Ученики на Учителя.com


Задание №7 профильная математика

Справочник
Задание №7 профильная математика
Производной функции y=f(x)в точке x
0
называется предел (если он существует и конечен) отношения
приращения функции к приращению аргумента при условии, что последнее стремится к нулю. То есть,
Геометрический смысл производной
Физический смысл производной
Значение производной функции в точке
равно угловому коэффициенту касательной к
графику функции в этой точке (тангенсу угла
между касательной и осью Ох)
f’(х
o
) = k = tg α
Если точка движется вдоль оси х и ее координата
изменяется по закону x(t), то мгновенная скорость
точки:
V(t)=x’(t)
•
Если f’(x) > 0 на промежутке, то функция
f(x) возрастает на этом промежутке.
Если f’(x) < 0 на промежутке, то функция
f(x) убывает на этом промежутке
•
Если функция f(x) возрастает на промежутке, то
f’(x) > 0 на этом промежутке.
Если функция f(x) убывает на промежутке, то f’(x) < 0 на
этом промежутке
Если прямые параллельны, то их угловые
коэффициенты равны
•
Точка х
o
называется точкой максимума
функции f(х), если существует такая
окрестность точки х
o
, что для всех х≠ х
o
из
этой окрестности выполняется неравенство
f(х) < f(х
o
).
•
Точка х
o
называется точкой минимума
функции f(х), если существует такая
окрестность точки х
o
, что для всех х≠ х
o
из
этой окрестности выполняется неравенство
f(х) > f(х
o
) = 0.
•
Если х
o
– точка экстремума функции f(х),
то f’(х
o
) = 0.
Пусть функция f(х) дифференцируема на интервале
(a;b), х
o
Є (a; b) и f’(х
o
) = 0, то:
•
при переходе через стационарную точку х
o
функции
f(х) ее производная меняет знак с «плюса» на «минус»,
то х
o
– точка максимума функции f(х);
•
при переходе через стационарную точку х
o
функции
f(х) ее производная меняет знак с «минуса» на «плюс»,
то х
o
– точка минимума функции f(х).
Примеры заданий
№
Задание
Что делать?
1.
На рисунке изображен график функции y=f(x) и касательная к
нему в точке х
0
. Найдите значение производной функции f(x)
в точке x
0
.
Найти тангенс угла наклона
касательной к оси абсцисс
(отношение противолежащего
катета к прилежащему катету).
На рисунке выделены точки на
касательной, на которых как на
гипотенузе надо достроить
прямоугольный треугольник.
Если α <90
0
, то tg α >0,
если α >90
0
, то tg α <0.
2.
На рисунке изображен график функции y=f(x), определённый
на интервале (-10;2). Найдите количество точек, в которых
производная функции f(x) равна 0.
Подсчитать количество точек
экстремума(минимумы и
максимумы)
3.
На рисунке изображен график функции y=f(x), определённый
на интервале (-1;12). Найдите количество целых точек, в
которых производная функции отрицательна.
Подсчитать целые точки на
промежутках убывания функции
4.
На рисунке изображен график функции y=f(x) и отмечены
точки -2, -1, 2, 3. В какой из этих точек значение производной
наибольшее? В ответе укажите эту точку.
x=-2, то f ↓ => f’ <0
x=-1, то f имеет экстремум
=>f’=0
x=2, то f ↑ => f’ >0
x=3, то f ↓ => f’ <0
5.
На рисунке изображён график дифференцируемой функции
y=f(x), и отмечены семь точек на оси абсцисс: х
1
, х
2
, х
3
, х
4
, х
5
,
х
6
, х
7
, х
8
,х
9
. В скольких из этих точек производная функции
f(x) отрицательна?
В скольких точках функция
убывает
6.
На рисунке изображен график функции y=f’(x ) –
производной функции f(x), определённой на интервале (-6;5).
Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе
укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Промежутки убывания функции
=производная на данном графике
отрицательна, т.е.расположена
ниже оси Ох. Найти сумму
целых точек.
7.
На рисунке изображен график функции y=f’(x ) –
производной функции f(x), определённой на интервале (-8;6).
Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе
укажите длину наибольшего из них.
Промежутки возрастания
функции =производная на
данном графике положительна,
т.е.расположена выше оси Ох.
Записать длину большего
промежутка
8.
На рисунке изображены график функции y=f’(x ) –
производной функции f(x) и семь точек на оси абсцисс: х
1
, х
2
,
х
3
, х
4
, х
5
, х
6
, х
7
. В скольких из этих точек функция f(x)
возрастает?
Сосчитать количество точек, в
которых производная на данном
графике положительна
9.
Прямая y=6x+9 параллельна касательной к графику функции
y=x
2
+7х-6. Найдите абсциссу точки касания.
Если прямые параллельны, то их
угловые коэффициенты равны.
Найти производную функции
(x
2
+7х-6)’=2x+7=k
кас
=6
=> x=-0,5
10.
Прямая y=-9x+5 параллельна касательной к графику функции
y=аx
2
+15х+11. Найдите a.
Найти производную функции
(аx
2
+15х+11)’=2a+15= -9
=> a= -12
11.
На рисунке изображён график y=f’(x) – производной функции
f(x), определённой на интервале (-9;3). Найдите количество
точек, в которых касательная к графику f(x) параллельна
прямой y=2x-19 или совпадает с ней.
Провести горизонтальную
прямую y=2 и сосчитать
количество точек пересечения с
графиком.
12.
На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой
на интервале (-3;9). Найдите количество точек, в которых
касательная к графику f(x) параллельна прямой y=12.
Т.к. угловой коэффициент
прямой y=12 равен 0, то считаем
количество точек пересечения с
осью Ох.
13.
На рисунке изображен график производной функции y=f’(x).
Найдите абсциссу точки, в которых касательная к графику
функции y=f(x) параллельна оси абсцисс или совпадает ней.
Находим точку на графике
y=f’(x), в которой у=0, т.е.точку
пересечения данного графика с
осью Ох => -3
14.
На рисунке изображен график производной функции y=f’(x),
определенной на интервале (-7;4). В какой точке отрезка
[-6;-1] функция f(x) принимает наибольшее значение?
На отрезке [-6;-1] производная
положительна (лежит выше Ох)
=> функция возрастает, т.е.
достигает наибольшего значения
при наибольшем значении
аргумента => -1
Значит в х=-6 достигает
наименьшего значения.
15.
На рисунке изображён график y=f’(x) – производной функции
f(x), определённой на интервале (-7;4). Найдите точку
максимума функции f(x).
Находим точку на оси Ох, в
которой производная меняет
свой знак с «+» на «-»
=> -1
16.
На рисунке изображён график y=f’(x) – производной функции
f(x), определённой на интервале (-6;5). Найдите точку
экстремума функции f(x), принадлежащую отрезку [-5;4].
Находим точку на оси Ох, в
которой производная меняет
свой знак => -2
17.
На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой
на интервале (-5;7). Найдите сумму точек экстремума
функции f(x).
Считаем сумму «горбов и
впадин» по оси Ох: -3 + (-1)
+0+2+3+5+6=12
18.
На рисунке изображён график y=f’(x) – производной функции
f(x), определённой на интервале (-10;8). Найдите количество
точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-9;6].
Находим точки на оси Ох, в
которой производная меняет
свой знак с «+» на «-»
=> х= -4 и х=4 => 2
19.
На рисунке изображён график y=f’(x) – производной функции
f(x), определённой на интервале (-16;4). Найдите количество
точек экстремума функции f(x), принадлежащих отрезку
[-14;2].
Считаем количество точек
пересечения графика
производной на рисунке с осью
Ох => 5
20.
Материальная точка движется прямолинейно по закону
x(t)=t
2
-3t-29, где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t –
время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите её
скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=3с.
V(t=3)=x’(t)=( t
2
-3t-29)’=
=2t-3=2*3-3=3
21.
Материальная точка движется прямолинейно по закону
x(t)=1/6t
3
-2t
2
-4t+39, где x – расстояние от точки отсчета в
метрах, t – время в секундах, измеренное с начала движения.
В какой момент времени (в секундах) её скорость была
равной 38м/с.
V(t)=x’(t)=( 1/6t
3
-2t
2
-4t+39)’=
=1/6 *3t
2
-2*2t-4=0.5t-4t-4
Если V=38, то 0.5t
2
-4t-4=38
0.5t
2
-4t-4-38=0
t
2
-8t-84=0
Решая уравнение через D,
находим t=14
Скачать материал

Математика - еще материалы к урокам: