Презентация "Элементы комбинаторики - перестановки"

Элементы комбинаторики -

• перестановки

От турбазы к горному озеру ведут 4 тропы. Сколькими способами туристы могут отправиться в поход к озеру, если они не хотят спускаться по той же тропе, по которой поднимались?

• *

• 1

• 2

• 3

• 2

• 3

• 4

• 1

• 3

• 4

• 1

• 2

• 4

• 4

• 1

• 2

• 3

• Всего 4∙3=12

12 – число всех возможных исходов проведения n испытаний

• *

• 1

• 2

• 3

• 2

• 3

• 4

• 1

• 3

• 4

• 1

• 2

• 4

• 4

• 1

• 2

• 3

• Подъём на гору - 4 варианта
• Спуск с горы - 3 варианта

Сколько существует трёхзначных чисел, у которых все цифры чётные?

• 0, 2, 4, 6 и 8

• Первая цифра

• Вторая цифра

• Третья цифра

• 4

• 5

• 5

• Всего чисел

• 100

• ∙

• ∙

• =

Итак, применить правило умножения означает:

• Определить количество уровней возможных испытаний (в решении указать номер уровня и описание испытания)
• Определить количество испытаний на каждом выявленном уровне
• Применить правило умножения
• ВСЕГО (Записать произведение количества испытаний на каждом выявленном уровне)

Задача.

• Задача.
• В семье 6 человек., а за столом в столовой 6 стульев. В семье решили каждый вечер, ужиная, рассаживаться а эти 6 стульев по-новому. Сколько дней члены семьи смогут делать это без повторений?
• - 6 вариантов выбора стула
• - 5 вариантов выбора стула (1 уже занят)
• - 4 варианта выбора стула (2 уже занято)
• - 3 варианта выбора стула (3 уже заняты)
• - 2 варианта выбора стула (4 уже занято)
• - 1 вариант выбора стула (5 уже заняты)

Правило умножения (число всех возможных исходов независимого проведения n испытаний равно произведению количеств исходов этих испытаний)

• Различных способов рассаживания
• 6∙5∙4∙3∙2∙1=720

Одна из отличительных особенностей математики как науки – стремление к совершенству

• Перестановки внутри конечного множества

Применяя правило умножения достаточно часто в определённых задачах встречаются такие произведения:

• Применяя правило умножения достаточно часто в определённых задачах встречаются такие произведения:
• 1∙2
• 1∙2∙3
• 1∙2∙3∙4
• 1∙2∙3∙4∙5
• 1∙2∙3∙4∙5∙6
• 1∙2∙3∙4∙5∙6∙7
• ВЫПОЛНИТЕ УМНОЖЕНИЕ

1∙2 = 2

• 1∙2 = 2
• 1∙2∙3 = 6
• 1∙2∙3∙4 = 24
• 1∙2∙3∙4∙5 = 120
• 1∙2∙3∙4∙5∙6 = 720
• 1∙2∙3∙4∙5∙6∙7 = 5040

Произведение подряд идущих первых n натуральных чисел обозначают n!

• Произведение подряд идущих первых n натуральных чисел обозначают n!
• НАЗЫВАЮТ «эн факториал»
• Одно из значений слова «factor»-«множитель».
• Так что «эн факториал» примерно переводится как «состоящий из n множителей»

Перестановкой конечного множества элементов называется сопоставление каждого элемента этого множества по некоторому правилу, при котором различные элементы переходят в различные. Например, все перестановки множества из трёх элементов:

• a

• c

• a

• b

• c

• b

• a

• a

• c

• b

• c

• b

• a

• a

• b

• c

• c

• b

• a

• c

• b

• a

• c

• b

• a

• b

• c

• a

• c

• b

• a

• b

• a

• c

• c

• b

• Или 3∙2=6

• Или
• Перестановка во множестве 3 элементов
• Р3=n!=3!=1∙2∙3=6

Теорема «О количестве перестановок»

• Число всех перестановок
• n-элементного множества равно n!

• Pn = n!

• Число перестановок множества из n элементов обозначают Рn

Пример 1:

• Три медведя по одному выбегают из дома, догоняя девочку. Сколькими способами они могут выбежать?
• Порядок выбегания из дома задаётся
• условием 1,2,3. Это элементы
• множества, тогда число перестановок
• P3 = n! = 3! = 6. – (искомое количество способов)

Пример 2:

• Сколькими способами четыре вора могут по одному разбежаться на все четыре стороны?
• Порядок выбегания на все четыре
• стороны задаётся направлением С,Ю,З,и В
• задаётся условием 1,2,3,4. Это элементы
• множества, тогда число перестановок
• P4 = n! = 4! = 24. – (искомое количество способов)

Пример 3:

• Одиннадцать футболистов строятся перед началом матча. Первым – обязательно капитан, вторым – обязательно вратарь, остальные – случайным образом. Сколько существует способов построения?
• Девять футболистов (все, кроме капитана и
• вратаря) надо расставить на девять мест, с
• третьего по одиннадцатое. Порядок
• разбегания из дома задаётся условием 1-9.
• Это элементы множества, тогда число
• перестановок
• P9 = n! = 9! = 362 880. – (искомое количество способов)

• перебор

• перестановка

• Вопрос дня:
• КАК РАЗЛИЧАТЬ
• ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМ?