Задачи на построение сечений тетраэдра и параллелепипеда 10 класс

Конкурс педагогического мастерства – 2015 Номинация «Лучшая методическая разработка»

Учитель математики

МБОУ СОШ № 7 г. Костромы Кишалова Ирина Ивановна

Мультимедийное сопровождение изучения темы «Задачи на построение сечений

тетраэдра и параллелепипеда»

Геометрия 10 класс

1, 2. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки M, N и K.

A

B

C

M

N

K

A

B

C

D D

M

N

K

1.

2.

3. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку M и прямую m.

A

B

C

D

A

B

C

D

M

N

K

MN||AC =›MN||(ACD)=›MN||KP

P

M

m

4. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки M, N и K, MN||AC

3.

4.

5.

A

B

D

K

N

M

C

P Q

5. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через

точки M, N и K.

Построение:

• M,N(ACD) =>MN
• N,K(ADB) =>NK

5) M,P(ABC) =>MP

• MN
• KQ

DC = Q BC=P; =>KP

MNKP- искомое сечение.

6. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки M, N и K.

A

B

C

D

K

Q

Q

Возможен другой способ построения?

N

P

M

6.

7, 8.

Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки M, N и K.

A

B

C

D

A

B

C

D

K

N

M

P

Q

M

N

K

Q

P

7.

8.

A

B

C

D

K

N

M

Q

9. Изобразите тетраэдр ABCD и отметьте точки M и N на рёбрах BD и CD и внутреннюю точку K грани ABC.

Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNK.

Возможны два случая

A

B

C

K

N

M

1 случай MN ∩ BC

2 случай

MN || BC

D

E

F

E

F

=>MN||(ABC)

=> MN||EF

10. Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки M, C, D1.

B

A

C

D

B

A

C

D

A1

B1

D1 C1

D1

A1

M

11. Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, B и K.

C1 K

M

B1

12. Построить сечение параллелепипеда

D

B

A

C

плоскостью, проходящей через точки A, D1 и K.

D1

A1

C1

A

A1

B1

C1

D

B1

M

K

13. Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки M, E и K.

D1

K

E

Q

P

M B

F C

F

D

14,15. Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки K, M и N.

14.

15.

B

C

D1

A1

C1

B

A

C

D1

B1

C1

Q

A M

N

K

P

E A1

F

B1

Q

N

M

E D

K

P

Задачи на построение сечений

«Геометрия 10-11 класс»

Учебник для общеобразовательных учреждений Л.С. Атанасян, В.Ф.

Бутузов и др.

Дано: ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед. Постройте его сечение:

№ 79

D

B

A

C

B1

D

B

A

C

A1 A1

B1

C1

а) плоскостью ABC1 ; б) плоскостью ACC1. Докажите, что построенные

сечения являются параллелограммами.

D1 C1 D1

а)

б)

Дано: ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед. Постройте его сечения плоскостями ABC1 и DCB1, а также отрезок, по которому эти сечения пересекаются.

№ 80

D

B

A

C

A1

B1

D1 C1

M

N

Дано: ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед, M  BB1, N  CC1. Постройте точку пересечения: а) прямой MN с плоскостью ABC б) прямой АМ с плоскостью

D

B

A

P

D1

A1

B1

C1

№ 81

A1B1C1.

C

K

N

M

D

B

A

C

A1

B1

D

B

C

D1

A1

B

1

C1

D

B

A

C

D1 C1 D1

A1

B1

C1

№ 82

Дано: ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед, M  AA1B1B. Построить сечение

параллелепипеда, проходящее через т. М параллельно: а) плоскости ABCD б) грани BB1C1C, в) плоскости BDD1.

M

M

M

N

P

K

E

N

A

N

P

P

K

K

E

E

а)

б)

в)

D

B

A

C

A1

B1

№ 83

Дано: ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через: а) ребро СС1 и точку пересечения диагоналей грани AА1D1D;

б) точку пересечения диагоналей грани ABCD параллельно плоскости АB1C1.

B

A

D1

A1

B1

C1

О

D1 C1

М

N

D

М

N C

О

Р

К

а) б)

Дано: ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки B1, D1 и середину ребра CD1.

D

B

A

N

D1

A1

B

1

C1

№ 84

C

X

M

Дано: ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью BKL, где точка К – середина ребра АA1, а точка L – середина ребра CC1.

№ 85

Докажите, что построенное сечение параллелограмм.

D

B

A

C

D1

A1

B1

C1

L

К

X

Y

Дано: ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед. Постройте его сечение плоскостью, проходящей через диагональ АС основания параллельно диагонали ВD1.

№ 86

D

B

A

C

A1

B1

D1 C1

К

Дано: ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед, а) M  BB1, N  АА1 , К АD Построить: сечение параллелепипеда плоскостью MNK

D

B

A

D1

A1

B1

C1

№ 87

C

а)

N

M

K

P

Q

P

R

Демоверсия ЕГЭ - 2015, задача №16 В основании прямой призмы ABCDA1 B1C1D1 лежит квадрат ABCD со

A

A

1

B

D

B1

D1 C1

E C

стороной 2, а высота призмы равна 1. Точка E лежит на диагонали BD1 , причём BE =1.

а) Постройте сечение призмы плоскостью A1C1 E.

б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC.

Демоверсия ЕГЭ - 2015, задача №16 В основании прямой призмы ABCDA1 B1C1D1 лежит квадрат ABCD со

A

A1

C

B

D

B1

D1 C1

E

M

N

стороной 2, а высота призмы равна 1. Точка E лежит на диагонали BD1 , причём BE =1.

а) Постройте сечение призмы плоскостью A1C1 E.

б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC.

План построения:

1) А1; С1 А1В1С1 =>А1С1;

• С1Е; ABАBC1 => С1E;
• С1Е ∩ АВ = М;
• BC; А1Е  BCA1
• А1Е ∩ ВС = N;

6) С1; N  BB1C1 => С1N;

7) M; N  ABC => MN;

8) А1; M  AA1B1 => А1M;

9) A1C1NM – искомое сечение

Демоверсия ЕГЭ - 2015, задача №16 В основании прямой призмы ABCDA1 B1C1D1 лежит квадрат ABCD со

A

A1

B

D

B1

D1 C1

E C

M

N

Н

стороной 2, а высота призмы равна 1. Точка E лежит на диагонали BD1 , причём BE =1.

а) Постройте сечение призмы плоскостью A1C1 E.

б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC.

План построения:

АН  NМ;

А1Н  МN по ТТП;

 А1НА – искомый угол

задача №16 (ЕГЭ – 2015) Точка Е – середина ВВ1 куба ABCDA1B1C1D1. Найдите площадь

сечения куба плоскостью D1AЕ, если рёбра куба равны 4.

А

C

1

D

В

1

А1

В

D

1

F

План построения:

1) D1; А  (АDD1) => D1А

2) A; Е  (АВВ1) => АЕ

1 1

4) D1; F  (А1В1C1) => D1F

K

C

Е

3) АЕ ∩ А В = F

5) D1F ∩ В1C1 = K

6) K; Е  (ВВ1C1) => KЕ

AEKD1- искомое сечение.

задача №16 (500962) ЕГЭ 2015

В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 стороны основания равны 6, боковые рёбра равны 4. Изобразите сечение, проходящее через вершины А, В и середину ребра А1С1. Найдите его площадь.

A

B

C

A1

B1

C1

M

N

План построения:

• Прямая АВ;
• А, М  АА1С => АМ;

1 1

3) m  АВ => m ∩ C B = N;

• Прямая NВ;
• AMNB искомое сечение.

задача №16 (№ 501945) ЕГЭ 2015

А

В

С

D

E

O

P

F

G

В правильной четырёхугольной пирамиде МАВСD с вершиной М стороны основания равны 3, а боковые рёбра равны 8. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку В и середину ребра МD параллельно прямой АС.

M

План построения:

• BD ∩ AC = O;
• B; E  MBD => BE;
• M; O  MBD => MO;
• BE ∩ MO = P;
• P  n; n  AMC; n  AC;
• n ∩ AM = F; n ∩ MC = G;
• BF; BG; GE; EF;
• BFEG искомое сечение.

Приложение (построение чертежей к теоремам)

Теорема об углах с сонаправленными сторонами

Теорема «Признак перпендикулярности прямой и плоскости»

Теорема об углах с сонаправленными сторонами

О

В1

А

В

О1

А1

//

//

///

///

/

/

V

V

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

α

l

p

q

P

B

O

L

Q

m

A a

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

α

l

p

q

P

B

O

L

Q

m

A a

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

α

l

p

q

P

B

O

L

Q

m

A a