Разработка урока по геометрии в 11 классе "Метод координат при решении стереометрических задач"
Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №3 г. Козьмодемьянска»
Республики Марий Эл
Конспект урока по геометрии в 11 классе
«Метод координат при решении
стереометрических задач»
Подготовила: учитель математики
Уртюкова Мая Андреевна
г. Козьмодемьянск
2015г.
Метод координат при решении стереометрических задач
Цель урока: обобщить применение метода координат при решении
различных задач; выработать умения рассматривать различные подходы к
решению задач; развить пространственное мышление; показать
эффективность использования этого метода на экзамене.
Форма занятия: урок-практикум
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, презентация.
Ход урока.
I. Организационный момент.
Сообщить тему урока, сформулировать цели.
Вводное слово учителя: Сегодня мы с вами должны повторить
применение метода координат для нахождения углов. Метод
координат - весьма эффективный и универсальный способ
нахождения любых углов или расстояний между
стереометрическими объектами.
II. Актуализация знаний учащихся.
1)Сформулируйте определение угла между скрещивающимися прямыми.
Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между
пересекающимися прямыми, соответственно параллельными
данным скрещивающимся.
Алгоритм построения.
1.Выбрать одну из скрещивающихся прямых (удобную).
2.Для второй прямой найти параллельную прямую, которая пересекает
выбранную прямую.
3. Найти угол между полученными пересекающимися прямыми, который
равен углу между скрещивающимися прямыми.
2)Обсудить устно метод решения следующей задачи: Точка К – середина
ребра
1
AA
единичного куба
1111
DCBADCDA
. Найти угол между прямыми
А
1
В и СК.
1способ
CKDCKCDKCBA
111
);();(
Из треугольника
4
5
1)
2
1
(:
22
2
111
KDDKA
;
2
5
1
KD
Из треугольника
2:
111
CDCCD
Из треугольника
KBC
:
2
3
KC
По теореме косинусов из треугольника
2
2
cos
11
KCDKCD
;
0
1
45KCD
2 способ.
)
2
1
;0;1(K
;
)0;1;1(B
;
)0;1;0(C
;
)1;0;1(
1
A
;
1;1;0
1
BA
2
1
;1;1KC
2
2
2
1
11110
2
1
11110
cos
2
2
2
2
2
2
;
0
45
3)Найдите координаты правильной четырехугольной пирамиды:
K
4)Сформулируйте определение угла между прямой и плоскостью.
Угол между прямой и плоскостью равен углу между прямой и ее проекцией
на эту плоскость.
Алгоритм построения.
1.Найти общую точку прямой и плоскости.
2.Выбрать удобную точку на прямой и спроектировать ее на плоскость,
получить проекцию прямой на плоскость (иногда удобно проектировать на
плоскость параллельную прямую исходной).
3.Найти угол между прямой и ее проекцией на плоскость.
5)Как найти угол между плоскостями?
Углом между плоскостями называется двугранный угол.
Алгоритм построения двугранного угла .
1.Найти общую прямую пересекающихся плоскостей (ребро двугранного угла).
2.Провести два перпендикуляра к ребру двугранного угла, лежащих в гранях
двугранного угла и имеющих на ребре общее начало.
Полученный угол называется линейным углом двугранного угла.
3.Найти величину полученного линейного угла.
x
y
z
III. Решение задач (методом координат).
1) Дан прямоугольный параллелепипед
1111
DCBABCDA
,
1,2
1
AAADAB
.
Найдите угол между прямой
1
AC
и плоскостью
CAB
1
.
Точки А, В
1
, С лежат на
координатных осях. Тогда
уравнение плоскости АВ
1
С
имеет вид:
1
122
zyx
;
x+y+2z -2 =0;
)(
1
CABn
;
2;1;1n
1;2;2
1
AC
где
111
;; zyxp
- направляющий вектор прямой АС
1
-вектор, перпендикулярный плоскости АВ
1
С
9
6
96
2121)2(1
sin
.
2) В правильной четырехугольной призме АВСDA
1
B
1
C
1
D
1
стороны
основания равны 2, а боковые ребра равны 5. На ребре АА
1
отмечена точка Е
так, что АЕ : ЕА
1
= 3 : 2. Найдите угол между плоскостями АВС и ВЕD
1
.
D
А
В
C
A
1
D
1
C
1
B
1
2
a
2
3
2
3
2
O
P
E
5
F
FPC – линейный
угол
двугранного угла
FBOC
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
||
sin
zyxzyx
zzyyxx
222
;; zуxn
х
у
z
C
D
A
B
C
1
D
1
A
1
B
1
1
2
2
1 способ (разобрать устно)Построим ребро двугранного угла. Для этого
придется «выйти» за пределы призмы. Точки В и О лежат в одной плоскости
АВС, значит, можно их соединить отрезком. ВО – след секущей плоскости на
плоскости грани АВСD. FP является наклонной к плоскости ABC, CP –
проекция отрезка FP на плоскость ABC. CP
BO по теореме о трёх
перпендикулярах.
FPC – линейный угол двугранного угла FBOC.
2 способ. Запишем формулу для нахождения угла между плоскостями.
:
a
0
1111
dzcybxa
};;{
1111
cban
};;{
2222
cban
Вектор нормали плоскости
:
a
Вектор нормали плоскости
:
:
0
2222
dzcybxa
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
||
cos
cbacba
ccbbaa
Введём систему координат с началом в точке D. Используя координатный
метод, найдем координаты направляющего вектора
1
DD
)(ABC
,
1
DD
{0; 0;5},
E(2;0;3), B(2;2;0),
1
D
(0;0;5). Подставляя в общее уравнение плоскости
поочерёдно координаты точек, получим систему уравнений для определения
коэффициентов a,b,c,d уравнения плоскости ВЕ
1
D
:
2a+3c+d=0 a=c
5c+d=0 d=-5c
2a+2b+d=0 b=1,5c
Cx+1,5cy+cz-5c=0
2x+3y+2z-10=0
)(
1
BEDn
,
n
{2;3;2}
17
2
232500
253020
cos
222222
IV.Самостоятельная работа.
Задача: В кубе ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
найдите тангенс угла между прямой АА
1
и
плоскостью ВС
1
D.
1вариант- методом координат
2 вариант –используя определение угла между прямой и плоскостью
D
А
В
С
А
1
D
1
С
1
В
1
1
1
1
V. Подведение итогов.
Вывод: Координатный метод имеет преимущество перед другими способами
тем, что основывается на применение формул, требует меньше
стереометрических соображений. Надо поместить тело в прямоугольную
систему координат, определить координаты точек и воспользоваться
формулой. Знакомство с координатным методом помогает быстро решать
задачи из ЕГЭ.
VI.Домашнее задание.
В кубе АВСDA
1
B
1
C
1
D
1
найдите угол между плоскостями (А
1
С
1
D) и (BC
1
D).
Список использованных источников.
1). Геометрия, 10-11: учебник для общеобразовательных учреждений:
базовый и профильный уровни / Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев
и др. – М.: Просвещение, 2007. – 256 с.
2) ЕГЭ-2012. Математика: типовые экзаменационные варианты: 10
вариантов/ под ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко. – М.: Национальное
образование, 2011. – 112 с. – (ЕГЭ-2012. ФИПИ – школе)
3)http://festival.1september.ru
4) http://uslide.ru
5) http://nsportal.ru
