Конспект урока "Основы комбинаторики. Размещения, перестановки, сочетания" 11 класс

Урок алгебры в 11 классе.

Тема урока: Основы комбинаторики. Размещения, перестановки,

сочетания.

Цели урока:

Образовательная:

• познакомить с понятием «комбинаторика»;

• познакомить с правилами комбинаторики;

• обеспечить в ходе урока усвоение понятия размещений, перестановок и

сочетаний;

• сформировать умения решать комбинаторные задачи.

Воспитательная:

• воспитание интереса к дисциплине, честности, аккуратности,

эстетического отношения к оформлению математических решений;

• воспитание умения слушать и вступать в диалог, участвовать в

коллективном обсуждении проблем.

Развивающая:

• развитие логического мышления посредством решения комбинаторных

задач, сообразительности;

• развитие математической речи, внимания.

Обучающийся должен:

знать:

➢ определения трех важнейших понятий комбинаторики:

• размещения из n элементов по m;

• сочетания из n элементов по m;

• перестановки из n элементов;

➢ основные комбинаторные формулы

уметь:

• отличать задачи на «перестановки», «сочетания», «размещения» друг

от друга;

• применять основные комбинаторные формулы при решении

простейших комбинаторных задач.

Оборудование: проектор, дидактический материал (карточки-задания).

Методы обучения:

• словесно-информационный (рассказ),

• словесно-репродуктивный(опрос),

• практически-репродуктивный( выполнение заданий),

• наглядно-иллюстративный .

Структура урока

1. Организационный момент

2. Мотивация учебной деятельности

3. Сообщение темы и цели урока.

4. Объяснение нового материала.

5. Формирование умений и навыков в решении комбинаторных задач.

6. Домашнее задание

7. Подведение итогов.

Ход урока

1. Организационный момент

Приветствие, определение отсутствующих, проверка готовности учащихся к

уроку.

2. Мотивация учебной деятельности

Задача из басни С. Крылова «Квартет»

Проказница Мартышка

Осёл,

Козёл,

Да косолапый Мишка

Затеяли играть квартет

…

Стой, братцы стой! –

Кричит Мартышка, - погодите!

Как музыке идти?

Ведь вы не так сидите…

И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не идет.

Вот пуще прежнего пошли у них разборы

И споры,

Кому и как сидеть…

- Как вы думаете сколько различных вариантов расположения музыкантов

возможно? (учащиеся предлагают свои варианты)

- В конце урока вы узнаете кто дал правильный ответ.

3. Сообщение темы и цели урока.

Тема сегодняшнего урока «Основы комбинаторики. Размещения,

перестановки, сочетания». Сегодня на уроке вам предстоит рассмотреть общие

правила комбинаторики, ознакомится с основными понятиями комбинаторики

(размещения, сочетания, перестановки), научиться решать простейшие

комбинаторные задачи.

4.Объяснение нового материала.

Одним из важнейших понятий современной математики является понятие

множества. Говорят о множестве учащихся в группе, о множестве букв в

алфавите, о множестве изделий в упаковке и т.д.

Понятие множества относится к первоначальным, простейшим, понятиям и

формально через другие более простые понятия не определяется. Оно

воспринимается конкретно, посредством знакомства с различными примерами

множества. Множество характеризуется объединением некоторых однородных

объектов в одно целое. Объекты, образующие множество, называются

элементами множества.

Множество будем записывать, располагая его элементы в фигурных скобка

{a, b, c, … , e, f}.

Во множестве порядок элементов роли не играет, так {a, b} = {b, a}.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым

множеством и обозначается символом ø.

Если каждый элемент множества А является элементом множества В, то говорят,

что множество А является подмножеством множества В

  

Множество {a, b} является подмножеством множества {a, b, c, … , e, f}.

Задача: Перечислите возможные варианты подмножества множества {3, 4, 5,

7, 9}.

При решении многих практических задач часто приходится имеющиеся

предметы (элементы) соединять в разные наборы (комбинации). Например -

парфюмерные наборы, конфеты, инструменты, спортивные команды. Задачи

которые рассматривают такие соединения и находится число различных

соединений, называют комбинаторными.

Комбинаторикой называется область математики, в которой изучаются

вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным

условиям, можно составить из элементов, принадлежащих заданному

множеству. В каждой из них требуется подсчитать число возможных вариантов

осуществления некоторого действия, ответить на вопрос «сколькими

способами». Комбинаторика возникла и развивалась одновременно с теорией

вероятностей. И первоначально комбинаторные задачи касались в основном

азартных игр.

Комбинаторика – раздел математики, который занят поисками ответов на

вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или ином случае, как из всех этих

комбинаций выбрать наилучшую. Слово «комбинаторика» происходит от

латинского слова «combinare», что в переводе на русский означает – «сочетать»,

«соединять». Термин "комбинаторика" был введён знаменитым Готфридом

Вильгельмом Лейбницем, - всемирно известным немецким учёным.

Комбинаторика является важным разделом математики, который

исследует закономерности расположения, упорядочения, выбора и

распределения элементов с фиксированного множества.

При большом числе возможных последствий испытания способы прямого

перебора возможных вариантов малоэффективны. На помощь приходят

комбинаторные методы, в основе которых лежат два следующих правила

называемых соответственно правилами умножения и сложения.

ПРАВИЛО СУММИРОВАНИЯ

Если два взаимоисключающие действия могут быть выполнены в

соответствии и способами, тогда какое-то одно из этих действий можно

выполнить способами.

Пример №1

Из города А в город В можно добраться 12 поездами, 3 самолетами, 23

автобусами. Сколькими способами можно добраться из города А в город В?

Решение. Проезд из А в В на поезде, самолете или автобусе являются

событиями, которые не могут выполняться одновременно одним человеком

(взаимоисключающими), поэтому общее количество маршрутов можно

вычислить суммированием способов передвижения

N=12+13+23=38

Пример № 2

В ящике имеется n разноцветных шариков. Произвольным образом вынимаем

один шарик. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Конечно, n способами.

Теперь эти n шариков распределены по двум ящикам: В первом m шариков, во

втором k. Произвольно из какого-нибудь ящика вынимаем один шарик.

Сколькими разными способами это можно сделать?

Решение. Из первого ящика шарик можно вытянуть m различными

способами, из второго k различными способами, всего N = m + k способами.

ПРАВИЛО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

Пусть две выполняемые одно за другим действия могут быть

осуществлены в соответствии и способами. Тогда обе они могут

быть выполнены способами.

Пример № 3

В турнире принимают участие 8 хоккейных команд. Сколько существует

способов распределить первое, второе и третье места?

Решение. Первое место займет одна из 8 команд, второе - одна из 7, третье

- одна из 6, так как каждая из них не может претендовать одновременно на

два призовых места. Поэтому таких способов будет ровно

N=876 =336

Пример № 4

Сколько можно записать двузначных чисел в десятичной системе счисления?

Решение. Поскольку число двузначное, то число десятков (m) может

принимать одно из девяти значений: 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Число единиц (k) может

принимать те же значения и может, кроме того быть равным нулю. Отсюда

следует, что m = 9, а k= 10. Всего получим двузначных чисел

N = m ·k = 9·10 =90.

Пример № 5

В студенческой группе 14 девушек и 6 юношей. Сколькими способами можно

выбрать, для выполнения различных заданий, двух студентов одного пола?

Решение. По правилу умножения двух девушек можно выбрать 14 ·13 = 182

способами, а двух юношей 6·5 = 30 способами. Следует выбрать двух студентов

одного пола: двух студентов или студенток. Согласно правилу сложения таких

способов выбора будет N =182 + 30 = 212.

Типы соединений

Множества элементов называются соединениями.

Различают три типа соединений:

• перестановки из n элементов;

• размещения из n элементов по m;

• сочетания из n элементов по m (m < n).

Перестановки. Число перестановок

На практике часто возникают задачи, связанные с установлением порядка во

множестве. Например, число мест равно количеству людей, на которых мы

должны разместить их. Такая ситуация встречается часто – рассадить n человек

на n мест, или приписать каждому человеку номер. Первый человек может

выбрать любое из n мест, второй человек выбирает из (n - 1) оставшихся мест,

третий человек может выбрать из уже (n - 2) мест, …, предпоследний человек

выбирает из 2 мест, последний человек получает последнее место. Мы получаем

произведение всех целых чисел от n до 1.

В общем виде произведение всех целых чисел от 1 до n включительно

обозначают

n! = 1·2·3…(n – 2) · (n – 1) · n.

Установленный в конечном множестве порядок называют перестановкой его

элементов.

Определение: Перестановкой из n элементов называется любое

упорядоченное множество из n элементов.

Иными словами, это такое множество, для которого указано, какой элемент

находится на первом месте, какой – на втором, какой- на третьем, …, какой –

на n-м месте.

Перестановки можно образовывать из элементов любого конечного множества.

Число перестановок из n элементов обозначают Р

. Возьмем одноэлементное

множество {a}. Ясно, что один элемент можно упорядочить единственным

образом, следовательно, Р

= 1.

Перестановки – это такие соединения по n элементам из данных элементов,

которые отличаются одно от другого порядком элементов.

Возьмем двух элементное множество {a, b}. В нем можно установить два

порядка: {a, b} или {b, a}. Следовательно, число перестановок из двух элементов

= 2.

Три буквы во множестве {a, b, c} можно расположить, по порядку шестью

способами: {a, b, c}{a, c, b}{b, a, c}{b, c, a}{c, b, a}{c, a, b}.

Следовательно, общее число способов упорядочения трех элементов множества

= 3 · Р

= 3 · 2 · 1 = 6.

= n · (n - 1) · (n – 2) · … · 2 · 1 = n!

Определение: Пусть n - натуральное число. Через n! (читается "эн факториал")

обозначается число, равное произведению всех натуральных чисел 1 от до n:

n! = 1 · 2 · 3 · ... · n.

В случае, если n = 0, по определению полагается: 0! = 1.

Пример № 6

Найдем значения следующих выражений:

1! = 1

2! = 1 · 2 = 2

3! = 1 · 2 · 3 = 6

Пример № 7

Чему равно а)Р

; б) Р

Решение.

= n! =n · (n - 1) · (n – 2) · … · 2 · 1

=5! = 5 · 4 · 3 · 2 ·1 = 120

=3! = 1 · 2 · 3 = 6

Пример № 8

Упростите

а) 7! · 8 = 8!

б) 12! · 13 ·14 = 14!

в) κ! · (κ + 1) = (κ + 1)!

Пример № 9

Сколькими способами можно расставить 8 участниц финального забега на

восьми беговых дорожках?

Решение.

n =8

=8! = 8·7·6·5 · 4 · 3 · 2 ·1 =40320

Размещения.

Размещениями из m элементов по n элементов ( n ≤ m ) называются такие

соединения, каждое из которых содержит n элементов, взятых из m данных

разных элементов, и которые отличаются одно от другого либо самими

элементами, либо порядком их расположения.

Определение. Размещением из n элементов по m называется любое

упорядоченное множество из m элементов, состоящее из элементов n

элементного множества.

Число размещений из m элементов по n обозначают 





(от французского

«arrangement» - «размещение») и вычисляют по формуле:

Пример № 9

Учащиеся 11-го класса изучают 9 учебных предметов. В расписании учебных

занятий на один день можно поставить 4 различных предмета. Сколько

существует различных способов составления расписания на один день?

Решение.

Имеем 9-элементное множество, элементы которого учебные предметы. При

составлении расписания мы будем выбирать 4-элементное подмножество (урока)

и устанавливать в нем порядок. Число таких способов равно числу размещений

из девяти по четыре, то есть A

Пример № 10

Сколькими способами из класса, где учатся 24 ученика, можно выбрать старосту

и помощника старосты?

Решение.

Имеем 24-элементное множество, элементы которого ученики класса. При

выборах старосты и помощника старосты мы будем выбирать 2-элементное

подмножество (ученика) и устанавливать в нем порядок. Число таких способов

равно числу размещений из девяти по четыре(m=24, n=2), то есть A













  













    



     

Сочетания.

Сочетаниями из m элементов по n элементов ( n ≤ m ) называются такие

соединения, каждое из которых содержит n элементов, взятых из m данных

элементов, и которые отличаются друг от друга по крайней мере одним

элементом.

Определение. Сочетанием без повторений из n элементов по m -

называется любое m элементное подмножество n -элементного множества

Число сочетаний из n элементов по m обозначают (от французского

«combination» - «сочетание») и вычисляют по формуле:

Пример № 11

Сколькими способами из класса, где учатся 24 ученика, можно выбрать два

дежурных ?

Решение.

n =24, m=2











 



  









  



    

    

     

5.Формирование умений и навыков в решении комбинаторных задач.

При решении комбинаторных задач и выборе типа соединений важно

ответить на следующие вопросы:

✓ Учитывается ли порядок следования элементов в соединении?

✓ Все ли элементы входят в соединение?

Учитывается ли порядок следования элементов в соединении?

Все ли элементы входят в соединение?

СОЧЕТАНИЯ

ПЕРЕСТАНОВКИ

= n! =n · (n - 1) · (n – 2) · … · 2 ·

РАЗМЕЩЕНИЯ

Определить к какому типу относится соединений относится задача.

1. Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из

5 различных уроков?

✓ Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? ( да)

✓ Все ли элементы входят в соединение? (да)

Вывод: перестановка

2. В 9«Б» классе 12 учащихся. Сколькими способами можно сформировать

команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде?

✓ Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? (нет)

✓ Все ли элементы входят в соединение? (на этот вопрос ответ не нужен)

Вывод: сочетания

3. Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых можно

использовать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в числе должны быть

различными?

✓ Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? ( да)

✓ Все ли элементы входят в соединение? (нет)

Вывод: размещение

Решить задачи:

1. У нас имеется 5 книг. Известно, что у нас всего одна полка, и на ней

вмещается лишь 3 книги. Сколькими способами можно расставить на

полке 3 книги?

Решение.

✓ Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? ( да)

✓ Все ли элементы входят в соединение? (нет)

Вывод: размещение

ДА

НЕТ

ДА

НЕТ

n =5, m=3













  













        

  

 

2. Сколькими способами можно расставить 3 тома на книжной полке, если

выбирать их из имеющихся в наличии внешне неразличимых 5 книг?

Решение.

✓ Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? (нет)

✓ Все ли элементы входят в соединение? (на этот вопрос ответ не нужен)

Вывод: сочетания

n =5, m=3











 



  









  



        

        

     

3. Сколькими способами могут занять I, II, III места 8 участниц

финального забега на дистанции 100 м?

Решение.

✓ Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? (да)

✓ Все ли элементы входят в соединение? (нет)

Вывод: сочетания

n =8, m=3













  













      



       

4. Вернемся к решению задачи о музыкальном квартете

Проказница Мартышка

Осёл,

Козёл,

Да косолапый Мишка

Затеяли играть квартет

…

Стой, братцы стой! –

Кричит Мартышка, - погодите!

Как музыке идти?

Ведь вы не так сидите…

И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не идет.

Вот пуще прежнего пошли у них разборы

И споры,

Кому и как сидеть…

Сколько различных вариантов расположения музыкантов возможно?

Решение.

✓ Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? ( да)

✓ Все ли элементы входят в соединение? (да)

Вывод: перестановка

= n! =n · (n - 1) · (n – 2) · … · 2 · 1

n =4

= 4! = 4 · 3 · 2 ·1=24

Работа в группе

В результате решения заданий учащиеся ответят на вопрос: кто

является автором высказывания «Рано или поздно всякая правильная

математическая идея находит применение в том или ином деле»?

(русский математик, физик, механик, кораблестроитель Алексей

Николаевич Крылов).

Задания для групп

Первая группа

№

задания

Задания

Ответ

Буква







Сколькими способами могут занять I, II, III места

8 участниц финального забега на дистанции 100

м?

Сколькими различными способами для участия в

конференции из 9 членов научного общества

можно выбрать трех студентов?

Сколькими способами могут встать в очередь в

билетную кассу 5 человек?







Сколькими способами из 15 учеников класса

можно выбрать трёх для участия в праздничном

концерте?

Вторая группа

№

задания

Задания

Ответ

Буква

  













10.

Сколькими способами можно установить

дежурство по одному человек в день среди семи

учащихся класса в течении семи дней?

11.







-2168

12.

В теннисном турнире участвуют 10

спортсменов. Сколькими способами

теннисисты могут завоевать золото, серебро и

бронзу?

Третья группа

№

задания

Задания

Ответ

Буква

13.





- 3

14.

Сколькими различными способами для участия

в конференции из 9 членов научного общества

можно выбрать четырех студентов?

15.





16.







17.







18.

Сколькими способами можно рассадить

четверых детей на четырех стульях в столовой?

Четвертая группа

№

задания

Задания

Ответ

Буква

19.





20.







21.

Из 30 обучающихся группы надо выбрать

старосту и помощника старосты. Сколькими

способами это можно сделать

22.





23.





(подсказка 0!=1)

Таблица кодов

Результаты вычислений

Ответы к заданиям

Задания для первой группы:

№

задания

Задания

Буква

Ответы





























 

Сколькими способами могут

занять I, II, III места 8 участниц финального

забега на дистанции 100 м?

Размещение

Сколькими различными способами для участия

в конференции из 9 членов научного общества

можно выбрать трех студентов?

Сочетания

Сколькими способами могут встать в очередь в

билетную кассу 5 человек?

Перестановки































     

Сколькими способами из 15 учеников класса

можно выбрать трёх для участия в праздничном

концерте?

Сочетания

Задания для второй группы:

№

задания

Задания

Буква

Ответы























             

120





























 

10.

Сколькими способами можно установить

дежурство по одному человек в день среди семи

учащихся класса в течении семи дней?

Перестановки

11.







-2168=













  







 





        

  

132

12.

В теннисном турнире участвуют 10

спортсменов. Сколькими способами

теннисисты могут завоевать золото, серебро и

бронзу?

Размещение

Задания для третьей группы:

№

задания

Задания

Буква

Ответы

13.





– 3=





-3=5 -3=12

14.

Сколькими различными способами для

участия в конференции из 9 членов научного

общества можно выбрать четырех студентов?

Сочетания

15.





               

720

16.











 



  









  



      

      

     

17.





























           

6720

18.

Сколькими способами можно рассадить

четверых детей на четырех стульях в

столовой?

Перестановки

Задания для четвертой группы:

№

задания

Задания

Буква

Ответы

19.





                 

5040

20.









 



  









  



  



 

21.

Из 30 обучающихся группы надо выбрать

старосту и помощника старосты. Сколькими

способами это можно сделать

Размещение

22.









     

132

23.



























 

(подсказка 0!=1)

720

6. Домашнее задание

Выучить конспект и формулы.

С. 321 № 1062

С. 325 №1074,1075

С. 329 №1081

7. Подведение итогов урока

• Какие типы соединений вы знаете?

• В чем отличие перестановок и размещений?

• В чем отличие размещений и сочетаний?

Скачать материал

Конспект урока "Основы комбинаторики. Размещения, перестановки, сочетания" 11 класс

Алгебра - еще материалы к урокам:

Предметы

Похожие материалы