Ученики на Учителя.com


Мастер-класс "Методы решения иррациональных уравнений"

Мастер-класс:
Методы решения иррациональных
уравнений
г. Алагир
Подготовила: учитель математики
МБОУ СОШ №5 г. Алагира
Хлоева Яна Казбековна
Методы решения иррациональных уравнений
Аннотация:
В заданиях Единого государственного экзамена имеется довольно
много уравнений, при решении которых необходимо выбрать такой способ
решения, который позволяет решить уравнения проще, быстрее. На уроке
учащиеся анализируют различные методы решения иррациональных
уравнений. Это особенно ценно при подготовке к ЕГЭ.
Одной из нелегких и трудно усваиваемых тем
на уроках математики являются иррациональные уравнения.
В работе рассмотрены основные понятия и формулы, которые нужно знать
для успешного решения иррациональных уравнений.
Методические рекомендации призваны помочь при самостоятельном
изучении и повторении темы.
В данной работе рассматриваются иррациональные уравнения, а также
приёмы их решения, которые будут полезны любым ученикам, особенно для
подготовки к ЕГЭ!
Дата: 11.12.2020г.
Цель урока:
1. Обобщение и систематизация способов решения иррациональных
уравнений.
2. Решение более сложных типов иррациональных уравнений .
3. Продемонстрировать нестандартные методы решения иррациональных
уравнений.
4. Развивать умение обобщать, правильно отбирать способы решения
иррациональных уравнений.
5. Развивать самостоятельность, воспитывать грамотность речи.
Задачи урока:
1. Расширить и углубить представления о приемах и методах решения
иррациональных уравнений.
2. Повторить определение и основные методы решения иррациональных
уравнений.
3. Помочь овладеть рядом технических и интеллектуальных умений на
уровне свободного их использования.
4. Развить интерес и положительную мотивацию изучения математики.
Тип урока: урок исследования
Форма урока: групповая работа
Оборудование: презентация в Pover Point, компьютер, программа Zoom
Ход урока
1. Организационный момент.
Свой урок хочу начать со слов Евклида: «Познание мира ведет к
совершенствованию души».
Почему именно с Евклида? Потому что именно он тот древнегреческий
ученый - исследователь, который впервые доказал существование
иррациональных чисел.
Какие цели мы поставим перед собой на уроке?
- Узнать новые нестандартные методы решения иррациональных уравнений.
- Рассмотреть применение новых методов при решении иррациональных
уравнений.
- Расширить и углубить свои знания о иррациональных уравнениях.
2. Устная работа. Ставится вопрос - проблема.
Выберите нужное уравнение:
Линейное
Квадратное
Дробно – рациональное
Биквадратное
Какое уравнение осталось?
Какое уравнение называется иррациональным?
Уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня, называются
иррациональными.
3. Повторение.
Основные вопросы теории открытия иррациональности.
Что вы знаете об иррациональности?
1. Иррациональное в переводе с греческого “Уму непостижимое,
неизмеримое, немыслимое”.
2. Открытие иррациональности опровергало теорию Пифагора, что
“всё есть число”.
3. История развития теории иррациональности знает много ученых –
исследователей. Евклид, Декарт, Ньютон (Он ввёл современное
изображение корня).
4. Актуализация знаний.
Понятие корня уравнения и его решения для иррациональных
уравнений определяют так же, как и для рациональных.
➢ Основные методы решения иррациональных уравнений:
➢ Графический метод;
➢ Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень
с последующей проверкой (Метод пристального взгляда);
➢ Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень
с использованием ОДЗ.
➢ Переход к равносильной системе
Нестандартные методы решения иррациональных уравнений
➢ Умножение на сопряжённое выражение.
➢ Сведение уравнения к системе рациональных уравнений с
помощью введения переменной.
➢ Переход к модулю.
При решении уравнений используются свойства степеней. Все корни
четной степени, входящие в уравнение, являются арифметическими.
Другими словами, если подкоренное выражение отрицательно, то корень
лишен смысла, если подкоренное выражение равно нулю, то корень так же
равен нулю; если подкоренное выражение положительно, то и значение
корня положительно.
Все корни нечетной степени, входящие в уравнение, определены при
любых действительных значениях подкоренного выражения.
1 способ. Графический метод
1) Строим график
2) Строим график
в той же системе координат.
3) Находим абсциссы точек
Пересечения графиков
(значения берутся приближенно).
4)Записываем ответ.
Какие недостатки есть у этого способа?
2 способ. Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же
степень с последующей проверкой (Метод пристального взгляда).
Главное в иррациональных уравнениях не забывать, что решаем их
избавлением от иррациональности, т.е. возводя в нужную степень и всегда
делать проверку, т.к. при возведении в степень могут появляться лишние
корни.
Проверка корней подстановкой найденного значения в исходное уравнение
хx =−
2
2
222
)2( хх =−
=−
2
2 х
2
х
22
2
−=− х
1
2
=х
илих 1=
1−=х
1) =ха
112
2
=−
11 =
− верно
1=х
− корень уравнения
1) −=хб
1)1(2
2
−=−−
11 −=
− неверно
1−=х
− посторонний корень
244
2
+−=+ xxx
.4+= xy
24
2
+−= xxy
Ответ. x=0; x=4,2.
сама по себе может оказать сложной задачей. Однако, чтобы отделить
посторонние корни, не всегда необходимо подставлять найденные корни в
данное уравнение.
Иногда возможна проверка корней по ОДЗ уравнения.
3 способ. Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же
степень с использованием ОДЗ.
Ответ: 1
4 способ. Переход к равносильной системе
Перейдем к равносильной системе
Откуда x=3.
Ответ. 3.
Нестандартные методы решения иррациональных уравнений
1. Умножение на сопряжённое выражение.
Если в левой части иррационального уравнения сумма или разность
корней, а подкоренное выражение – линейная функция одинаковыми
линейными коэффициентами,
а в правой части некоторое число, то левую и правую части уравнения
умножают на выражение, сопряженное выражению в левой чисти ( +
и - ) - сопряженные).
а
в
а
в
12102
2
−=++ xxx
=−=++
−
;144102
,012
22
xxxx
x
=−−
2
1
,032
2
x
xx
=
−=
2
1
3
1
x
x
x
хx =−
2
2
222
)2.(2 хх =−
=−
2
2 х
1. х ≥ 0
2
х
1
2
=х
илих 1=
1−=х
не удовл. условию
Рассмотрите решение иррационального уравнения методом умножения на
сопряженное выражение.
Решить уравнение
  
 
Решение. Умножим обе части уравнения на
  
 
.
Получим,     
  
 
.
Имеем,
  
 
  
 
Отсюда,
  
Проверка
Проверкой убеждаемся, что х = 1 является корнем данного уравнения.
Ответ: 1.
2. Сведение уравнения к системе рациональных уравнений с
помощью введения переменной.
Решить уравнение
х  
х  
Решение. Положим
 

  Тогда u+v=3. Так как u
3
=x-2,
v
2
=x+1, то v
2
– u
3
=3. Итак, в новых переменных имеем
 
 
  
 
 


Значит, х=3.
Ответ: 3.
3. Переход к модулю.
Пусть , ,
x – 2 = t
2
x = t
2
+ 2
тогда
1221221 =−−−−−+− xxxx
tx =− 2
0t
2x
58131 =+++
Исходное уравнение примет вид
Используя определения модуля, рассмотрим следующие случаи:
1) если < - 1, то – t – 1 + t – 1= 1
нет решений
2) если <1, то t + 1 + t -1 = 1
2t = 1
<1 )
3) если то t + 1 – t + 1 = 1
нет решений
x = 2,25
Проверка:
1125,1125,1
1225,22125,2225,22125,2
=−−+
=−−−−−+−
1,5 – 0,5 = 1
1 = 1
Ответ: x = 2,25
1)1(12212221
222
+=+=++=+−+=−+− ttttttxx
1)1(12212221
222
−=−=+−=−−+=−−− ttttttxx
111 =−−+ tt
t
12 −
t−1
2
1
=t
2
1
1( −
,1t
12
4
1
2
4
1
2
2
1
2
=
=−
=−
x
x
x
Итог урока.
Готовя данную работу, я ставила цель более глубокого изучения этой
темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к
ответу. И работая, я способствовала расширению своего математического
кругозора, интеллекта, развитию умения анализировать, сравнивать и
обобщать, глубоко и прочно усвоив материал.
Хочется закончить словами Владимира Мономаха:
«Что умеете хорошего, то не забывайте, а чего не умеете, тому
научитесь».
Скачать материал

Математика - еще материалы к урокам: