Ученики на Учителя.com


Примеры логарифмических уравнений и их решения

Логарифмические уравнения
𝑙𝑜𝑔
𝑎
𝑓(𝑥)= 𝑙𝑜𝑔
𝑎
𝑔(𝑥) (1)
𝑓
(
𝑥
)
= 𝑔
(
𝑥
)
, (2)
т.к. логарифмическая функция является монотонной,т.е каждое свое значение она
принимает один раз.
Но при этом следует помнить, про ограничения : аргумент логарифма >0,
основание >0 и ≠ 0.
Исходя из этого, возможны варианты оформления решения логарифмического
уравнения:
1. можно решить уравнение (2) и затем сделать проверку, подставив в уравнение
(1),
2. найти ОДЗ для (1), решить (2) и затем отобрать корни, удовлетворяющие ОДЗ,
𝑓
(
𝑥
)
= 𝑔
(
𝑥
)
,
3. перейти к равносильной системе
�
𝑓
(
𝑥
)
> 0
.
Пример 1. 𝑙𝑜𝑔
1(
𝑥 + 2
)
= 𝑙𝑜𝑔
1
3
2
16
𝑙𝑜𝑔
1
(
𝑥 + 2
)
= −4
3
𝑙𝑜𝑔
1
(
𝑥 + 2
)
= 𝑙𝑜𝑔
1
81
3 3
𝑥 + 2 = 81
Пример 2.
Проверка.
Ответ: 𝑥 = 79
𝑙𝑜𝑔
3
𝑥 − 𝑙𝑜𝑔
3
(
𝑥 + 8
)
= −𝑙𝑜𝑔
3
(
𝑥 + 3
)
𝑙𝑜𝑔
3
𝑥 + 𝑙𝑜𝑔
3
(
𝑥 + 3
)
= 𝑙𝑜𝑔
3
(
𝑥 + 8
)
𝑙𝑜𝑔
3
�𝑥 ∙
(
𝑥 + 3
)
� = 𝑙𝑜𝑔
3
(
𝑥 + 8
)
𝑥 ∙
(
𝑥 + 3
)
= 𝑥 + 8
𝑥
2
+ 2𝑥 − 8 = 0
𝑥
1
= −4, 𝑥
2
= 2
𝑥
1
= −4 𝑙𝑜𝑔
3
(
−4
)
не существует,
𝑥
2
= 2
𝑙𝑜𝑔
3
2 − 𝑙𝑜𝑔
3
10 = −𝑙𝑜𝑔
3
5
−𝑙𝑜𝑔
10
=−𝑙𝑜𝑔 5
3
2
3
Пример 3.
−𝑙𝑜𝑔
3
5 = −𝑙𝑜𝑔
3
5
Ответ: 𝑥 = 2
𝑥 +
4
3
1
> 0,
𝑙𝑔 �𝑥 +
4
3
� − 𝑙𝑔 �𝑥 −
1
1
3
�
=
1
𝑙𝑔
(
𝑥 + 6
)
−
2
1
2
𝑙𝑔𝑥
ОДЗ
𝑥 − > 0,
3
𝑥 + 6 > 0,
𝑥 > .
3
⎩
𝑥 > 0
2𝑙𝑔 �𝑥 +
4
3
� − 2𝑙𝑔 �𝑥 −
1
� = 𝑙𝑔
(
𝑥 + 6
)
− 𝑙𝑔𝑥
3
4
2
𝑙𝑔
�
𝑥 +
3
�
1
2
+ 𝑙𝑔𝑥 = 𝑙𝑔
(
𝑥 + 6
)
+ 𝑙𝑔 �𝑥 −
�
3
4
2
𝑙𝑔
��
𝑥 +
3
�
1
2
∙ 𝑥� = 𝑙𝑔 �
(
𝑥 + 6
)
�𝑥 −
�
�
3
4
2
�
𝑥 +
3
�
1
2
∙ 𝑥 =
(
𝑥 + 6
)
�𝑥 −
�
3
8𝑥
2
− 17𝑥 + 2 = 0
1
𝑥
1
=
8
не удовлетворяет ОДЗ
Пример 4.
𝑥
2
= 2 удовлетворяет ОДЗ
Ответ : х=2
𝑙𝑜𝑔
2𝑥+2
(
2𝑥
2
− 8𝑥 + 6
)
= 2
𝑙𝑜𝑔
2𝑥+2
(
2𝑥
2
− 8𝑥 + 6
)
= 𝑙𝑜𝑔
2𝑥+2
(
2𝑥 + 2
)
2
2𝑥
2
− 8𝑥 + 6 =
(
2𝑥 + 2
)
2
�
2𝑥 + 2 > 0
2𝑥 + 2 ≠ 1
𝑥
2
+ 8𝑥 − 1 = 0
�
𝑥 > −1
𝑥 ≠ −0.5
𝑥
1
= −4 −
√
17 не удовлетворяет ограничениям,
4
10
3
Пример 4.
𝑥
2
= −4 +
√
17 удовлетворяет ограничениям.
Ответ: 𝑥 = −4 +
√
17
𝑙𝑔
2
𝑥
2
− 3𝑙𝑔𝑥 − 1 = 0
4𝑙𝑔
2
𝑥 − 3𝑙𝑔𝑥 − 1 = 0
Замена 𝑙𝑔𝑥 = 𝑡
4𝑡
2
− 3𝑡 − 1 = 0
𝑡
1
= 1, 𝑡
2
= −
1
4
𝑙𝑔𝑥 = 1 𝑙𝑔𝑥 = −
1
4
1
−
𝑙𝑔𝑥 = 𝑙𝑔10 𝑙𝑔𝑥 = 𝑙𝑔10
4
𝑥 = 10 𝑥 =
1
√
Пример 5.
Пример 6.
1
Ответ: 𝑥 = 10, 𝑥 =
4
.
√
10
𝑙𝑜𝑔
4
𝑙𝑜𝑔
3
𝑙𝑜𝑔
2
(
𝑥
2
− 1
)
= 0
𝑙𝑜𝑔
3
𝑙𝑜𝑔
2
(
𝑥
2
− 1
)
= 4
0
𝑙𝑜𝑔
2
(
𝑥
2
− 1
)
= 3
1
𝑥
2
− 1=2
3
𝑥
2
= 9
Ответ: 𝑥 = ±3
3𝑥 = 𝑥
𝑙𝑜𝑔
3
𝑥
2
𝑙𝑜𝑔
3
3𝑥 = 𝑙𝑜𝑔
3
𝑥
𝑙𝑜𝑔
3
𝑥
2
1 + 𝑙𝑜𝑔
3
𝑥 = 𝑙𝑜𝑔
3
𝑥
2
𝑙𝑜𝑔
3
𝑥
1 + 𝑙𝑜𝑔
3
𝑥 = 2𝑙𝑜𝑔
2
𝑥
Замена 𝑡 = 𝑙𝑜𝑔
3
𝑥
2𝑡
2
− 𝑡 − 1 = 0
𝑡
1
= 1, 𝑡
2
= −
1
2
𝑙𝑜𝑔
3
𝑥=1 𝑙𝑜𝑔
3
𝑥 = −
1
2
−
1
𝑥 = 3 𝑥 = 3
2
1
Пример 7
Ответ: 𝑥 = 3 , 𝑥 =
√
3
Т.к. 𝑎
𝑙𝑜𝑔
𝑏
𝑐
= 𝑐
𝑙𝑜𝑔
𝑏
𝑎
, то
5
𝑙𝑜𝑔
2
𝑥
+ 𝑥
𝑙𝑜𝑔
2
5
= 10
2 ∙ 5
𝑙𝑜𝑔
2
𝑥
= 10
5
𝑙𝑜𝑔
2
𝑥
= 5
𝑙𝑜𝑔
2
𝑥=1
Ответ: 𝑥 = 2
Скачать материал

Математика - еще материалы к урокам: