Зачёт "Векторы. Метод координат" 9 класс

Зачет по теме: «Векторы. Метод координат», 9 класс.
Билет №1.
1. Укажите номера верных утверждений
1) Любая точка плоскости является вектором.
2) Векторы называются равными, если их длины равны.
3) Каждая координата вектора равна сумме
соответствующих координат его конца и начала.
4) Если заданы точки А(2; -3) и В(-6; 7), то точка С(-2; 2)
середина отрезка АВ.
2. Докажите переместительный закон сложения векторов:
.abbа
Дано:
ba
,
.
Доказать:
.abbа
3. Упростите выражение
.PANMAM
4. Найдите сумму координат вектора
.ba
5. Определите, при каком значении k векторы
и
jkib 6
будут коллинеарными.
6. Треугольник АВС задан координатами своих вершин: А (1; 3),
В (-1; 1), С (2; 2).
а) Докажите, что треугольник АВС прямоугольный.
б) Найдите координаты центра описанной около треугольника
окружности и её радиус.
Зачет по теме: «Векторы. Метод координат», 9 класс.
Билет №2.
1. Укажите номера верных утверждений
1) Длина вектора, равного сумме двух векторов, равна
сумме длин этих векторов.
2) Если
ba 3
, то векторы
a
и
b
сонаправлены.
3) Каждая координата середины отрезка равна полусумме
соответствующих координат его концов.
4) Если ABCD ромб, то
.BCAB
2. Докажите сочетательный закон сложения векторов:
.cbacbа
Дано:
сba ,,
.
Доказать:
.cbacbа
3. Упростите выражение
.KAMAMH
4. Найдите сумму координат вектора
.ba
5. Определите, при каком значении k векторы
jkia
и
jib 96
будут коллинеарными.
6. Треугольник АВС задан координатами своих вершин: А (-4; 1),
В (0; 1), С (-2; 4).
а) Докажите, что
BA
.
б) Найдите длину высоты CD треугольника АВС.
2
4
6
8
x
y
0
2
4
6
8
x
y
0
Зачет по теме: «Векторы. Метод координат», 9 класс.
Билет №3.
1. Укажите номера верных утверждений
1) Каждая координата суммы двух векторов равна сумме
соответствующих координат этих векторов.
2) Если треугольник АВС равносторонний, то
АСВСАВ
.
3) Если
ba 5
, то векторы
a
и
b
коллинеарны.
4) Если заданы точки А(2; -3) и В(-6; 7), то вектор
AB
имеет
координаты
10;8
.
2. Пусть M середина отрезка AB, O произвольная точка.
Докажите, что
OBOAОM
2
1
.
Дано: M середина AB,
O произвольная точка.
Доказать:
OBOAОM
2
1
3. На чертеже АВСD параллелограмм,
DM=MC,
,ABa
.ADb
Выразите вектор
МB
через векторы
a
и
b
.
4. Даны точки А(2; 0), В(-1; 3), С (4; 6). Определите координаты
вектора
.ВСВАa
5. Определите, при каком значении m векторы
5;1a
и
1;mb
будут коллинеарными.
6. Треугольник АВС задан координатами своих вершин: А (1; 3),
В (-1; 0), С (4; 1).
а) Докажите, что треугольник АВС прямоугольный.
б) Найдите координаты центра описанной около треугольника
окружности и её радиус.
Зачет по теме: «Векторы. Метод координат», 9 класс.
Билет №4.
1. Укажите номера верных утверждений
1) Если
ОВОА
, то О – середина отрезка АВ.
2) Векторы называются равными, если они сонаправлены и
их длины равны.
3) Если координаты вектора
5;2a
, то координаты
вектора
10;42 a
.
4) Если векторы коллинеарны, то они лежат на одной
прямой.
2. Сформулируйте и докажите, используя векторный метод,
теорему о средней линии трапеции.
Дано: ABCD - трапеция, MN средняя
линия.
Доказать:
,ADMN
.
2
BCAD
MN
3. На чертеже АВСD параллелограмм,
BM=MC,
,ABa
.ADb
Выразите
вектор
DМ
через векторы
a
и
b
.
4. Даны векторы
6;2,3;4 nm
. Определите координаты вектора
.5,03 nmp
5. Определите, при каком значении m векторы
3;4 a
и
0;mb
будут коллинеарными.
6. Треугольник АВС задан координатами своих вершин: А (0; 1),
В (1; -4), С (5; 2).
а) Вычислите длину медианы AD треугольника АВС.
б) Докажите
.BCAD
A
B
M
O
A
B
C
D
M
N
Зачет по теме: «Векторы. Метод координат», 9 класс.
Билет №5.
1. Укажите номера верных утверждений
1) Противоположно направленные векторы, имеющие
равную длину, называют противоположными.
2) Если векторы лежат на одной прямой, то они
коллинеарны.
3) Если заданы точки А(2; -3) и В(6; 7), то точка С(2; 5)
середина отрезка АВ.
4) Каждая координата вектора равна разности
соответствующих координат его конца и начала.
2. Сформулируйте и докажите лемму о коллинеарных векторах.
1)
2)
Дано:
ba
,
- коллинеарны,
.0a
Доказать: существует k, что
.bkа
3. Используя рисунок, выразите вектор
AВ
через
AD
,
CВ
и
.СD
4. Вычислите длину отрезка АВ, если А (2; 6), В(4, -2).
5. Определите, при каком значении k точки А, В и С лежат на
одной прямой, если
3;2АВ
и
.
6. Четырехугольник ABCD задан координатами своих вершин:
А (-1; 0), В (-1; 3), С (4; 6), D (4; 0).
а) Докажите, что АВСD трапеция.
б) Найдите длину её средней линии.
Зачет по теме: «Векторы. Метод координат», 9 класс.
Билет 6.
1. Укажите номера верных утверждений
1) Если длины векторов равны, то равны и сами векторы.
2) Векторы
5;1a
и
5;2b
- коллинеарны .
3) Каждая координата разности двух векторов равна
разности соответствующих координат этих векторов.
4) Если АВСD параллелограмм, то
.DAВС
2. Сформулируйте и докажите правило, позволяющее по
координатам векторов находить координаты их суммы.
Дано:
2211
;,; yxbyxa
.
Доказать:
.;
2121
yyxxba
3. Используя рисунок, выразите вектор
CD
через
BC
,
ВA
и
.AD
4.
jia 56
и
jib 3
. Вычислите
.ba
5. Определите, при каком значении k точки А, В и С лежат на
одной прямой, если
8;2АВ
и
kАС ;1
.
6. Четырехугольник ABCD задан координатами своих вершин:
А (-2; -3), В (1; 4), С (8; 7), D (5; 0).
а) Докажите, что АВСD ромб.
б) Вычислите площадь ABCD.
Зачет по теме: «Векторы. Метод координат», 9 класс.
Билет №7.
1. Укажите номера верных утверждений
1) Длина вектора равна квадратному корню из разности
квадратов его координат.
2) Если АВСD квадрат, то
АВ
и
СD
- коллинеарны.
3) Если А(-2; 7) и В(6; -1), то
AB
имеет координаты
8;8
.
4) Если АВСD квадрат, то
АВ
=
СD
.
2. Сформулируйте и докажите правило вычисления координат
середины отрезка.
Дано:
2211
;,; yxByxA
, С середина АВ.
Доказать:
2
;
2
2121
yyxx
С
.
3. Упростите выражение
.KPAPKMAM
4. По данным рисунка вычислите
.ab
5. Определите, при каком значении k векторы
jia 32
и
jikb 9
будут коллинеарными.
6. а) Пусть АА
1
, ВВ
1
, СС
1
медианы треугольника АВС. Докажите,
что
.0
111
ССВВАА
б) Вычислите координаты точки К пересечения медиан этого
треугольника, если А(2; -1), В(2 ;2), С(-3; 5).
Зачет по теме: «Векторы. Метод координат», 9 класс.
Билет №8.
1. Укажите номера верных утверждений
1) Длина вектора, равного сумме двух векторов, меньше или
равна сумме длин этих векторов.
2) Если
ba
, то векторы
a
и
b
коллинеарны.
3) Каждая координата середины отрезка равна полуразности
соответствующих координат его концов.
4) Если ABCD ромб, то
.DCAB
2. Сформулируйте и докажите правило вычисления координат
вектора, по известным координатам его начала и конца.
Дано:
2211
;,; yxByxA
.
Доказать:
.;
1212
yyxxАВ
3. Упростите выражение
.HKKAMAMH
4. Даны точки А(2; 4), В(-1; 3), С (0; 5). Определите координаты
вектора
.СAАBa
5. Определите, при каком значении m векторы
5;4a
и
mb ;2
будут коллинеарными.
6. Четырехугольник ABCD задан координатами своих вершин:
А (-5; 1), В (-2; 4), С (0; 2), D (-3; -1).
а) Докажите, что АВСD – прямоугольник.
б) Вычислите длину медианы ВМ треугольника АВС.
x
y
0
2
1
4
6
x
y
0
Зачет по теме: «Векторы. Метод координат», 9 класс.
Билет №9.
1. Укажите номера верных утверждений
1) Ненулевые векторы называют коллинеарными, если они
лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
2) Если ABCD ромб, то
.ВСAB
3) Каждая координата середины отрезка равна полуразности
соответствующих координат его концов.
4) Если А(-2; 7) и В(6; 1), то
BА
имеет координаты
6;8
.
2. Сформулируйте и докажите правило вычисления длины вектора,
по его координатам.
Дано:
yxa ;
.
Доказать:
.
22
yxa
3. Используя рисунок, выразите вектор
AD
через
AB
,
CВ
и
.СD
4. AB диаметр окружности, где А(1; 4), В(-3; 7). Вычислите
радиус данной окружности.
5. Даны векторы
6;4,6;4,3; pnkm
. Определите, при каком
значении k выполняется равенство
.5,03 nmp
6. Четырехугольник ABCD задан координатами своих вершин:
А (0; 8), В (-6; 0), С (2; -6), D (8; 2).
а) Докажите, что АВСD – квадрат.
б) Вычислите радиус окружности, описанной около квадрата.
Зачет по теме: «Векторы. Метод координат», 9 класс.
Билет №10.
1. Укажите номера верных утверждений
1) Каждая координата вектора равна сумме
соответствующих координат его конца и начала.
2) Нулевой вектор считается коллинеарным любому
вектору.
3) Если ABCD прямоугольник, то
ОСАО
, где О точка
пересечения диагоналей.
4) Если
8;6 с
, то
10с
.
2. Сформулируйте и докажите правило вычисления расстояния
между точками.
Дано:
2211
;,; yxByxA
.
Доказать:
2
12
2
12
yyxxАВ
3. На чертеже АВСD параллелограмм,
BM=MC,
,ABa
.ADb
Выразите
вектор
МD
через векторы
a
и
b
.
4. Даны точки А(2; -5), В(1; 6). Вычислите координаты точки С,
если известно что
.CАAB
5. Определите, при каком значении k точки А, В и С лежат на
одной прямой, если
3;12АВ
и
.
6. Треугольник АВС задан координатами своих вершин: А (-4; 1),
В (-2; 4), С (0; 1).
а) Докажите, что треугольник АВС – равнобедренный.
б) Найдите площадь данного треугольника.
x
y
0
ОТВЕТЫ
№1
№3
№4
№5
№6
Билет 1
14
PN
20
-9
(0,5; 1,5)
10
2
1
r
Билет 2
23
KH
-4
1,5
3
Билет 3
134
ваМВ
2
1
6;2
-0,2
(1,5; 0,5)
26
2
1
r
Билет 4
123
ваDМ
2
1
12;13
0
13
Билет 5
124
CBCDADАВ
68
-6
4,5
Билет 6
3
ADBABCCD
5
-4
40
Билет 7
23
0
5
-6
2;
3
1
Билет 8
124
0
0;5
-2,5
2
13
Билет 9
12
CDCBABАD
2,5
2
25
Билет 10
234
aвMD
2
1
16;3
-1
6