Конспект урока "Некоторые способы решения иррациональных уравнений" 11 класс
Ведущей линией учебника А.Г.Мордковича (издательство
«Мнемозина») является функционально-графическая линия. Иррациональные
уравнения изучаются в 8 классе на очень примитивном уровне.
При этом иррациональные уравнения изучаются до введения
иррациональных чисел, что, по-моему мнению, не совсем удобно.
В учебнике и задачнике для 10 – 11 классов содержится глава, посвященная
методам решения уравнений. Отдельной темы, содержащей изучение только
иррациональные уравнения нет.
А решение иррациональных уравнений зачастую вызывает затруднения, так
как требуют хорошего знания теоретического материала, умения проводить
исследования различных ситуаций.
У многих учеников единственным устойчивым знанием является применение
метода возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Для
некоторых этот метод является единственным.
При этом иногда ученики забывают делать проверку найденных корней после
возведения частей уравнения в чётную степень корня.
Все высвеченные проблемы подвели меня к мысли, что необходимо уделить
больше внимания вопросу изучения иррациональных уравнений и рассмотреть
более глубоко этот материал на уроках математики.
Урок в 11 классе по теме:
«Некоторые способы решения иррациональных уравнений»
Цитата урока: (выписана на доске)
«Знание только тогда – знание, когда оно добыто усилием собственной мысли,
а не памятью» - слова Л.Н. Толстого.
Цель:
обобщение знаний учеников по данной теме;
демонстрация различных методов решения иррациональных уравнений;
показ возможности решения иррациональных уравнений на основе
исследования;
формирование навыка самообразования, самоорганизации, умения
анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы;
воспитание самостоятельности, умения выслушивать других и умения
общаться в группе;
повышение интереса к предмету.
Форма проведения: семинарское занятие.
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор.
Ход занятия:
Учитель:
Сегодня мы поговорим об иррациональных уравнениях.
На доске приведены примеры уравнений иррациональных и не являющихся
иррациональными.
1)
2)3 xx
хх 117)2
05)4
3
1
х
423)5
2
уу
9882)6 х
Назовите те уравнения, которые являются иррациональными.
Дайте определения иррационального уравнения.
Ответы учеников.(иррациональными являются уравнения 1), 3), 4), 6).
Определение иррационального уравнения:
Иррациональным называют уравнение, в котором переменная
содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную
степень.)
I. Учитель:
На предыдущих уроках мы рассматривали решение иррациональных
уравнений методом возведения обеих частей уравнения в степень корня (в
основном в квадрат). При возведении частей уравнения в чётную степень мы
получаем уравнение-следствие, решение которого приводит иногда к появлению
посторонних корней. И тогда обязательной частью решения уравнения является
проверка корней или нахождение области определения уравнения.
Однако при решении иррациональных уравнений не всегда следует сразу
приступать к «слепому» применению известного алгоритма решения.
В заданиях Единого государственного экзамена имеется довольно много
уравнений, при решении которых необходимо выбрать такой способ решения,
который позволяет решить уравнения проще, быстрее. Поэтому необходимо знать
и другие методы решения иррациональных уравнений, с некоторыми из них мы
сегодня познакомимся.
При подготовке к уроку некоторые ученики получили листы-рекомендации,
в которых рассматриваются основные приёмы решения иррациональных
уравнений. Ребята ознакомились с предложенными решениями и подобрали свои
уравнения, решить которые предстоит нам на уроке.
II.Выступление учеников
1 ученик.
Решение иррационального уравнения методом возведения обеих частей
уравнения в степень корня.
х +
х = 3х – 7
Решим данное уравнение традиционным способом – методом возведения
обеих частей в квадрат. Слагаемое, содержащее квадратный корень оставим в
левой части уравнения, а х перенесём в правую часть.
х = 2х – 7
Возведём обе части уравнения в квадрат:
х
=
х
Получаем:
х + 4 = 4х
– 28х + 49
Перенесём все члены уравнения в одну часть, получаем квадратное уравнение
4х
– 29х + 45 = 0
Корни этого уравнения х = 5 и х = 2,25
Решая это уравнение мы возводили обе части уравнения в квадрат. При
возведении обеих частей уравнения в любую четную степень получается
уравнение, являющееся не равносильное данному, а являющееся следствием
исходного, следовательно, при этом возможно появление посторонних корней.
Поэтому необходимым условием решения является проверка корней.
Если х = 5, то
= 10 - 7
3 = 3 – верно
х = 5 – корень уравнения
Если х = 2,25, то
= 4,5 - 7
2,5 = - 2,5 – неверно
х = 2,25 посторонний корень
Ответ: х = 5
Предлагаю решить в классе уравнение:
2 ученик. Решение уравнения методом исследования области
определения уравнения.
Пусть дано уравнение:
х -
х =
х –
х
Возведение обеих частей в квадрат приведёт нас к громоздким вычислениям и
трате времени на экзамене.
Воспользуемся методом исследования области допустимых значений
заданного уравнения.
Область допустимых значений данного уравнения определяется системой
неравенств
х
х
х
х
<=>
х
х
х
х
<=> х=2
Данное уравнение определено только при х = 2.
Проверим, является ли число 2 корнем уравнения:
-
=
–
5 = 5 – верно.
Ответ: х = 2.
Попробуйте решить уравнение: х
= х - 2
3 ученик. Использование свойства монотонности функции.
Я хочу рассказать об уравнениях, решение которых основывается на
свойстве монотонности функций. Существуют теоремы:
Теорема 1. Пусть уравнение имеет вид: f(x) = с, где f(x) –монотонно
возрастающая (убывающая) функция, а с – число, входящее область значений
функции f(x), тогда уравнение f(x) = с имеет единственный корень.
2
х
Теорема 2. Пусть уравнение имеет вид f(x)= g(x),
где функции f(x) и g(x)
«встречно монотонны», т.е. f(x) возрастает, а g(x) убывает или наоборот, то
такое уравнение имеет не более одного корня.
Если удается заметить эти свойства функций в уравнении или привести
уравнение к таким видам, и при этом нетрудно угадать корень уравнения, то он и
будет единственным решением данного уравнения.
Пример для изучения
Пусть дано уравнение:
+
х
= 6
ОДЗ уравнения: х+60; х
Функции у
=
и
=
являются возрастающими на
промежутке [- 6; ∞, поэтому функция у =
+
х
так же является
возрастающей на этом промежутке, и следовательно принимает любое значение,
в том числе и 6, только один раз. Значит, уравнение имеет единственный корень.
Найдём этот корень подбором.
х = 2.
Проверкой убеждаемся, что число 2 является корнем данного уравнения.
Ответ: х = 2.
Я предлагаю решить на уроке уравнение:
х +
х = 9 –
х
Это уравнение можно попытаться решить возведением обеих частей в
квадрат (трижды!). Однако при этом получится уравнение четвертой степени.
Попробуйте использовать свойства монотонности функций, входящих в
уравнение.
Ответ: х = 1
4 ученик Метод введения новой перменной.
Удобным средством решения иррациональных уравнений иногда является
метод введения новой переменной, или «метод замены». Метод обычно
применяется в случае, если в уравнении неоднократно встречается некоторое
выражение, зависящее от неизвестной величины. Тогда имеет смысл обозначить
это выражение какой-нибудь новой буквой и попытаться решить уравнение
сначала относительно введенной неизвестной, а потом уже найти исходную
неизвестную.
Пример для изучения:
Дано уравнение:
х
х
+
х
х
=
ОДЗ уравнения: х х
Пусть
х
х
, тогда
х
х
Получаем уравнение t +
=
=
= 2
Тогда
х
х
или
х
х
Возведём обе части уравнения в 5-ю степень. При возведении обеих частей
уравнения в нечётную степень получаем уравнение, равносильное данному,
следовательно, не требуется проверка найденных корней. Получаем
х
х
; х =
х
х
; х = 2
Ответ: х =
; х = 2
В классе я предлагаю решить уравнение:
5 ученик Метод оценки частей уравнения.
Рассмотрим уравнение:
+
= 14х -
Запишем уравнение в виде
+
= -(
+49)
+
= -
Так как левая часть данного уравнения неотрицательная, а
правая - неположительная при любых допустимых значениях x ,
то равенство возможно только в том случае, когда они обе части уравнения
равны нулю. Легко убедиться, что это возможно только при х = 7.
Для решения в классе предлагаю уравнение:
02111243
232
ххххх
+
= 0
III. Работа учеников в группах.
После прослушивания выступающих начинается работа учеников в группах
по решению предложенных уравнений.
Учитель контролирует работу групп, даёт консультации.
IV . Домашнее задание № 1712 – 1719 (а) стр 253 задачника
V/ Итог урока:
рефлексия
Вопросы рефлексии:
Как вы считаете, насколько полезным было проведенное занятие?
Получены ли новые знания и умения?
Кратко опишите, какие моменты занятия вам особенно запомнились.
Каких моментов занятия вам хотелось бы избежать?
Какие трудности вы испытали при изучении материала, при ответе на вопросы, в
ходе решения заданий? Сумели ли вы их преодолеть? Если да, то как?
Опишите свои впечатления от проведенного занятия. Хотели бы вы в будущем
принимать участие в таких занятиях?
Математика - еще материалы к урокам:
- Конспект урока "Нахождение неопределенного интеграла" 11 класс
- Конспект урока "Множество значений функции" 11 класс
- Конспект урока "Методы решения иррациональных уравнений" 11 класс
- Конспект урока "Логарифмические уравнения" 11 класс
- План-конспект урока "Линейные уравнения с параметрами" 11 класс
- Конспект урока "Построение графиков функций с использованием программных средств" 11 класс
