момент времени можно вычислить по
заданному закону , т.е. имеем точку . Эта точка показывает, что в
данный момент времени , расстояние - . Дадим аргументу приращение , т.е.
прошло некоторое время . Момент времени, который будет рассматриваться - это
.
Рис. 2. Секущая к графику функции .
– приращение аргумента – это разность между новым значением аргумента и старым.
Итак, в новый момент времени, расстояние (от дома) - . Это расстояние можно
вычислить по заданному закону, т.е. если подставить в функцию новое значение независимой
переменной (аргумента), то можно вычислить новое значение функции. Так получилась
точка . В результате получилась секущая , которая
наклонена к оси под углом .
– секущая, – ее угол наклона. Этот угол, во – первых, в верхней полуплоскости и, во –
вторых, с положительным направлением оси .
Рассмотрим треугольник (см. рис.3). Он прямоугольный. В этом треугольнике острый
угол – это угол - угол наклона секущей. Один из катетов - это приращение аргумента, а
второй катет – это разность между значением функции в новой точке и значением функции в
старой точке.
Рис. 3. Приращение функции и приращение аргумента.
Величина называется – приращение функции и вычисляется как разность значений
функции в новый момент времени минус значение функции в старый момент времени
.
2. Физический смысл отношения ∆f/∆x
Рассмотрим отношение , где – приращение функции, – приращение аргумента (см.
рис.4).
Из физических соображений ясно, что отношение расстояния ко времени – это средняя
скорость . В этом заключается физический смысл отношения .
Рис. 4. Физический и геометрический смысл отношения .
С другой стороны отношение катета к катету – это тангенс угла – тангенс угла
наклона секущей, т.е. геометрический смысл отношения – это тангенс угла наклона
секущей .
3. Определение производной
Пусть . Понятно, что и . Точка будет стремиться к точке , а положение
секущей будет стремиться занять положение касательной в точке к кривой
(см. рис.4). Имеем
Зафиксируем эту касательную, – угол наклона этой касательной. Если зафиксировать
точку , то отношение зависит только от величины .
Если отношение при стремится к какому-то числу, то это
число называется производной функции в точке и обозначается .
Определение. Производной функции в точке называется число, к которому
стремится разностное соотношение при .
Определение производной с помощью пределов.
Предел при разностного отношения , если он существует, называется
производной функции в точке и обозначается .
4. Геометрический и физический смысл производной
, где – мгновенная скорость в момент . В этом заключается
физический смысл производной. Производная – это также тангенс угла наклона
касательной , где - угол наклона касательной к кривой в точке с
абсциссой .
5. Алгоритм нахождения производной
Для того чтобы найти нужно:
1) Задать приращение – это приращение аргумента и вычислить соответствующее
приращение функции или .
2) Найти разностное соотношение , упростить его и сократить на .
3) Если отношение при стремится к какому-то числу, то это число будет .
6. Итог урока
Итак, на уроке было рассмотрено понятие производной. Для этого ввели два новых понятия:
приращение аргумента и приращение функции. Также были рассмотрены события, когда
приращение аргумента и приращение функции конкретные числа, тогда соотношение
имеет смысл физический – это средняя скорость за время и геометрический смысл – это
тангенс угла наклона секущей. Далее было рассмотрено, какие процессы происходят,
когда . Если , тогда и , и секущая стремится занять положение
касательной. Если разностное отношение при стремится к некоторому числу, то
это число называется производной функции в точке . Физический смысл производной
в момент – это мгновенная скорость в момент , а геометрический – это тангенс угла
наклона касательной, которая проведена к кривой в точке с абсциссой . Рассмотрен
алгоритм нахождения производной: нужно дать приращение аргументу и получить новую
точку . Получили значение функции в новой точке и нашли приращение функции.
Надо разделить на и упростить это отношение так, чтобы сократился , и то, что
получится при стремлении к нулю будет называться производной функции в конкретной
точке . Дальнейшее изложение зависит от вида функции, что и будет рассматриваться на
следующем уроке.
Скачать материал

Математика - еще материалы к урокам: