Конспект урока "Тетраэдр. Построение сечений тетраэдра" 10 класс
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа № 14»
г. Череповца
Урок математики в 10 классе
по теме: «Тетраэдр. Построение сечений тетраэдра»
Разработала учитель математики
Козлова Наталья Борисовна
2015-2016 уч.г.
г. Череповца
Вологодская область
Пояснительная записка
Фамилия Имя Отчество: Козлова Наталья Борисовна
Название образовательной организации: Муниципальное бюджетное
общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 14» г.
Череповца Вологодской области.
В работе использован сценарий модели, созданной в среде «1С:Математический
конструктор 5.5. № 059». Модель создана автором ее сценария – Ивановой И.И. при
участии учащихся школы № 1 города N Сидоровой Галины и Степанова Ильи».
Предмет: геометрия.
Класс: 10
Дидактическая структура урока
Урок относится к теме « Прямые и плоскости в пространстве ». На изучение этой темы
отводится 37 часов. Разработанный урок является 17-ым, но первым в своём разделе.
Поэтому большая часть урока отводится изучению нового материала и практической
работе.
Урок разработан с использованием частично технологий проблемного и развивающего
обучения. Путем последовательного и целенаправленного выдвижение перед
обучающимися познавательных задач, разрешая которые обучаемые активно усваивают
знания, создания условий для развития личности, ориентирования учебного процесса на
потенциальные возможности детей. Методы и приемы, использованные на уроке:
фронтальная и групповая работа, поисковый, проблемный и наглядные методы. На уроке
используются мультимедийные ресурсы « 1С. Математический конструктор», что
позволяет визуализировать изучаемый материал и способствует более прочному его
усвоению.
Тема урока: «Тетраэдр. Построение сечений тетраэдра.»
Тип урока: формирование новых знаний.
Цели урока:
Образовательные:
Научиться применять аксиомы стереометрии при решении задач;
Научиться находить положение точек пересечения секущей плоскости с рёбрами тетраэдра;
Освоить методы построения этих сечений
Развивающие:
Развивать познавательный интерес учащихся.
Формировать и развивать у учащихся пространственное воображение.
Воспитательные:
Воспитывать самостоятельность, аккуратность, трудолюбие.
Воспитывать умения работать индивидуально над задачей.
Воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов.
Формы работы на уроке: фронтальная, групповая, индивидуальная.
Список используемых источников и программно-педагогических средств:
1. Л. С. Атанасян. Геометрия. 10-11 классы,- М: Просвещение, 2010г.
2. Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для
общеобразовательных учебных заведений3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание,
стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил. Геометрия. 10 класс: Учебник для
общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики.
4. Мультимедийный конструктор: «1 С. Математический конструктор. № 059»
5. http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/parallelnost-pryamyh-i-ploskostej/tetraedr-
zadachi-na-postroenie-secheniy-v-tetraedre?seconds=0&chapter_id=210
6. http://refdb.ru/look/2082078.html
Техническое обеспечение:
Компьютер с установленными программами «1С. Математический конструктор», Power
Point, мультимедийный проектор.
Раздаточный материал:
Бланки-карточки с заданиями для практической работы, презентация «Построение сечений
параллелепипеда».
Структура урока ( 45 мин).
1.
Приветствие. Организационный момент.
1 мин
2.
Актуализация опорных знаний.
4 мин
3.
Постановка цели и задачи урока.
4 мин
4.
Изучение нового материала (формирование знаний, умений).
10 мин
5.
Закрепление знаний.
10 мин
6
Динамическая пауза.
2 мин
7.
Практическая работа на построение сечений.
10 мин
8.
Итог урока. Домашнее задание.
3 мин
9.
Рефлексия.
1 мин
Ход урока:
1)Приветствие. Организационный момент.
Девиз урока: Моделируя, учимся и учим.
2) Домашнее задание.
Учитель раздаёт карточки с домашней работой( приложение 3).
Дополнительная задача: Существует ли тетраэдр, все грани которого — равные
прямоугольные треугольники?
3) Актуализация знаний.
Учитель: Составьте из 6 спичек 4 равных треугольника. (Учащиеся пробуют из
карандашей). На плоскости решить задачу не получается. А в пространстве это сделать
легко.
Ученик: 6 спичек – это его ребра, четыре грани тетраэдра и будут четырьмя равными
треугольниками. Задача решена.
Учитель: Найдите понятие тетраэдра в учебнике (п. 12) и объясните основные элементы на
спичках и на слайде( МК – плеер, файл № 059, с заранее подготовленным тетраэдром, где
подписаны все вершины, можно его покрутить). А сейчас с помощью программы «1C.
Математический конструктор» мы «оживим» тетраэдр. Программа позволяет вращать, что
позволит вам увидеть тетраэдр со всех сторон.
Примите к сведению, что слово «тетраэдр»
образовано из двух греческих слов: от tetra -
«четыре» и hedra - «основание», «грань».
Тетраэдр образует жёсткую, статически
определимую конструкцию. Тетраэдр, выполненный
из стержней, часто используется в качестве основы
для пространственных несущих конструкций
пролётов зданий, перекрытий, балок, мостов и т. д.
Стержни испытывают только продольные нагрузки.
Элементы тетраэдра:
А, B, C, D – вершины тетраэдра.
AB, AC, AD, BC, BD, CD - ребра тетраэдра.
ΔABC, ABD, BDC, ADC - грани тетраэдра.
Можно отметить, что плоскость АВС можно принять за
основание тетраэдра, тогда точка D будет является вершиной
тетраэдра. Каждое ребро тетраэдра является пересечением двух
плоскостей. Например, ребро АВ – это пересечение плоскостей АВD и АВС. Каждая
вершина тетраэдра – это пересечение трех плоскостей. Вершина А лежит в плоскостях
АВС, АВD, АDС. Точка А – это пересечение трех означенных плоскостей.
Типы тетраэдров:
Равногранный тетраэдр – это тетраэдр, у которого все грани – равные между собой
треугольники.
Ортоцентрический тетраэдр – это тетраэдр, у которого все высоты, опущенные из вершин
на противоположные грани, пересекаются в одной точке.
Прямоугольный тетраэдр – это тетраэдр, у которого все ребра, прилежащие к одной из
вершин, перпендикулярны между собой. Такой тетраэдр можно получить, разрезав куб.
Правильный тетраэдр – это тетраэдр, у которого все грани — равносторонние
треугольники.
Ученики: делают записи в тетради.
4) Постановка цели и задачи урока.
Учитель: Проверим, как вы слушали?
1) Существует ли тетраэдр у которого:
А) одна из граней имеет вид прямоугольника?(нет, так как каждая грань является
треугольником)
Б) 3 ребра? (нет)
В) 6 граней?(нет)
Г) 1 вершина?(нет)
Д) все грани прямоугольные треугольники?(да, его можно получить, разрезав
прямоугольный параллелепипед).
2) Найдите площадь всех граней тетраэдра, каждое ребро которого 4 см.
Решение: S=4 S
Δ
= 4 0,25 а
2
3 = а
2
3 = 16 3(см
2
).
Учитель: В основе понимания форм различных деталей, способов их образования, а значит
и построения чертежа этих деталей лежит пространственное мышление. Развитое
пространственное мышление является специфическим видом мыслительной деятельности,
направленной на решение задач, требующих ориентации в практическом и теоретическом
пространствах, как видимых, так и воображаемых. Все геометрические задачи можно
разделить на три типа: на вычисление; на доказательство и на построение. Задачи на
построение сечений многогранников занимают значительное место как в школьном курсе
геометрии для старших классов, так и на экзаменах разного уровня. Построение сечений
широко используется в строительном деле, архитектуре, машиностроении, геодезии, во
многих других областях науки и техники. Таким образом, цель нашего урока?
Учащийся: Научиться строить сечения тетраэдра.
Учитель: Совершенно верно. Какие задачи для этого необходимо будет решить?
Учащиеся:
1) Познакомиться с понятием сечения.
2) Узнать приемы построения сечения в тетраэдре и их виды.
3) Построить сечения тетраэдра.
5) Изучение нового материала (формирование знаний, умений).
Учитель:
На предыдущих уроках мы с вами познакомились с аксиомами стереометрии, следствиями
из аксиом и с теоремами о параллельности прямых и плоскостей в пространстве.
Вспомните, как в пространстве можно задать плоскость.
Ученики:
Плоскость можно задать следующими способами:
1) тремя точками, не лежащими на одной прямой;
2) точкой и прямой, не проходящей через эту точку;
3) двумя пересекающимися прямыми;
4) двумя параллельными прямыми.
Учитель: Давайте проговорим некоторые вопросы теории. ( На странице 27 найдите
понятие сечения, ответьте на вопросы, записанные на доске, и рассмотрите, какие сечения
могут получаться в тетраэдре.)
Что такое секущая плоскость?
Как можно задать секущую плоскость?
Что такое сечение тетраэдра?
Какие многоугольники мы получали при построении сечений тетраэдра?
Учащиеся:
Осуществляют поиск материала, для ответа на поставленные вопросы в учебнике.
Отвечают.
6) Закрепление знаний.
Учитель: Рассмотрим ключевые задачи на построение сечений тетраэдра. (стр 27-28,
задачи 1 и 2, разбор по готовым шаблонам с презентацией).
Каждое ребро тетраэдра является пересечением двух
плоскостей. Например, ребро АВ – это пересечение плоскостей
АВD и АВС. Каждая вершина тетраэдра – это пересечение трех
плоскостей. Вершина А лежит в плоскостях АВС, АВD, АDС.
Точка А – это пересечение трех обозначенных плоскостей.
Решение:
Рассмотрим грань тетраэдра DВС. В этой грани точки N и P принадлежат грани DВС, а
значит, и тетраэдру. Но по условию точки N, P принадлежат секущей плоскости. Значит,
NP – это линия пересечения двух плоскостей: плоскости грани DВС и секущей плоскости.
Предположим, что прямые NP и ВС не параллельны. Они лежат в одной плоскости DВС.
Найдем точку пересечения прямых NP и ВС. Обозначим ее Е.
Нахождение точки Е:
Точка Е принадлежит плоскости сечения MNP, так как она
лежит на прямой NР, а прямая NР целиком лежит в плоскости
сечения MNP.
Также точка Е лежит в плоскости АВС, потому что она лежит
на прямой ВС из плоскости АВС.
Получаем, что ЕМ – линия пересечения плоскостей АВС и
MNP, так как точки Е и М лежат одновременно в двух
плоскостях – (АВС) и (MNP). Соединим точки М и Е, и
продолжим прямую ЕМ до пересечения с прямой АС. Точку
пересечения прямых ЕМ и АС обозначим Q.
Итак, в этом случае NPQМ - искомое сечение(показываем на
отдельном слайде).
Рассмотрим теперь случай, когда NP параллельна BC. Если прямая NP параллельна какой-
нибудь прямой, например, прямой ВС из плоскости АВС, то прямая NP параллельна всей
плоскости АВС.
Искомая плоскость сечения проходит через прямую NP, параллельную плоскости АВС, и
пересекает плоскость по прямой МQ. Значит, линия пересечения МQ параллельна прямой
NP. Получаем, NPQМ - искомое сечение.
Задача 2. Точка М лежит на боковой грани (АDВ) тетраэдра АВСD. Постройте сечение
тетраэдра плоскостью, которое проходит через точку М параллельно основанию АВС.
Решение:
Секущая плоскость φ параллельна плоскости АВС по условию,
значит, эта плоскость φ параллельна прямым АВ, АС, ВС.
В плоскости АВD через точку М проведем прямую PQ
параллельно АВ. Прямая PQ лежит в плоскости АВD.
Аналогично в плоскости АСD через точку Р проведем прямую
РR параллельно АС. Получили точку R. Две пересекающиеся
прямые PQ и РR плоскости РQR соответственно параллельны двум пересекающимся
прямым АВ и АС плоскости АВС, значит, плоскости АВС и РQR параллельны. РQR –
искомое сечение. Задача решена.
Учитель: Итак, при построении сечений важно знать следующие правила:
1) Если две точки многогранника принадлежат сечению, то прямая, проходящая через них,
принадлежит секущей плоскости.
Обоснование: по аксиоме - если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой,
лежат в этой плоскости.
2) Если секущая плоскость проходит через прямую, параллельную грани многогранника и
пересекает её, то линия пересечения плоскости и грани параллельна данной прямой.
Обоснование: Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости и
пересекает эту плоскость, то линия пересечения параллельна данной прямой.
3) Общая точка секущей плоскости и плоскостей двух пересекающихся граней лежит на
прямой, содержащей общее ребро граней.
Обоснование: Если прямая, лежащая в одной из пересекающихся плоскостей, пересекает
другую плоскость, то она пересекает и линию пересечения плоскостей.
А сейчас с помощью программы «1С. Математический конструктор» мы «оживим»
пространство на примере сечений тетраэдра. Программа позволяет вращать многогранник,
что позволит вам увидеть сечение со всех сторон.
7) Динамическая пауза.
Учитель: Прежде, чем мы перейдём к практической работе, предлагаю желающим
составить у доски тетраэдр из собственных тел.
8) Практическая работа на построение сечений.
Учитель: Мы справились с теоретическими вопросами, предлагаю выполнить
практическую работу в парах.
Ученики получают бланки-карточки для практической работы с заранее начерченными на
них тетраэдрами( приложения 1 и 2).
Практическая работа состоит из 5 заданий разного уровня сложности. 1-3 правильно
выполненных заданий оценивается «3», 4 правильно выполненных заданий оценивается
«4», 5 правильно выполненных заданий оценивается «5».
Решение задач с последующей проверкой.
Задача 1.
а) Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки М є АВ, N є
АС, К є АД, где М, N и К – середины соответствующих ребер.
б) Найдите периметр данного сечения если все рёбра
тетраэдра равны 4см..
Решение: а)
1. КМ = α ∩ АВД,
2. МN = α ∩ АВС,
3. КN = α ∩ АДС
4. KMN – искомое сечение.
б) КМ = 0,5 ВД=2см.( КМ средняя линия треугольника АВД);
МN = 0,5 ВС=2см. (МN средняя линия треугольника АВС);
KN = 0,5 ДС=2см. (KN средняя линия треугольника АДС);
Р= 2+2+2=6см.
Ответ: 6см.
Задача 2. Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки М є
АВ, К є ДС, N є ДВ.
Решение:
1. MN = α ∩ АВД
2. NK = α ∩ ВДС
3. Х = NК ∩ ВС
4. Р = АС ∩ МХ
5. РК = α ∩ АДС
6. MNKP – искомое сечение.
Задача 3. Определите вид сечения в предыдущей задаче, если точки M, N и К – середины
указанных рёбер.
Решение:
Данное сечение – параллелограмм, так как MN II AD и МN = 0,5 АД и КР II AD и КР =
0,5 АД, значит MN = KP и MN II КР ( признак параллелограмма).
Задача 4. Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью,
проходящей через точки
М є АВС, К є ВД, N є ДС.
Решение:
1. KN = α ∩ ДВС
2. Х = КN ∩ ВС
3. Т = МХ ∩ АВР = ТХ ∩ АС
4. РТ = α ∩ АВС, М є РТ
5. PN = α ∩ АДС
6. ТРNK – искомое сечение.
Задача 5. Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки К є
ВС , М є АДВ, N є ВДС.
Решение:
1. 1. М → М
1
, N → N
1
2. Х = NМ ∩ N
1
М
1
3. R = КХ ∩ АВ
4. RL = α ∩ АВД, М є RL
5. КР = α ∩ ВДС, N є КР
6. LP = α ∩ АДС
7. RLPK – искомое сечение.
9) Рефлексия. В завершение урока учащиеся с
помощью учителя фиксируют степень соответствия поставленной цели и результатов
деятельности. Выставляются оценки.
№ задания
№
правила
Самооценка
Взаимооценка
1
2
3
4
5
Итого
Приложение 1
Практическая работа «Построение сечений тетраэдра».
Цель: Научиться строить сечения тетраэдра.
Оборудование и материалы: линейка, карандаш, ручка, учебник.
План выполнения работы:
1) Изучить теоретические вопросы построения сечений.
2) Разобрать типовые задачи.
3) Практическая часть.
Ход работы:
1)
Элементы тетраэдра:
Вершины тетраэдра:________________________________
Ребра тетраэдра: ___________________________________
Грани тетраэдра:___________________________________
2) План построения сечения тетраэдра :
а) Если две точки тетраэдра принадлежат сечению, то прямая, проходящая через них,
принадлежит секущей плоскости.
Обоснование: по аксиоме - если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой,
лежат в этой плоскости.
б) Если секущая плоскость проходит через прямую, параллельную грани многогранника и
пересекает её, то линия пересечения плоскости и грани параллельна данной прямой.
Обоснование: Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и
пересекает эту плоскость, то линия пересечения параллельна данной прямой.
В) Общая точка секущей плоскости и плоскостей двух пересекающихся граней лежит на
прямой, содержащей общее ребро граней.
Обоснование: Если прямая, лежащая в одной из пересекающихся плоскостей, пересекает
другую плоскость, то она пересекает и линию пересечения плоскостей.
3) Пример построения:
Задача 1. Точка M принадлежит ребру тетраэдра АВ,
точка N принадлежит ребру тетраэдра ВD и точка Р принадле-
жит ребру DС. Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNP.
Решение:
Случай 1. Предположим, что прямые NP и ВС не параллельны.
1. NP = α ∩ (DBC)
2. MN= α ∩ (ABD)
3. E = NP ∩ ВС
4. Q = EM ∩ AC
5. MQ = α ∩ (АВС)
6. PQ = α ∩ (ADC)
7. MNPQ – искомое сечение.
Случай 2. Рассмотрим теперь случай, когда NP параллельна
BC.
1. MQ || BC; MQ ∩ AC = Q
2. MNPQ – искомое сечение.
4) Решите задачи:
Задача 1.
а) Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки М є АВ, N є
АС, К є АД, где М, N и К – середины соответствующих ребер.
б) Найдите периметр данного сечения если все рёбра тетраэдра равны 4см..
Задача 2. Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки
М є АВ, К є ДС, N є ДВ.
Задача 3. Определите вид сечения в предыдущей задаче, если точки M, N и К – середины
указанных рёбер.
Задача 4. Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки
М є АВС, К є ВД, N є ДС.
Задача 5. Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки
К є ВС , М є АДВ, N є ВДС.
4) Заполните таблицу.
№ задания
№
правила
Самооценка
Оценка товарища
1
2
3
4
5
Итого
5) Вывод:______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
Приложение 2.
1) Решение:
2) Решение:
3) Решение:
4) Решение:
5) Решение:
Приложение 3.
