Презентация "Методы подобия в задачах на построение"

АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ «КУБАНСКИЙ ИНСТИТУТ ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ» «Методы подобия в задачах на построение» ВЫПОЛНИЛА: СТУДЕНТКА 1 КУРСА ГРУППЫ 20-ПД1-9 СПЕЦИАЛЬНОСТЬ: ПРАВООХРАНИТЕЛЬНАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ ФИО: ФИЛИППОВА ЮЛИЯ АНДРЕЕВНА РУКОВОДИТЕЛЬ: ШИРЯЕВА ЕЛЕНА АЛЕКСАНДРОВНА КРАСНОДАР 2021 СОДЕРЖАНИЕ 1. ВВЕДЕНИЕ 2. Понятие подобия 3. Подобие треугольников 4. Подобие многоугольников 5. Задачи на построение с помощью циркуля и линейки 6. Применение методов подобия на практике: решение задач 7. Продукт к проекту 8. Где может пригодиться метод подобия в жизни 9. Некоторые примеры из жизни на практике 10. ЗАКЛЮЧЕНИЕ 11. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ ВВЕДЕНИЕ Актуальность данной темы заключается в грамотном использовании «методов подобия» в жизни, а также в умении решать задачи на построение этим методом, ведь современном мире человек уже не задумывается об использовании научных знаний, а привык предпочитать интернет. Целью работы является изучение методов подобия, различных решений задач на данную тему, а также грамотное их применение. Более того, нам предстоит научится решать не только задачи из учебника, но и задачи, которые нас окружают в привычном для нас мире. Так же, на основе проделанной работы сделать обобщение и создать методическую книжку, с которой решать задачи было бы гораздо легче, и конечно, подтвердить актуальность темы индивидуального проекта. Для достижения цели были поставлены следующие задачи: - изучить методы и методику решения задач на построение - познакомиться с определением подобных треугольников, многоугольников и произвольных фигур - уметь решать задачи на построение с помощью циркуля и линейки - узнать, где может пригодиться метод подобия в жизни - уметь применять метод подобия на практике Рассмотрим более подробно метод подобия Понятие подобия Подобие в математике, понятие, означающее наличие у геометрических фигур одинаковой формы, независимо от их размеров. В окружающем мире часто встречаются предметы, одинаковые по форме, но различные по размерам: мыльный пузырь и футбольный мяч, небольшая модель ледокола и сам корабль, карты, фотоснимки различных размеров одного и того же здания. В геометрии такие фигуры называют подобными. Существуют фигуры, которые всегда подобны друг другу, например, круги, квадраты, кубы. Задача решается методом подобия, если ее условие можно разделить на две части, одна из которых определяет форму фигуры с точностью до подобия, а вторая – размеры фигуры. Подобие треугольников Определение. Подобными называют треугольники, у которых углы попарно равны, а сходственные стороны пропорциональны. Признаки подобия треугольников: Теорема 1. Прямая, пересекающая две стороны треугольника и проведенная параллельно третьей стороне, отсекает треугольник, подобный данному. Для выявления подобия треугольников существуют признаки подобия треугольников. Теорема 2. (Первый признак — по двум равным углам.) Два треугольника подобны, если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого. Теорема 3. (Второй признак — по пропорциональности двух сторон и равенству углов между ними.) Два треугольника подобны, если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, лежащие между ними, равны. Теорема 4. (Третий признак — по пропорциональности трех сторон.) Два треугольника подобны, если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника. Подобие многоугольников Подобными фигурами могут быть не только треугольники. Определение. Два одноимённых многоугольника называются подобными, если углы одного из них соответственно равны углам другого, а сходственные стороны многоугольников пропорциональны. Одноимёнными называются многоугольники, имеющие одинаковое число сторон (углов). Для многоугольников с числом сторон больше трех признак подобия, аналогичный третьему признаку подобия треугольников, будет неверен. Например, квадрат и ромб, отличный от квадрата, не будут подобны, хотя их стороны пропорциональны. Недостаточно для подобия двух прямоугольников и равенства их соответствующих углов. Например, квадрат не подобен четырехугольнику, не все стороны которого равны. Задачи на построение с помощью циркуля и линейки Мы привыкли в задачах на построение переносить фигуры к себе в тетрадь с помощью клеток этой тетради и измерительных делений линейки. А что мы будем делать, если перед нами лежит лист бумаги без клеток и линейка, на которой нет сантиметровых делений, а нам нужно перенести чертеж? Пришло время этому научиться! Построение отрезка, равного данному Построение отрезка, равного данному отрезку АВ ( рис.1) выполняется с помощью циркуля таким образом: одну ножку циркуля устанавливают на один конец отрезка АВ, а другую — на другой его конец и, не меняя раствора циркуля, переносят его на некоторую прямую так, чтобы конец одной ножки отметил какую-нибудь точку N, тогда конец другой ножки циркуля отметит некоторую точку Р на этой же прямой. Отрезок NP будет равен отрезку АВ. Деление отрезка пополам Имеется отрезок AB (рисунок 2). Сначала следует нарисовать окружность с радиусом больше половины отрезка AB с центром в т. A. Далее чертится круг с тем же радиусом с серединой в т. B. В местах пересечения окружностей имеем т. C и т. D. Сквозь эти точки требуется провести прямую линию. Получаем т. E, которая будет серединой отрезка AB. Применение методов подобия на практике: решение задач Очень важно научиться грамотно применять методы подобия для различных фигур в задачах, а также понять теоремы и вытекающие из них следствия не только в теории, но и на практике. Задача 1. Покажите, что два треугольника на рисунке 4 являются подобными. Решение: Так как длины сторон обоих треугольников известны, то здесь можно применить третий признак подобия треугольников: PQ/AB=6/2=3 QR/CB=12/4=3 PR/AC=15/5=3, Т.к. все отношения равны 3, то треугольники подобны. Задача 2 Построить трапецию ABCDпо углу А и основанию ВС, если известно, что AB:CD:AD = 1:2:3. Решение: Задачу надо понимать так: даны угол hk и отрезок PQ (рис.6). Требуется построить с помощью циркуля и линейки трапецию ABCD, у которой угол А = углу hk, BC = PQ, а остальные три стороны АВ, CD и AD относятся как 1:2:3. Построим сначала какую-нибудь трапецию AB1C1D1, у которой угол А = углу hk и AB1:C1D1:AD1 = 1:2:3. Это сделать совсем не трудно. Строим угол А, равный данному углу, и на его сторонах откладываем произвольный отрезок АВ1 и отрезок AD1 = 3AB1 (рис. 6). После этого через точку В1, проводим прямую l, параллельную AD1 и строим окружность радиуса 2АВ1, с центром в точке D1,. Эта окружность пересекает прямую l в двух точках С1 и C1'. Итак, мы построили две трапеции AB1C1Dl и АВ1С1'D1, у которых угол А = углу hk и стороны АВ1, ВС1 (В1С1') и C1Dl (С1'D1) относятся как 1:2:3. Продолжение решения задачи 2 Возьмем одну из этих трапеций, например, AB1C1Dl, проведем прямую АС1, и построим отрезок ВС с концами на сторонах угла В1АС1, который параллелен B1C1 и равен PQ. Это можно сделать так: на луче AD1 откладываем отрезок AE = PQ и через точку Е проводим прямую, параллельную AB1. Она пересекается с прямой АС1 в точке С (рис. 8). Через точку С проводим прямую, параллельную B1C1, и получаем точку В. Очевидно, отрезок ВС равен PQ. Остается провести через точку С прямую, параллельную C1Dl. Она пересекает луч AD1, в точке D. Трапеция ABCD искомая. В самом деле, угол А = углу hk, BC = PQ и (это следует из подобия треугольников ABC и AB1C1, ACD и AС1D1). Отсюда получаем, что AB:СD:AD = AB1:C1D1:AD1 = 1:2:3. Построенная трапеция ABCD удовлетворяет всем условиям задачи. Продукт к проекту В качестве продукта к моему проекту сначала я хотела сделать макет жилого дома в точном масштабе, но потом подумала: «Какую пользу принесет данная самостоятельная работа, проделанная на основе проекта?». Поэтому, я решила сделать методичку - небольшую книжку, в которой будут содержатся минимальные сведения по теме индивидуального проекта, помогающие освоить материал. В методичке будут прописаны: методика, алгоритм по решению задач, а также мои личные рекомендации, как лучше запомнить и освоить данную тему. Я думаю, с помощью нее, ребятам будет легче не только ориентироваться в теории, но и понять для себя, какой алгоритм им удобнее использовать при решении и тем самым, сократить время решения задач на тему проекта. Анкетирование. Среди моих одногруппников я провела небольшой опрос на тему «Умеете ли вы применять метод подобия в жизни, а именно: определять высоту любого предмета, измерять ширину и глубину реки, как направлена (ориентирована) данная линия относительно сторон света только при помощи геометрии?» Результаты опроса: 7% - ответили, что даже не представляют как это 56% - «нет» 28% - «50/50» 9% - «да». Следовательно, результаты опроса говорят о том, что данная тема будет новой и актуальной для ребят. Где может пригодиться метод подобия в жизни Метод подобия пригодиться нам не только при решении задач по математике, но и при определении высоты предмета, расстояния до недоступной точки, так же при построении макета какого-либо сооружения. Например:

• Определение высоты предмета по шесту
• По луже. Этот способ можно удачно применять после дождя, когда на земле появляется много лужиц
• Не переплывая реки, измерить её ширину – так же просто для знающего геометрию
• Определить глубину водоёма в неглубоком месте
• Можем построить макет жилого дома, зная лишь его высоту и ширину, остается только рассчитать масштаб
• Как направлена (ориентирована) данная линия относительно сторон света.

Рассмотрим некоторые примеры из жизни на практике Измерим глубину реки при помощи растения. Решение: пусть растение возвышается над водой на 0,5м. перегнём его так, чтобы его надводная часть коснулась воды. Тогда расстояние от стебля (точки С) до точки В, касания с водой, составило 1,5м. Рассмотрим прямоугольный треугольник BDС. Обозначим искомую глубину реки СD через х. (рис.9). Тогда, по теореме Пифагора, имеем: BD2 =DС2+СВ2, значит BD2 =х2+СВ2 ВD= х+0,5, расстояние СВ=1,5м, получим (х+0,5)2=х2 + 1,52, х2+х+0,25=х2+2,25, отсюда х=2 Ответ: искомая глубина реки составила 2м. ЗАКЛЮЧЕНИЕ В ходе работы была поставлена цель, а именно, изучение методов подобия, различных решений задач на данную тему, а также грамотное их применение. Более того, нам предстояло научится решать не только задачи из учебника, но и задачи, которые нас окружают в привычном для нас мире. Так же, на основе проделанной работы было необходимо сделать обобщение и создать методическую книжку, с которой решать задачи было бы гораздо легче, и конечно, подтвердить актуальность темы индивидуального проекта. Рассматривая и анализируя материалы литературы, было выяснено, что изучение методов подобия поможет не только решить нам учебные задачи по программе геометрии, но и пригодятся нам в обычной жизни при определении каких-либо размеров. В процессе выполнения работы все перечисленные цели и задачи были успешно выполнены, актуальность подтвердилась. Таким образом, подводя итоги, стоит отметить, как важна роль метода подобия не только в задачах на построение, но и в нашей жизни в целом. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ  

• Александров, И.И. Сборник геометрических задач на построение с решениями / И.И.Александров. – М.: Учпедгиз,1954.
• Белошистая, А.В. Задачи на построение в школьном курсе геометрии / А. В. Белошистая // Математика в школе. – 2002. – №9. – С. 47-50.
• Геометрия: учеб. для 7-9 кл. общеобразовательных учреждений / А. В. Погорелов. – М.: Просвещение, 2004.
• Геометрия: учеб. для 7-9 кл. сред. шк. / А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В.И. Рыжик. – М.: Просвещение, 1992.
• Геометрия: учеб. для 7-9 кл. сред. шк / Л. С. Атанасян. – М.: Просвещение, 1991.
• Задачи на построение 8 класс https://uchitelya.com/geometriya/83284-prezentaciya-zadachi-na-postroenie-8-klass.html
• Геометрия: доп.главы к шк.учеб.8 кл.: учеб.пособие для учащихся шк.и классов с углубл.изуч.математики / Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Д. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 1996.
• Подобные треугольники - признаки, свойства и теоремы https://nauka.club/matematika/geometriya/podobnyе-treugolniki.html

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!