Планирование "Трансцендентные кривые"

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ЛИЦЕЙ №88

Г.ЧЕЛЯБИНСКА

Трансцендентные

кривые

Факультативный курс

Чистякова Наталья Петровна

Пояснительная записка

В настоящее время традиционный взгляд на содержание обучения

математике, её роль и место в общем образовании ᴨȇресматривается и

уточняется. Для продуктивной деятельности в современном мире требуется

достаточно прочная базовая математическая подготовка.

Факультативные занятия по математике призваны углублять

математические знания школьников, уже определивших основной круг своих

учебных интересов, развивать их математические способности,

самостоятельность. Кроме того, данный курс способствует вовлечению

учащихся в проектную деятельность. В современном информационном

обществе необходимо научить детей учиться, привлекать их к проектной

деятельности, показать, как важно не только добросовестно усваивать

школьную программу, но и самостоятельно углублять знания по

интересующим областям науки.

Данный факультативный курс позволяет уйти от формального

изложения математики и увидеть её практическое предназначение и

целесообразность. Будут реализованы различные формы проведения урока:

лекция, беседа, игровая форма. Итоговое занятие предполагает проведение

конференции, где учащиеся смогут представить свои реферативные работы,

которые в перспективе возможно развить до уровня НОУ.

Курс доступен учащимся 10-11 классов. Также может быть разделен между 8-

9 классом и 10-11 по факту знания тригонометрических функций. В

зависимости от этого может варьироваться и количество часов, отведенных на

каждую тему.

Цели курса:

- расширение кругозора учащихся в области практического применения

математики;

- выявление тесной связи математики с различными областями науки и

техники, природными явлениями;

- воспитание чувства уважения к математическим дисциплинам, как к наукам,

без которых развитие цивилизации было бы невозможно;

- вовлечение учащихся в проектную деятельность.

В результате учащиеся должны

знать:

- основные системы координат

- классификацию кривых, в зависимости от уравнения ее задающего

- некоторые сведения о трансцендентных кривых, их свойствах и

практическом применении

уметь:

- решать нестандартные задачи, связанные с системами координат

- осуществлять переход от полярных координат к декартовым

- строить трансцендентные кривые как вручную, так и с помощью

специальных пакетов.

Тематическое планирование

№

Тема

Примечание

Метод координат. Числовая ось.

Координатная плоскость.

Часть занятия проходит в форме

беседы

Другие системы координат.

Необходимо использовать готовые

плакаты, или презентацию

Задачи в полярной системе

координат.

Введение понятия

трансцендентной кривой

Презентация "Примеры

трансцендентных кривых"

Трансцендентные кривые,

изучаемые в школьном курсе.

Для практической части

необходим компьютер с доступом

в интернет

Некоторые трансцендентные

кривые и их свойства.

Целесообразно использовать

презентацию. Необходимо наличие

компьютеров для практикума.

Защита реферативных работ

Итоговое занятие

Тема 1. Метод координат. Числовая ось. Координатная плоскость.

Цель:

Обучающая: дать обобщенное понятие координаты точки, декартовой

системы координат, повторить и обобщить понятие координатной плоскости,

расстояния между двумя точками на плоскости.

Развивающая: развитие математической культуры, закрепление

терминологии.

Воспитательная: воспитание аккуратности, внимания.

Ход занятия

Тема «Метод координат» изучается в рамках школьного курса, поэтому

на 1 занятии целесообразно вести урок в режиме диалога с учащимися,

обратить внимание слушателей на то, что данный метод очень распространен

в любой сфере науки и обычной жизни.

Вопросы для беседы:

1. Что такое координаты точки? (Числа, с помощью которых

определяется положение точки, называются координатами точки.)

2. Что понимается под методом координат? (Метод координат — это

способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других

символов.)

3. Сколько координат может иметь точка? (1- на числовой прямой, 2

– на плоскости, 3 – в пространстве.) Возможны ли другие варианты?

(Подумайте, как можно рассчитывать, т. е. изучать в числах, орбиту спутника

— некоторую линию. Ведь для этого надо уметь переводить на язык чисел

геометрические понятия и в первую очередь уметь определять положение

точки в пространстве (или на плоскости, или на поверхности Земли и т. д.) с

помощью чисел. Если же известна траектория спутника, т. е. линия, по

которой он движется, то, чтобы найти положение спутника на этой линии,

достаточно указать одно число: например, можно указать расстояние,

пройденное спутником от некоторой точки траектории.)

4. Приведите примеры координат объекта из жизни.

Например:

а) Хорошо известные вам географические координаты определяют

положение точки на поверхности Земли — каждая точка на земной

поверхности имеет две координаты: широту и долготу.

б) Чтобы определить положение спутника, можно указать высоту его

над поверхностью Земли, а также широту и долготу точки, над которой он

находится.

в) Применяют метод координат для определения положения точки на

линии железной дороги: указывают номер километрового столба. Этот номер

и является координатой точки на железнодорожной линии. Например, в

названии «Платформа 42-й километр» число 42 —это координата станции.

г) Своеобразные координаты используются в шахматах, где положение

фигуры на доске определяется с помощью буквы и числа. Вертикальные ряды

клеток обозначаются буквами латинского алфавита, горизонтальные ряды —

цифрами. Каждой клетке доски соответствует буква, указывающая

вертикальный ряд, в котором стоит клетка, и цифра, указывающая

горизонтальный ряд. Применение координат в шахматах позволяет играть в

шахматы по переписке. Чтобы сообщить ход, нет надобности рисовать доску и

расположение фигур. Достаточно, например, сказать: «Гроссмейстер сыграл

е2 — е4», и всем уже известно, как начата партия.

Далее, переходим к координатам в математике. Здесь необходимо

обратить особое внимание, что метод координат производит «оцифровку»

любой точки, а значит появляется возможность обработки информации с

помощью компьютера.

Числовая ось

Чтобы задать положение точки на прямой, поступают следующим

образом. На прямой выбирают начало отсчета (некоторую точку О), единицу

масштаба (отрезок е) и направление, которое будет считаться

положительным.

Определение: Прямая, на которой указаны начало отсчета,

единица масштаба и положительное направление, называется числовой

осью.

Для определения положения точки на числовой оси достаточно назвать

одно число, например 5. Это будет означать, что точка лежит на расстоянии 5

единиц масштаба от начала отсчета в положительном направлении.

Определение: Число, определяющее положение точки на числовой

оси, называется координатой точки на этой оси.

Координата точки на числовой оси равна расстоянию точки от начала

отсчета, выраженному в выбранных единицах масштаба и взятому со знаком

плюс, если точка лежит в положительном направлении от начала, и со знаком

минус —в противном случае.

Определение: Начало отсчета часто называют началом координат.

Координата начала отсчета (точки О) равна нулю.

Употребляют обозначения: М( — 7), N (а) и т. д. Первая запись

обозначает точку М с координатой минус семь, вторая — точ к у N с

координатой а. Часто говорят коротко: «точка минус семь», «точка а» и т. п.

Определение: Соответствие между числами и точками прямой при

котором каждой точке прямой соответствует определенное число и каждому

числу соответствует одна определенная точка называется взаимно-

однозначным.

Практические задания и упражнения:

При решении задач можно пригласить одного ученика к доске, а

остальные ребята работают в тетрадях. Это позволит учителю комментировать

каждое задание по мере его выполнения на доске.

Задание 1.

а) Известно, что точка А (а) лежит правее точки В(b). Какое число

больше: а или b?

Ответ: больше число b.

б) Не рисуя точек на числовой оси, скажите, какая из двух точек

правее: А (—3) или В (—4), А (3) или В (4), А (3) или В (—4), А (—3) или В

(4)?

Ответ: правее та точка, координата которой больше, т.е. надо

сравнить числа.

Задание 2.Какая из двух точек правее: А (а) или В (—а)?

О т в е т . Неизвестно. Если а—положительное число, то А правее, чем

В; если же а —отрицательное число, то В правее, чем А.

Задание 3.Подумайте, какая из двух точек правее: а) М (х) или N (2х);

б) А(с) или В(с + 2); в) А(х) или В(х—а).

О т в е т : Если а больше нуля, то правее А; если а меньше нуля, то

правее В. Если а = 0, то А и В совпадают.

Задание 4.а) Какое слово здесь зашифровано: (6;2), (9;2), (12;0),

(11;-2), (9;-2), (4;-2), (2;-1), (1;1), (-1;1), (-2;0), (-2;-2), (2;1), (5;2), (12; 2), (9;1),

(10;-2), (10;0), (4;1), (2;2), (-2;2), (-2;1), (0;0), (2; 0), (2; -2), (4;-1), (12;-1),

(12;-2), (11;0), (7;2), (4;0), (9;0), (4;2), (12;1), (-2;-1)?

Ответ: Слово «МГУ»

б) Точка М расположена прямо над точкой А (— 1; 3) и выше ее на 5

единиц. Найдите координаты точки М.

Ответ: х=-1, y=y=3+5=8. М(-1;8).

Абсолютная величина числа

Обсудим еще одно понятие – модуль числа. Эта тема очень часто

встречается в школьных заданиях и в задачах ЕГЭ.

Определение: Абсолютной величиной числа а (или модулем числа

а) называется расстояние точки А (а) от начала координат.

Так как точки а и -а расположены на одинаковом расстоянии от начала

координат, то у чисел а и -а абсолютная величина одинаковая: |а| = | -а|.

Упражнение 1: Где на числовой оси лежат точки х, для которых |х|>3

Решение:

Если х—положительное число, то |х| = х, следовательно, х>3; если х -

отрицательное число, то | х | =- х; тогда из неравенства -х > 3 следует, что х<-

О т в е т . Все точки, расположенные левее точки с координатой (-3), и

все точки, расположенные правее точки с координатой (3).

Ответ можно получить быстрее, если учесть, что модуль числа — это

расстояние точки от начала координат. Тогда ясно, что искомые точки

расположены от начала координат на расстоянии, большем чем 3.

Упражнение 2: решение уравнений, содержащих модули:

|х+1| + |х + 2|=2

Решение:

Так как |а | = а при a≥0 и | а | = — а при а< О, то выражения |х +1| и |х

+ 2| «раскрываются» по-разному, в зависимости от того, какой знак имеют

выражения, стоящие под знаком модуля. Разобьем все множество значений х

на три участка, границами которых являются точки, где обращается в нуль

одно из выражений под знаком модуля:

1) х≥—1; 2)— 2<х<— 1; 3) х≤—2.

Рассмотрим каждый участок отдельно.

1) х≥—1. Для этих значений х имеем: х+1≥0, х+2>0. Уравнение

имеет вид: 2x+3 = 2. Корень этого уравнения -0,5 удовлетворяет условию х≥—

1. Аналогично рассматриваются случаи 2 и 3.

Ответ: —2,5; —0,5.

Расстояние между двумя точками на прямой

Начнем с упражнения. Найдите расстояние между точками: А (-7) и В (-

20). Решить эту задачу нетрудно, так как, зная координаты точек, можно

разобраться, какая точка правее, какая левее, как они расположены

относительно начала координат и т. д. После этого совсем легко сообразить,

как вычисляется искомое расстояние.

Теперь предлагаем вам вывести общую формулу для расстояния между

двумя точками на числовой оси, т. е. решить такую задачу:

За дача 1. Даны точки А (



) и В (



); определить расстояние р (А, В) между

этими точкам.

Решение:

Так как теперь конкретные значения координат точек неизвестны, то надо

разобрать все возможные случаи взаимного расположения трех точек: А, В и

О —начала координат. Таких случаев шесть. Сначала рассмотрим 3 случая, в

которых В правее А.

 В первом из них, когда точки А и В лежат правее начала

координат, расстояние р (А, В) равно разности расстояний точек В и А от

начала координат. Так как в этом случае 



и 



положительны, то р(А ,В) =





—



 Во втором случае, когда точки А и В лежат по разные стороны от

начала координат (А- слева, В – справа), расстояние равно сумме расстояний

точек В и А от начала координат, т. е. по-прежнему р (А, В) = 



—



поскольку в этом случае 



положительно, a 



- отрицательно.

 В третьем случае, когда обе точки лежат левее точки О, расстояние

будет определяться той же формулой.

 Другие 3 случая отличаются от разобранных тем, что точки А и В

поменялись ролями. В каждом из этих случаев можно проверить, что

расстояние между точками А и В равно р(А, В) = 



—



Вспоминая определение модуля, можно записать это единой формулой,

пригодной во всех шести случаях: р(А,В) =|



—



Задача 2

Найти точку, расположенную в три раза ближе к точке А(— 1), чем к

точке В (7).

Решение:

если обозначить через х координату искомой точки М, |x+1|=|x—7|

Решая это уравнение, получаем корни: 1 и -5. Итак, ответ к задаче:

М1(1) и М2(—5).

Координаты точки на плоскости.

Напомним ряд понятий, с которыми учащиеся уже знакомы и

рассмотрим их применение к решению задач.

Чтобы определить координаты точки на плоскости, проведем в этой

плоскости две взаимно перпендикулярные числовые оси. Одну из осей

называют осью абсцисс или осью х (или Ох), другую—осью ординат или

осью у (или Оу). Направление осей обычно выбирают так, чтобы поло-

жительная полуось Ох совмещалась с положительной полуосью Оу поворотом

на 90° против часовой стрелки (рис.16).

Рис. 16

Точку пересечения осей называют началом координат и обозначают

буквой О. Она является началом отсчета для каждой из двух числовых осей

Ох и Оу. Единицы масштаба на этих осях выбираются, как правило,

одинаковыми.

Возьмем на плоскости некоторую точку М и опустим из нее

перпендикуляры на ось Ох и ось Оу . Точки пересечения М1 и М2 этих

перпендикуляров с осями называются проекциями точки М на оси координат.

Таким образом, каждой точке М, лежащей на плоскости, ставятся в

соответствие два числа х и у, которые называются прямоугольными

декартовыми координатами точки М. Число х – называется абсциссой, у –

ординатой точки М.

Определение: прямоугольными декартовыми координатами точки на

плоскости называются координаты проекций этой точки на оси координат на

этих осях.

Оси координат делят плоскость на четыре четверти (квадранта).

Первой четвертью считается четверть между положительной полуосью Ох и

положительной полуосью Оу. Далее четверти нумеруются по порядку против

часовой стрелки.(Рис. 17)

Рис. 17

Задание 1: Нарисуйте точки А(4; 1), В(3; 5), С(—1; 4) и D (0;0). Если

вы правильно нарисовали, то у вас получились вершины квадрата. Какова

длина стороны этого квадрата? Какова его площадь? Найдите координаты

середин сторон квадрата. Не можете ли вы доказать, что

ABCD

— квадрат?

Придумайте еще четыре точки (укажите их координаты) так, чтобы они

служили вершинами квадрата.

Решение:

Сторона квадрата:  . Площадь: 17. Координаты середины стороны

АВ: (3,5;3). ровести диагональ BD, найти ее длину, проверить: является ли

треугольник ABD прямоугольным?(с помощью теоремы, обратной теореме

Пифагора). Так можно доказать, что предложенный четырехугольник -

квадрат.

Расстояние между двумя точками

Мы начнем с простой и обычной задачи: найти расстояние между

двумя точками плоскости. Поставленную задачу лучше сначала решить для

частного случая, когда одна из данных точек лежит в начале координат.

Начните с нескольких числовых примеров: найдите расстояние от начала

координат точек (12; 5); (-3; 15) Пользуясь уже известной формулой для

вычисления расстояния точки от начала координат р(О,М) =.



 у

, легко

получить результат.

Задача. Даны две точки плоскости А (х1; у1) и В(х2; у2). Найти

расстояние р(А, В) между ними.

Ре шение . Обозначим через А1, В1, А2, В2 проекции точек А и В на

оси координат. Точку пересечения прямых АА1 и ВВ2 обозначим буквой С

(Рис. 18).

Рис. 18

Из прямоугольного треугольника ABC по теореме Пифагора получаем:

(А, В) = р

(А, С) + р

(В, С) (*)

Но длина отрезка АС равна длине отрезка А2В2. Точки А2 и В2 лежат

на оси Оу и имеют соответственно координаты 



и 



. Согласно формуле,

расстояние между ними равно |



– 



|. Аналогично рассуждая, получим, что

длина отрезка ВС равна |



– 



|. Подставляя найденные значения АС и ВС в

формулу (*), получаем:

(А, В) = (



– 



)

+ (



– 



)

Таким образом, р (А , В) — расстояние между точками А(



;



) и

В(



;



) — вычисляется по формуле:

р(А, В) = 



 







 



 







Заметим, что данная формула не зависит от выбора точек и значит

является общей для вычисления расстояния между любыми точками на

плоскости.

Практические задания

Задание 1.

На плоскости даны три точки А(3; —6), В(—2; 4) и С(1; —2).

Докажите, что эти три точки лежат на одной прямой.

У к а з а н и е . Покажите, что одна из сторон «треугольника» ABC равна

сумме двух других его сторон.

Задание 2.

Примените формулу расстояния между точками для доказательства

известной вам теоремы: в параллелограмме сумма квадратов сторон равна

сумме квадратов диагоналей.

У к а з а н и е . Возьмите одну из вершин параллелограмма за начало

координат. Вы увидите, что доказательство теоремы сведется к проверке про-

стого алгебраического тождества. Какого?

Ранее в задачах уже рассматривалось задание фигуры в частности,

квадрата через координаты вершин. Оказывается, такого задания фигуры

может быть достаточно даже для задачи нахождения ее площади. Рассмотрим

подробнее задание фигур в ПДСК.

Задание фигур

Всякую фигуру мы рассматриваем как совокупность точек, из которых

она состоит, и задать фигуру—это значит задать способ, по которому можно

было бы узнавать, принадлежит ли та или иная точка рассматриваемой фигуре

или нет. Чтобы найти такой способ, например, для окружности, воспользуемся

определением окружности как множества точек, расстояние которых от

некоторой точки С (центра окружности) равно числу R (радиусу). Значит,

чтобы точка М (х, у) лежала на окружности с центром С (а; в), необходимо и

достаточно, чтобы p( М , С) было равно R. Вспомним, что расстояние между

точками определяется по формуле

р(А, В) = 



 







 



 







Следовательно, условие того, что точка М (х; у) лежит на окружности с

центром С(а;в) и радиусом R, выражается соотношением

х  а

 у  

 , которое можно переписать в виде: (x-a)

+ (y-b)

. (*)

Таким образом, чтобы проверить, лежит ли какая-нибудь точка на

окружности, нужно проверить, удовлетворяется ли соотношение (*) для этой

точки. Для этого нужно подставить в (*) вместо х и у координаты

рассматриваемой точки. Если мы получим тождество, то точка лежит на

окружности, в противном случае точка не лежит на окружности. Итак, зная

уравнение (*), мы можем про любую точку плоскости сказать, лежит она на

окружности или нет. Поэтому уравнение (*) называют уравнением

окружности с центром С (а; b) и радиусом R.

Практические задания

Задание 1. Покажите, что уравнение х

+ 2х+у

= 0 задает на плоскости

некоторую окружность. Найдите ее центр и радиус.

У к а з а н и е . Представьте уравнение в виде (х

+2х+1)+у

=1, или

(х+1)

+у

=1.

Задание 2.

Какое множество точек задает соотношение х

+у

≤4х +4у?

Решение: Перепишем это неравенство: х

—4х+4 + у

—4y + 4≤ 8,

или (х - 2)

+ (у - 2)

≤ 8. Как теперь ясно, это соотношение выражает, что рас-

стояние точки искомого множества от точки (2; 2) меньше или равно



8.Очевидно, что точки, удовлетворяющие этому условию, заполняют круг

радиуса



8 с центром в (2; 2). Так как в соотношении допускается равенство,

то граница круга тоже принадлежит искомому множеству.

Тема 2: Другие системы координат.

Цель:

1. Обучающая: познакомить с новыми системами координат и их

использование при решении задач.

2. Развивающая: расширить представление учащихся о системах

координат.

3. Воспитательная: увеличение степени дисциплинированности,

организованности.

Ход занятия

В рамках данного занятия учащимся придется столкнуться с большим

количеством новой информации, выходящей за рамки школьного

представления о системе координат. Поэтому, на занятии целесообразно

продемонстрировать готовые чертежи на плакате (с использованием

проектора).

Объяснение материала

Наряду с декартовой прямоугольной системой координат употреб-

ляются и другие системы координат на плоскости. В некоторых случаях

оказывается необходимым брать по осям координат разные единицы

масштаба. Рассмотрим классификацию систем координат на рисунке 19:

Рис. 19

Полярные координаты

Полярные координаты точки на плоскости определяются следующим

образом. На плоскости берется числовая ось. Начало координат этой оси

(точка О) называется полюсом, а сама ось — полярной осью. Для определения

положения точки Р достаточно указать два числа: р — полярный радиус

(расстояние этой точки от полюса) и у —полярный угол. Графическая

интерпретация представлена на рисунке 20.

Рис. 20

Полярными координатами точки P называются радиус-вектор ρ -

расстояние от точки P до заданной точки O (полюса) и полярный угол φ - угол

между прямой OP и заданной прямой, проходящей через полюс (полярной

осью). Полярный угол считается положительным при отсчете от полярной оси

против часовой стрелки и отрицательным при отсчете в обратную сторону.

Координатные линии в полярных системах - окружности с центром в полюсе и

лучи. Кто занимался в туристских секциях, легко поймет, что хождение по

азимуту основано на том же принципе, что и полярные координаты.

С помощью полярных координат можно тоже задавать на плоскости

различные множества точек. Очень простым, например, будет уравнение

окружности с центром в полюсе. Если радиус окружности равен R, то и

полярный радиус любой точки окружности (и только точек на

рассматриваемой окружности) тоже равен R, значит, уравнение этой

окружности имеет вид

p = R, где R — некоторая постоянная величина(Рис.21).

Рис. 21

Разберем 2 примера.

1. Уравнение р = φ изображает некоторую спираль. В самом деле,

при φ = 0 имеем р = 0 (полюс), а с ростом φ величина р тоже растет, так что

точка, поворачиваясь вокруг полюса (против часовой стрелки), в тоже время

удаляется от него. Графическая интерпретация представлена на рисунке 22.

Рис.22

2. Другую спираль изображает уравнение р 

φ

. Здесь при φ,

близком к 0, величина р велика, а при возрастании φ величина р убывает и

мала при больших φ. Поэтому спираль при неограниченном возрастании φ

«навертывается» на точку О(Рис.23).

Рис.23

Рассмотрим как связаны координаты в декартовой и полярной системах

координат:

Полярная система координат в некоторых случаях удобнее декартовой.

Вот так, например, выглядит для полярных координат уравнение кардиоиды

р = 1 — sin φ.

В декартовых координатах: (х

+ у

+ у) = х

+ у

Красивые цветы задаются в полярной системе довольно простыми формулами,

например:

р = sin 5 φ (p – 2)(p – 2 - |cos 3 φ|) = 0

Цилиндрическая система координат (Рис.24) представляет собой

полярную систему, дополненную осью z декартовой системы и задается

соотношениями:

Рис.24

ρ и φ - полярные координаты проекции точки P на основную плоскость

(обычно xOy), z - аппликата - расстояние от точки P до основной плоскости.

Для цилиндрических координат координатными поверхностями являются

плоскости, перпендикулярные к оси Oz (z = const), полуплоскости,

ограниченные осью z (φ = const) и цилиндрические поверхности, осью

которых является ось z (ρ=const). Координатные линии - линии пересечения

этих поверхностей

Сферическая система координат (Рис.25) определяется координатами

= r, q

= θ, q

= φ, где r – модуль радиус-вектора r, θ и φ – соответственно

полярный и аксиальный углы, связанные с декартовыми координатами

соотношениями:

r - длина радиус-вектора, φ - долгота, θ - полярное расстояние.

Рис.25

Положительные направления отсчета показаны на рисунке. Если давать

сферическим координатам значения в следующих пределах: 0 ≤ r < ∞, -π < φ ≤

π, 0 ≤ θ ≤ π, то получаются однозначно все точки пространства. Координатные

поверхности: сферы с центром в начале (r = const), полуплоскости,

ограниченные осью z (φ=const), конусы (с вершиной в начале), для которых

ось z является осью (θ = const). Координатные линии - линии пересечения этих

поверхностей.

Тема 3: Задачи в полярной системе координат.

Цель:

1. Обучающая: научиться решать задачи в полярной системе

координат.

2. Развивающая: расширить кругозор учащихся, представление о

системах координат.

3. Воспитательная: воспитание усидчивости, трудолюбия,

аккуратности.

Ход занятия

Данное занятие посвящено практическому решению задач. В

частности, задач в полярной системе координат.

Задание 1. Построить точку M с координатами (3, + π/4) в полярной

системе координат.

Решение:

Проведем через полюс O ось OP

под углом к полярной

оси OP (положительное направление указано стрелкой) и отложим от полюса

в положительном направлении оси OP

отрезок OM, равный трем единицам.

Конец M этого отрезка и будет искомой точкой (Рис.26).

Рис.26

Задание 2. Построить в полярной системе координат точку M(-2, 5π/4).

Решение:

Проведем через полюс O ось OP

под углом к полярной оси и

отложим от полюса в отрицательном направлении осиOP

отрезок OM, равный

двум единицам. Конец этого отрезка и будет искомой точкой (Рис.27).

Рис.27

Задание 3. Прямоугольные координаты точки A(2, 3). Найти ее

полярные координаты.

Решение:

По формулам

Получаем:

Выбираем по нашему усмотрению знак перед корнем, например, плюс.

Тогда . Так как и , то угол

находится в первой четверти. На основании формулы

по таблицам находим, что . Полярные координаты

точки A найдены: или . Постройте точку. Если бы

перед корнем был выбран знак минус, то тогда

, и так как и , то угол находится в третьей четверти.

Зная, что , получаем , а точка A имеет полярные координаты

Постройте точку по этим координатам и убедитесь, что она совпала с

ранее построенной.

Поместим полюс полярной системы координат в начало

прямоугольной системы координат, полярную ось совместим с

положительной полуосью абсцисс (Рис. 28).

Рис. 28

Возьмем уравнение прямой в нормальном виде

Формулы перехода имеют вид

(1)

Подставив в это уравнение значения x и y из формулы (1),

получим ,или ,

откуда ,

и окончательно .

В этом уравнении постоянными величинами являются p и , величины

же r и - переменные: это текущие полярные координаты точки на прямой

(последняя формула может быть получена также из чертежа).

Задание 4. Построить кривую r = a cos 2φ и найти ее уравнение в

прямоугольной системе координат.

Решение.

Будем давать значения полярному углу от до через

промежуток и вычислим соответствующие значения r. Найденные

значения поместим в таблицу. Примем произвольный отрезок за единицу

масштаба, которой будем пользоваться при построении r. По значениям r и

из таблицы построим точки, соответствующие каждой паре чисел r и , и

соединим их плавной кривой.

- a

Построение кривой показано на следующих рисунке 29:

Рис.29

Итоговый результат представлен на рисунке 30

Рис. 30

На рисунке 29 кривые, построенные на различных этапах, соединены в

одну. Полученная кривая называется четырехлепестковой розой.

Теперь найдем уравнение четырехлепесковой розы в прямоугольной

системе координат, причем напоминаем, что начало прямоугольной системы

координат помещено в полюс полярной системы координат, а ось абсцисс

направлена вдоль полярной оси.

Учитывая, что , уравнение четырехлепестковой

розы перепишем в виде . Подставляя сюда

формулы перехода

получим

, или .

Отсюда .

Возводя обе части последнего уравнения в квадрат, получим

окончательно

+ y

)

= a

- y

)

Задание 5 Построить кривую (x

+ y

)

= 2ax

(a > 0).

Решение.

Найти полярное уравнение кривой. Поместить полюс в начало

прямоугольной системы координат, а полярную ось совместить с

положительной частью оси абсцисс. Воспользуемся формулами

Уравнение данной кривой в полярных координатах имеет вид

. Из рассмотрения данного уравнения заключаем, что при любых

значениях x и y его левая часть не отрицательна, так как она содержит квадрат

суммы x

+ y

. Значит, и правая его часть 2ax

(a > 0) не может быть

отрицательной, т. е. x не может принимать отрицательных значений. Это

говорит о том, что вся кривая будет расположена вправо от оси Oy.Так как

замена в данном уравнении y на -y не изменяет уравнения, то очевидно, что

кривая расположена симметрично относительно оси абсцисс. Значит,

достаточно построить кривую в первой четверти, а затем симметричную ей

часть - в четвертой четверти. Эти соображения говорят о том, что полярному

углу в уравнении данной кривой следует придавать значения

только от до . Таким образом, это простое исследование помогло

нам значительно упростить вычисления, так как теперь, вместо того, чтобы

придавать полярному углу значения до , ограничимся

значениями для только из первой четверти (кривая изображена на рисунке

31.)

Рис. 31

Тема 4: Введение понятия трансцендентной кривой

Цель:

1. Обучающая: дать понятие трансцендентной кривой.

2. Развивающая: расширить представление учащихся о кривых и

способах их задания.

3. Воспитательная: привитие интереса к изучаемому предмету .

Ход занятия

Так как характерные особенности формы кривой и ее свойства

определяются особенностями и свойствами соответствующего ей уравнения,

то естественно положить в основу классификации кривых природу их

уравнений - подразделение уравнений на алгебраические и трансцендентные.

Трансцендентными называют кривые, уравнения которых, будучи

записаны в прямоугольной системе координат, не являются алгебраическими.

Разлагая в ряд правую часть уравнения такой, например,

трансцендентной кривой, как   , мы получим уравнение, содержащее

алгебраические функции, однако число членов в нем будет неограниченным, а

степень бесконечно большой. Это дает основание рассматривать

трансцендентные кривые как алгебраические линии бесконечно высокого

порядка. Соответственно этому можно полагать, что характерные для

алгебраических кривых (точки пересечения с прямой, точки перегиба, особые

точки и т. д.) у трансцендентных кривых могут встречаться в бесконечном

количестве. И это на самом деле так: трансцендентная кривая может

пересекать прямую в бесконечном числе точек, у неё может быть бесконечное

множество вершин даже на сколь угодно малом интервале (например у кривой

  



вблизи начала координат), бесконечное количество точек перегиба,

асимптот и т.д.

Но помимо этой особенности, у трансцендентных кривых могут быть

характерные точки особой природы, которые не существуют у алгебраических

кривых. К ним относятся точки прекращения, обладающие той особенностью,

что окружность достаточно малого радиуса, проведённая из такой точки как

из центра, пересекает кривую только в одной точке (например, кривая  

, имеющая точку прекращения в начале координат). Сюда относятся

также угловые точки, в которых прекращаются две ветви кривой, причём

каждая из них имеет в этой точке свою касательную (например, кривая  

 

ln1  

, имеющая угловую точку в начале координат).

Трансцендентная кривая может иметь также асимптотическую точку, к

которой неограниченно приближается ветвь кривой, делая вокруг этой точки

бесконечное количество оборотов (например, логарифмическая спираль  





, для которой асимптотической точкой является полюс). Помимо указанных

характерных точек, трансцендентные кривые могут обладать весьма

своеобразными особенностями формы. Кривая может иметь, например,

пунктирную ветвь, состоящую из бесконечного множества изолированных

точек (например, кривая  



 имеет пунктирную ветвь,

располагающуюся вдоль отрицательной части оси абсцисс и состоящую из

множества изолированных точек с абсциссами –π, -2π, -3π и т.д.).

Особым свойством трансцендентных кривых является и то, что для

некоторых из них длина дуги, отсчитываемая от какой-либо точки кривой до

её асимптотической точки, является величиной конечной, у других же эта

длина неограниченно велика. Своеобразными являются кривые, в уравнения

которых переменные входят в иррациональной степени, например, кривая

  



. Если брать для



2 его приближённые значения с возрастающей

степенью точности, то получится ряд алгебраических кривых, которые всё

более и более уподобляются кривой   



никогда, однако, не

воспроизводя её точно. Лейбниц назвал такого рода кривые

интерсцендентными (interscindo (лат.) – разрывать).

Нет до сих пор удовлетворительной классификации трансцендентных

кривых. Попытки определить основы теории трансцендентных кривых были

мало состоятельны и сводились главным образом к тому, чтобы создать

общую теорию, охватывающую своими предложениями одновременно и

алгебраические и трансцендентные кривые.

Далее предлагается презентация "Примеры трансцендентных кривых"

Тема 5: Трансцендентные кривые, изучаемые в школьном курсе.

Цель:

1. Обучающая: рассмотреть и обобщить трансцендентные кривые,

изучаемые в рамках школьного курса алгебры.

2. Развивающая: расширить представление учащихся о различных

неалгебраических кривых.

3. Воспитательная: воспитание сознательного усвоения дисциплины

Ход занятия

На уроках алгебры учащиеся уже познакомились с некоторыми

трансцендентными кривыми. Были изучены графики тригонометрических

функций - синусоида и тангенсоида. Но понятие "трансцендентности" не

предусмотрено школьной программой, поэтому данная терминология не

рассматривалась. В рамках факультатива можно расширить представление о

тригонометрических функциях и их графиках. Введем понятие секанса.

СЕКАНС (Рис.32) — одна из тригонометрических функций,

обозначаемая символом sec х (х — аргумент) и определяемая формулой sec х

= 1/ cos х, где cos х косинус того же аргумента (угла) х. Областью

определения секанса является вся числовая ось, за исключением точек,

абсциссы которых х= π/2 (2n ± 1), где n=0, ±1, ±2, ... Секанс является функцией

неограниченной (1 ≤ |seс х| ≤ ∞), четной, периодической (с периодом 2π).

Рис.32

Если рассматривается произвольный радиус-вектор (подвижной вектор

ОМ=r), начало которого совпадает с началом координат, то отношение

| r|:x

=sec α, где α — угол, составленный радиус-вектором с

положительным направлением оси Ох (с неподвижной стороной OA

угла α=АОМ), а х

— абсцисса точки М — конца подвижного радиус-

вектора.

Знак секанса совпадает со знаком косинуса (cos α) того же аргумента α.

Если ограничиться только рассмотрением острого угла α, то секанс можно

определить, исходя из рассмотрения прямоугольного треугольника OMM

как

отношение гипотенузы ОМ к катету ОМ

прилежащему к углу α.(Рис. 33)

Рис. 33

График секанса в прямоугольной декартовой системе координат

называется секансоидой.

КОСЕКАНС(Рис.34) — одна из тригонометрических функций,

обозначаемая соsес х (х — аргумент) и определяемая формулой:

где sin х — синус того же аргумента (угла) х. Областью определения

косеканса является вся числовая ось (радианная мера изменяется от - ∞ до

+ ∞ за исключением точек, абсциссы которых: х = πn (n=0,±1,±2,...). Косеканс

является функцией неограниченной (1 ≤ |соsес x| < ∞), нечетной,

периодической (с периодом 2 π).

Рис. 34

Если рассматривать произвольный радиус-вектор (подвижный вектор)

ОМ=r, начало которого совпадает с началом координат, то отношение |r| / y

cosec α, где α —угол, составленный радиус-вектором с положительным

направлением оси Ох (с неподвижной стороной OA угла α = /АОМ), а у

—

ордината точки М — конца подвижного радиус-вектора. Графическая

интерпретация представлена на рисунке 34.

Знак косеканса совпадает со знаком синуса (sin α) того же аргумента.

Если ограничиться только острым углом α, то косеканс можно определить

исходя из рассмотрения прямоугольного треугольника OMM

, как отношение

гипотенузы ОМ к катету ММ

, лежащему против угла α. График косеканса в

прямоугольной системе координат называется косекансоидой Функция,

обратная косекансу, называется арккосекансом

Иногда косеканса угла х обозначают короче: сsс х.

Косеканс называется также кофункцией по отношению к секансу,т. е.

сходной по названию с функцией секанс, или функцией дополнительного угла.

Тема 6: Некоторые трансцендентные кривые и их свойства

Цель:

1. Обучающая: дать понятие и способы задания трансцендентных

кривых, показать практическую направленность, научиться строить графики с

помощью пакета "Математика".

2.Развивающая: расширение представления учащихся о кривых и их

использование в науке.

3.Воспитательная: формирование способностей выполнения различных

рисунков и чертежей.

Ход занятия

Определенную помощь в изучении математики могут оказать

программы-графопостроители. К выбору данной программы нужно подходить

разумно. Одни трудны в освоении, другие не входят в состав бесплатного ПО.

Одной из программ, удовлетворяющей всем параметрам, является

программный онлайн-продукт Wolframalpha. Найти его можно на

официальном сайте: http://www.wolframalpha.com

Практическую работу на этом занятии учащиеся выполняют за

компьютерами. Ребятам предлагается построить ряд функций, графиками

которых являются трансцендентные кривые. На рисунке 35 представлены

некоторые из них.

В зависимости от скорости освоения новой программы, через 3-5

графиков стоит предложить детям построить одну из трансцендентных

кривых, о которой подробно было сказано в главе 1. Например, цепная линия.

После того, как все успешно справились с заданием, следует сказать, что у

этой кривой есть конкретное название, описать некоторые свойства,

рассказать об области применения. Для этого можно использовать

презентацию "Цепная линия".

Рис.35

При подведении итогов занятия нужно предложить ребятам домашнее

задание к заключительному игровому уроку. Можно разбить ребят на

команды, каждая из которых должна создать презентацию по интересующей

трансцендентной кривой.

Тема 7

Итоговое занятие

Цель:

1. Обучающая: провести обобщающее повторение изученного

материала в игровой форме.

2. Развивающая: развитие математической культуры,

математической речи.

3. Воспитательная: формирование личностных позитивных качеств

школьников.

Ход занятия

1) Визитка

Ребятам предлагается придумать название совей команды,

охарактеризовать ее по первым буквам этого названия. На выполнение

отводится 5 минут. Название обязательно должно быть связано с темами

факультативных занятий.

2) Разминка "Верю- не верю"

Ведущий задает вопросы, по очереди каждой из команд. Участники

должны либо согласится с предложенным утверждением, либо нет.

- Окружность- трансцендентная кривая(нет)

- Трансцендентные кривые не изучаются в школе (нет)

- Одно из практических применений квадратрисы Динострата- деление

угла в заданном отношении(да)

- В подсолнухе семечки расположены по характерным дугам, близким,

как показывают соответствующие измерения, к дугам логарифмической

спирали(нет)

- Числа, с помощью которых определяется положение точки,

называется координатами точки(да)

- Отрезок, на которой указаны начало отсчета, единица масштаба и

положительное направление, называется числовой осью(нет, это прямая)

- В некоторых случаях можно брать по осям координат разные

единицы масштаба (да)

- Полярная система координат в некоторых случаях удобнее

декартовой(да)

За каждый правильный ответ дается 1 балл. Отвечает тот член

команды, который первым поднял руку.

3) Выполнить задания на карточках:

Пример 1. Найти полярные координаты изображенных на рисунке

точекМ1, М2, М3, М4

Решение. Полярные координаты ( ; R) точек М1, М2, М3, М4 могут

быть найдены и без применения формул, они очевидны из рисунка

М1 (0; 3); М2 ( ; 2);М3 ( ; 3); М4 ( ; 2).

4) "Последнее слово"

Команды по очереди называют известные им трансцендентные кривые.

Балл получает команда, давшая ответ последней. Другая команда не получает

ничего

5) "Лучший художник"

От каждой команды приглашается по 1 участнику. Необходимо

нарисовать график синуса закрытыми глазами. Оценивается правильность,

аккуратность(5-бальная шкала). Первому, выполнившему задание +1балл

6) "Знакомство с кривыми"

На суд жюри предоставляются презентации, выполненные командами.

7) конкурс капитанов

Пока участники команд отгадывают кроссворд, капитанам

предлагается индивидуальное задание:

Определить, какую линию представляет уравнение:   2    

Решение: Переходя к прямоугольной системе, находим:





 



2









, то есть

 

 2  0 

   

 

;

Таким образом, исходное уравнение задает окружность радиуса а,

проходящую через полюс О и касающуюся полярной оси ОХ.

Скачать материал

Планирование "Трансцендентные кривые"

Математика - еще материалы к урокам:

Предметы

Похожие материалы