Зачёт "Векторы. Метод координат" 9 класс
Зачет по теме: «Векторы. Метод координат», 9 класс.
Билет №1.
1. Укажите номера верных утверждений
1) Любая точка плоскости является вектором.
2) Векторы называются равными, если их длины равны.
3) Каждая координата вектора равна сумме
соответствующих координат его конца и начала.
4) Если заданы точки А(2; -3) и В(-6; 7), то точка С(-2; 2) –
середина отрезка АВ.
2. Докажите переместительный закон сложения векторов:
.abbа
Дано:
ba
,
.
Доказать:
.abbа
3. Упростите выражение
.PANMAM
4. Найдите сумму координат вектора
.ba
5. Определите, при каком значении k векторы
jia 32
и
jkib 6
будут коллинеарными.
6. Треугольник АВС задан координатами своих вершин: А (1; 3),
В (-1; 1), С (2; 2).
а) Докажите, что треугольник АВС – прямоугольный.
б) Найдите координаты центра описанной около треугольника
окружности и её радиус.
Зачет по теме: «Векторы. Метод координат», 9 класс.
Билет №2.
1. Укажите номера верных утверждений
1) Длина вектора, равного сумме двух векторов, равна
сумме длин этих векторов.
2) Если
ba 3
, то векторы
a
и
b
сонаправлены.
3) Каждая координата середины отрезка равна полусумме
соответствующих координат его концов.
4) Если ABCD – ромб, то
.BCAB
2. Докажите сочетательный закон сложения векторов:
.cbacbа
Дано:
сba ,,
.
Доказать:
.cbacbа
3. Упростите выражение
.KAMAMH
4. Найдите сумму координат вектора
.ba
5. Определите, при каком значении k векторы
jkia
и
jib 96
будут коллинеарными.
6. Треугольник АВС задан координатами своих вершин: А (-4; 1),
В (0; 1), С (-2; 4).
а) Докажите, что
BA
.
б) Найдите длину высоты CD треугольника АВС.
2
4
6
8
x
y
0
2
4
6
8
x
y
0
Зачет по теме: «Векторы. Метод координат», 9 класс.
Билет №3.
1. Укажите номера верных утверждений
1) Каждая координата суммы двух векторов равна сумме
соответствующих координат этих векторов.
2) Если треугольник АВС – равносторонний, то
АСВСАВ
.
3) Если
ba 5
, то векторы
a
и
b
коллинеарны.
4) Если заданы точки А(2; -3) и В(-6; 7), то вектор
AB
имеет
координаты
10;8
.
2. Пусть M — середина отрезка AB, O — произвольная точка.
Докажите, что
OBOAОM
2
1
.
Дано: M — середина AB,
O — произвольная точка.
Доказать:
OBOAОM
2
1
3. На чертеже АВСD – параллелограмм,
DM=MC,
,ABa
.ADb
Выразите вектор
МB
через векторы
a
и
b
.
4. Даны точки А(2; 0), В(-1; 3), С (4; 6). Определите координаты
вектора
.ВСВАa
5. Определите, при каком значении m векторы
5;1a
и
1;mb
будут коллинеарными.
6. Треугольник АВС задан координатами своих вершин: А (1; 3),
В (-1; 0), С (4; 1).
а) Докажите, что треугольник АВС – прямоугольный.
б) Найдите координаты центра описанной около треугольника
окружности и её радиус.
Зачет по теме: «Векторы. Метод координат», 9 класс.
Билет №4.
1. Укажите номера верных утверждений
1) Если
ОВОА
, то О – середина отрезка АВ.
2) Векторы называются равными, если они сонаправлены и
их длины равны.
3) Если координаты вектора
5;2a
, то координаты
вектора
10;42 a
.
4) Если векторы коллинеарны, то они лежат на одной
прямой.
2. Сформулируйте и докажите, используя векторный метод,
теорему о средней линии трапеции.
Дано: ABCD - трапеция, MN – средняя
линия.
Доказать:
,ADMN
.
2
BCAD
MN
3. На чертеже АВСD – параллелограмм,
BM=MC,
,ABa
.ADb
Выразите
вектор
DМ
через векторы
a
и
b
.
4. Даны векторы
6;2,3;4 nm
. Определите координаты вектора
.5,03 nmp
5. Определите, при каком значении m векторы
3;4 a
и
0;mb
будут коллинеарными.
6. Треугольник АВС задан координатами своих вершин: А (0; 1),
В (1; -4), С (5; 2).
а) Вычислите длину медианы AD треугольника АВС.
б) Докажите
.BCAD
A
B
M
O
A
B
C
D
M
N
Зачет по теме: «Векторы. Метод координат», 9 класс.
Билет №5.
1. Укажите номера верных утверждений
1) Противоположно направленные векторы, имеющие
равную длину, называют противоположными.
2) Если векторы лежат на одной прямой, то они
коллинеарны.
3) Если заданы точки А(2; -3) и В(6; 7), то точка С(2; 5) –
середина отрезка АВ.
4) Каждая координата вектора равна разности
соответствующих координат его конца и начала.
2. Сформулируйте и докажите лемму о коллинеарных векторах.
1)
2)
Дано:
ba
,
- коллинеарны,
.0a
Доказать: существует k, что
.bkа
3. Используя рисунок, выразите вектор
AВ
через
AD
,
CВ
и
.СD
4. Вычислите длину отрезка АВ, если А (2; 6), В(4, -2).
5. Определите, при каком значении k точки А, В и С лежат на
одной прямой, если
3;2АВ
и
kАС ;4
.
6. Четырехугольник ABCD задан координатами своих вершин:
А (-1; 0), В (-1; 3), С (4; 6), D (4; 0).
а) Докажите, что АВСD – трапеция.
б) Найдите длину её средней линии.
Зачет по теме: «Векторы. Метод координат», 9 класс.
Билет 6.
1. Укажите номера верных утверждений
1) Если длины векторов равны, то равны и сами векторы.
2) Векторы
5;1a
и
5;2b
- коллинеарны .
3) Каждая координата разности двух векторов равна
разности соответствующих координат этих векторов.
4) Если АВСD – параллелограмм, то
.DAВС
2. Сформулируйте и докажите правило, позволяющее по
координатам векторов находить координаты их суммы.
Дано:
2211
;,; yxbyxa
.
Доказать:
.;
2121
yyxxba
3. Используя рисунок, выразите вектор
CD
через
BC
,
ВA
и
.AD
4.
jia 56
и
jib 3
. Вычислите
.ba
5. Определите, при каком значении k точки А, В и С лежат на
одной прямой, если
8;2АВ
и
kАС ;1
.
6. Четырехугольник ABCD задан координатами своих вершин:
А (-2; -3), В (1; 4), С (8; 7), D (5; 0).
а) Докажите, что АВСD – ромб.
б) Вычислите площадь ABCD.
Зачет по теме: «Векторы. Метод координат», 9 класс.
Билет №7.
1. Укажите номера верных утверждений
1) Длина вектора равна квадратному корню из разности
квадратов его координат.
2) Если АВСD – квадрат, то
АВ
и
СD
- коллинеарны.
3) Если А(-2; 7) и В(6; -1), то
AB
имеет координаты
8;8
.
4) Если АВСD – квадрат, то
АВ
=
СD
.
2. Сформулируйте и докажите правило вычисления координат
середины отрезка.
Дано:
2211
;,; yxByxA
, С – середина АВ.
Доказать:
2
;
2
2121
yyxx
С
.
3. Упростите выражение
.KPAPKMAM
4. По данным рисунка вычислите
.ab
5. Определите, при каком значении k векторы
jia 32
и
jikb 9
будут коллинеарными.
6. а) Пусть АА
1
, ВВ
1
, СС
1
– медианы треугольника АВС. Докажите,
что
.0
111
ССВВАА
б) Вычислите координаты точки К пересечения медиан этого
треугольника, если А(2; -1), В(2 ;2), С(-3; 5).
Зачет по теме: «Векторы. Метод координат», 9 класс.
Билет №8.
1. Укажите номера верных утверждений
1) Длина вектора, равного сумме двух векторов, меньше или
равна сумме длин этих векторов.
2) Если
ba
, то векторы
a
и
b
коллинеарны.
3) Каждая координата середины отрезка равна полуразности
соответствующих координат его концов.
4) Если ABCD – ромб, то
.DCAB
2. Сформулируйте и докажите правило вычисления координат
вектора, по известным координатам его начала и конца.
Дано:
2211
;,; yxByxA
.
Доказать:
.;
1212
yyxxАВ
3. Упростите выражение
.HKKAMAMH
4. Даны точки А(2; 4), В(-1; 3), С (0; 5). Определите координаты
вектора
.СAАBa
5. Определите, при каком значении m векторы
5;4a
и
mb ;2
будут коллинеарными.
6. Четырехугольник ABCD задан координатами своих вершин:
А (-5; 1), В (-2; 4), С (0; 2), D (-3; -1).
а) Докажите, что АВСD – прямоугольник.
б) Вычислите длину медианы ВМ треугольника АВС.
x
y
0
2
1
4
6
x
y
0
Зачет по теме: «Векторы. Метод координат», 9 класс.
Билет №9.
1. Укажите номера верных утверждений
1) Ненулевые векторы называют коллинеарными, если они
лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
2) Если ABCD – ромб, то
.ВСAB
3) Каждая координата середины отрезка равна полуразности
соответствующих координат его концов.
4) Если А(-2; 7) и В(6; 1), то
BА
имеет координаты
6;8
.
2. Сформулируйте и докажите правило вычисления длины вектора,
по его координатам.
Дано:
yxa ;
.
Доказать:
.
22
yxa
3. Используя рисунок, выразите вектор
AD
через
AB
,
CВ
и
.СD
4. AB – диаметр окружности, где А(1; 4), В(-3; 7). Вычислите
радиус данной окружности.
5. Даны векторы
6;4,6;4,3; pnkm
. Определите, при каком
значении k выполняется равенство
.5,03 nmp
6. Четырехугольник ABCD задан координатами своих вершин:
А (0; 8), В (-6; 0), С (2; -6), D (8; 2).
а) Докажите, что АВСD – квадрат.
б) Вычислите радиус окружности, описанной около квадрата.
Зачет по теме: «Векторы. Метод координат», 9 класс.
Билет №10.
1. Укажите номера верных утверждений
1) Каждая координата вектора равна сумме
соответствующих координат его конца и начала.
2) Нулевой вектор считается коллинеарным любому
вектору.
3) Если ABCD – прямоугольник, то
ОСАО
, где О – точка
пересечения диагоналей.
4) Если
8;6 с
, то
10с
.
2. Сформулируйте и докажите правило вычисления расстояния
между точками.
Дано:
2211
;,; yxByxA
.
Доказать:
2
12
2
12
yyxxАВ
3. На чертеже АВСD – параллелограмм,
BM=MC,
,ABa
.ADb
Выразите
вектор
МD
через векторы
a
и
b
.
4. Даны точки А(2; -5), В(1; 6). Вычислите координаты точки С,
если известно что
.CАAB
5. Определите, при каком значении k точки А, В и С лежат на
одной прямой, если
3;12АВ
и
kАС ;4
.
6. Треугольник АВС задан координатами своих вершин: А (-4; 1),
В (-2; 4), С (0; 1).
а) Докажите, что треугольник АВС – равнобедренный.
б) Найдите площадь данного треугольника.
x
y
0
ОТВЕТЫ
№1
№3
№4
№5
№6
Билет 1
14
PN
20
-9
(0,5; 1,5)
10
2
1
r
Билет 2
23
KH
-4
1,5
3
Билет 3
134
ваМВ
2
1
6;2
-0,2
(1,5; 0,5)
26
2
1
r
Билет 4
123
ваDМ
2
1
12;13
0
13
Билет 5
124
CBCDADАВ
68
-6
4,5
Билет 6
3
ADBABCCD
5
-4
40
Билет 7
23
0
5
-6
2;
3
1
Билет 8
124
0
0;5
-2,5
2
13
Билет 9
12
CDCBABАD
2,5
2
25
Билет 10
234
aвMD
2
1
16;3
-1
6
