Презентация "Основы комбинаторики. Размещения, перестановки, сочетания" 11 класс

Основы комбинаторики.

Размещения, перестановки,

сочетания.

Проказница Мартышка

Осёл,

Козёл,

Да косолапый Мишка

Затеяли играть квартет

…

Стой, братцы стой! –

Кричит Мартышка, - погодите!

Как музыке идти?

Ведь вы не так сидите…

И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не идет.

Вот пуще прежнего пошли у них разборы

И споры,

Кому и как сидеть…

знать:

• определения трех важнейших понятий комбинаторики:
• размещения из n элементов по m;
• сочетания из n элементов по m;
• перестановки из n элементов;
• основные комбинаторные формулы

уметь:

• отличать задачи на «перестановки», «сочетания», «размещения» друг от друга;
• применять основные комбинаторные формулы при решении простейших комбинаторных задач.

множество

Множество характеризуется объединением некоторых однородных объектов в одно целое.

Объекты, образующие множество, называются элементами множества.

Множество будем записывать, располагая его элементы в фигурных скобка {a, b, c, … , e, f}.

Во множестве порядок элементов роли не играет, так {a, b} = {b, a}.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается символом ø.

множество

Если каждый элемент множества А является элементом множества В, то говорят, что множество А является подмножеством множества В.

В

А

Множество {a, b} является подмножеством множества {a, b, c, … , e, f}.

Обозначается

Пример:

Задача

Перечислите возможные варианты подмножества множества {3, 4, 5, 7, 9}.

Комбинаторикой называется область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов, принадлежащих заданному множеству.

Комбинаторика является важным разделом математики, который исследует закономерности расположения, упорядочения, выбора и распределения элементов с фиксированного множества.

ПРАВИЛО СУММИРОВАНИЯ

Если два взаимоисключающие действия могут быть выполнены в соответствии  k и m способами, тогда какое-то одно из этих действий можно выполнить  k + m способами.

Пример №1

Из города А в город В можно добраться 12 поездами, 3 самолетами, 23 автобусами. Сколькими способами можно добраться из города А в город В?

Решение

N=12+13+23=38

Пример № 2

В ящике имеется n разноцветных шариков. Произвольным образом вынимаем один шарик. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Конечно, n способами.

Теперь эти n шариков распределены по двум ящикам: В первом m шариков, во втором k. Произвольно из какого-нибудь ящика вынимаем один шарик. Сколькими разными способами это можно сделать?

Решение. 

Из первого ящика шарик можно вытянуть m различными способами, из второго k различными способами, всего  N = m + k способами.

ПРАВИЛО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

Пусть две выполняемые одно за другим действия могут быть осуществлены в соответствии   k и m способами Тогда обе они могут быть выполнены  k ∙ m способами.

Пример № 3

 В турнире принимают участие 8 хоккейных команд. Сколько существует способов распределить первое, второе и третье места?

Решение

N=8∙7∙6=336

Пример № 4

Сколько можно записать двузначных чисел в десятичной системе счисления?

Решение. Поскольку число двузначное, то число десятков (m) может принимать одно из девяти значений: 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Число единиц (k) может принимать те же значения и может, кроме того быть равным нулю. Отсюда следует, что m = 9, а k= 10. Всего получим двузначных чисел 

N = m ·k = 9·10 =90.

Пример № 5

В студенческой группе 14 девушек и 6 юношей. Сколькими способами можно выбрать, для выполнения различных заданий, двух студентов одного пола?

Решение. По правилу умножения двух девушек можно выбрать 14 ·13 = 182 способами, а двух юношей 6·5 = 30 способами. Следует выбрать двух студентов одного пола: двух студентов или студенток. Согласно правилу сложения таких способов выбора будет

N =182 + 30 = 212.

Типы соединений

Множества элементов называются соединениями.

Различают три типа соединений:

• перестановки из n элементов;
• размещения из n элементов по m;
• сочетания из n элементов по m (m < n).

Определение: Перестановкой из n элементов называется любое упорядоченное множество из n элементов.

Иными словами, это такое множество, для которого указано, какой элемент находится на первом месте, какой – на втором, какой- на третьем, …, какой – на n-м месте.

ПЕРЕСТАНОВКИ

Перестановки – это такие соединения по n элементам из данных элементов, которые отличаются одно от другого порядком элементов.

Число перестановок из n элементов обозначают Рn.

Рn = n · (n - 1) · (n – 2) · … · 2 · 1 = n!

Определение:

Пусть n - натуральное число. Через n! (читается "эн факториал") обозначается число, равное произведению всех натуральных чисел 1 от до n:

n! = 1 · 2 · 3 · ... · n.

В случае, если n = 0, по определению полагается: 0! = 1.

ФАКТОРИАЛ

Пример № 6

Найдем значения следующих выражений: 1! 2! 3!

7!

Пример № 7

Чему равно

а)Р5 ;

б) Р3.

Пример № 8

Упростите

а) 7! · 8

б) 12! · 13 ·14

в) κ! · (κ + 1)

Пример № 9

Сколькими способами можно расставить 8 участниц финального забега на восьми беговых дорожках?

Решение. 

n =8

Р8=8! = 8·7·6·5 · 4 · 3 · 2 ·1 =40320

РАЗМЕЩЕНИЯ

Определение. Размещением из n элементов по m называется любое упорядоченное множество из m элементов, состоящее из элементов n элементного множества.

Число размещений из m  элементов по n обозначают: 

вычисляют по формуле:

Пример № 9

Учащиеся 11-го класса изучают 9 учебных предметов. В расписании учебных занятий на один день можно поставить 4 различных предмета. Сколько существует различных способов составления расписания на один день?

Решение. 

Имеем 9-элементное множество, элементы которого учебные предметы. При составлении расписания мы будем выбирать 4-элементное подмножество (уроков) и устанавливать в нем порядок. Число таких способов равно числу размещений из девяти по четыре (m=9, n=4) то есть A94:

Пример № 10

Сколькими способами из класса, где учатся 24 ученика, можно выбрать старосту и помощника старосты?

Решение. 

Имеем 24-элементное множество, элементы которого ученики класса. При выборах старосты и помощника старосты мы будем выбирать 2-элементное подмножество (ученика) и устанавливать в нем порядок. Число таких способов равно числу размещений из девяти по четыре(m=24, n=2), то есть A242:

СОЧЕТАНИЯ

Определение. Сочетанием без повторений из n элементов по m -называется любое m элементное подмножество n -элементного множества

Число сочетаний из n элементов по m обозначают 

и вычисляют по формуле:

Пример № 11

Сколькими способами из класса, где учатся 24 ученика, можно выбрать два дежурных ?

Решение. 

n =24, m=2

Учитывается ли порядок следования элементов в соединении?

Д А

НЕТ

Все ли элементы входят в соединение?

СОЧЕТАНИЯ

РАЗМЕЩЕНИЯ

ПЕРЕСТАНОВКИ

Рn =  n!

Д А

НЕТ

Определить к какому типу относится соединений относится задача.

1. Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков?

2. В 9«Б» классе 12 учащихся. Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде?

Учитывается ли порядок следования элементов в соединении?

( да)

Все ли элементы входят в соединение?

( да)

Вывод: перестановка

Учитывается ли порядок следования элементов в соединении?

Все ли элементы входят в соединение?

(нет)

(на этот вопрос ответ не нужен)

Вывод: сочетания

3.Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых можно использовать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в числе должны быть различными?

Учитывается ли порядок следования элементов в соединении?

Все ли элементы входят в соединение?

(нет)

( да)

Вывод: размещение

Проказница Мартышка

Осёл,

Козёл,

Да косолапый Мишка

Затеяли играть квартет

…

Стой, братцы стой! –

Кричит Мартышка, - погодите!

Как музыке идти?

Ведь вы не так сидите…

И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не идет.

Вот пуще прежнего пошли у них разборы

И споры,

Кому и как сидеть…

Сколько различных вариантов расположения музыкантов возможно?

Решение. 

Учитывается ли порядок следования элементов в соединении?

( да)

Все ли элементы входят в соединение?

(да)

Вывод: перестановка

Рn =  n! =n · (n - 1) · (n – 2) · … · 2 · 1

n =4

Р4 =  4! = 4 · 3 · 2 ·1=24

«Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле»?

Кто автор высказывания?

Е

Е

перестановки

К

размещение

Л

сочетание

Е

А

С

Й

Н

И

О

Ы

Р

Ч

В

М

12

21

120

56

132

720

6720

5040

9

1

Результаты решения задач

А

Л

Е

К

С

Е

Й

Н

К

И

О

В

Л

А

Е

Л

О

Ч

И

В

Ы

Р

К

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

Выучить конспект и формулы.

С. 321 № 1062

С. 325 №1074,1075

С. 329 №1081