Презентация "Векторно-координатный метод решения стереометрических задач"

Учитель математики МАОУ «Обдорская гимназия» г. Салехард ЯНАО Е.И. Гусак

Векторно-координатный метод решения стереометрических задач

Векторно-координатный метод решения стереометрических задач Часть 1 Практикум. Расстояние в пространстве. Расстояние от точки до прямой

• Задача 1. В правильной шестиугольной призме А…все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой F.
Решение. Введем систему координат. Определим координаты точек B, F и Подставим координаты и точек и В в формулу d = (0;0;1), B(1;0;0), F , d = =

•  

 

 

 

Расстояние от точки до прямой

• Вычисление определителей
1) = 2) = 3) =

•  

Расстояние от точки до плоскости

• Задача 2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точка Е середина ребра SD. Найти расстояние от точки В до плоскости АСЕ.
Решение. Введем систему координат. Найдем координаты точек A, C, E и B. Из △DOS: OS = = EL = OS = A(0;0;0), C(1;1;0) Е, B(1;0;0)

•  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Расстояние от точки до плоскости Составим уравнение плоскости, проходящей через три точки A(0;0;0), C(1;1;0) и Е. Возьмем произвольную точку плоскости Т(х; у; z) и определим векторы , . (х; у; z) , (1;1;0), . Составим уравнение плоскости = x +z = = x y + z = 0 xy + 2z = 0 Вектор нормали .

•  

Расстояние от точки до плоскости Найдем искомое расстояние по формуле Ответ: 0,5.

•  

Расстояние между прямыми

• Задача 3. В правильной треугольной призме АВС все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми А и С.
Решение. Введем систему координат. Найдем направляющие векторы прямых А и С. Определим координаты точек А, , С и . А(0; 0; 0), (1; 0; 1), С и (0; 0; 1). Тогда (1; 0; 1) и . Т.к. прямые скрещивающиеся, то векторы не параллельны. Построим плоскость, проходящую через прямую А параллельно прямой С. Строить плоскость будем методом матрицы, т.е. с помощью определителя. Возьмем произвольную точку Т(х; у; z) и опорную точку А(0; 0; 0). Определим вектор АT: (х ; у; z).

•  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Расстояние между прямыми Составим уравнение плоскости. = x + z = = х + у + z = 0 Итак, х +3у z = 0. Вектор нормали . Задача сводится к нахождению расстояния от точки, например, до плоскости. Ответ: .

•  

Векторно-координатный метод решения стереометрических задач Часть 2 Углы в пространстве Углы в пространстве

• Задача 1. В правильном тетраэдре АВСD точка Е – середина ребра AD. Найдите угол между прямыми АВ и СЕ.
Решение. Введем систему координат. Найдем координаты точек А, В, С и Е. Из △CNB: CN = = ON = ⋅ = , OC = ⋅ = KL = = ⋅ = Из △DOC: OD = = EL = ⋅ = A(0;0;0) B(1;0;0) C E

•  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Угол между прямыми Определим векторы и . A(0;0;0) B(1;0;0) C E (1;0;0) Найдем косинус угла между векторами = Ответ:

•  

Угол между прямой и плоскостью

• В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точка Е – середина ребра SB. Найдите угол между прямой АЕ и плоскостью SBD.
Решение. Введем систему координат. Найдем координаты точек А, Е, В,D,S. Из △DBC: DB = = ОВ = DB = Из △SOB: SO = = EL = SO = A(0;0;0) B(1;0;0) D(0;1;0) E S Найдем координаты :

•  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Угол между прямой и плоскостью Составим уравнение плоскости, проходящей через три точки: B(1;0;0), D(0;1;0), S. Возьмем произвольную точку Т(х; у; z) и определим векторы , . (x – 1; y; z), (, . Получим, = (x-1) + z = = x y + 0z = 0 x y + 0z = 0 или Вектор нормали ( 1; 1; 0).

•  

Угол между прямой и плоскостью Найдем синус угла (𝜑) между векторами и = = Ответ: .

•  

Угол между плоскостями

• Задача 2. В правильной шестиугольной призме A… все ребра которой равны1. Найдите косинус угла между плоскостями и .
Решение. Введем систему координат. Найдем координаты точек: Из △АВЕ: АЕ = . Чтобы найти координаты точек нужно спроектировать их на плоскость Оху и определить сначала координаты х и у. Окончательно получим A(0;0;0) B(1;0;0) (0;0;1) (1;0;1) (1;;1) (0 ;;1)

•  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Угол между плоскостями

• Составим уравнения плоскостей и .
Плоскость проходит через точки A(0;0;0) (1;0;1) и (0 ;;1). Возьмем произвольную точку Т(х; у; z) и определим векторы , . (х; у; z) , (1; 0; 1), (0;; 1). Составим уравнение плоскости . = x + z = = x y + z = 0 Итак, x y z = 0, а вектор нормали (; 1; ).

•  

Угол между плоскостями Аналогично, составим уравнение плоскости , проходящей через точки: B(1;0;0), (0;0;1), (1;;1). Определим векторы , . (х; у; z) , (1; 0; 1), (0; ; 1). = (x-1) + +z = = x y z = 0 Итак, x y z = 0 и вектор нормали (; 1; ).

•  

Угол между плоскостями Найдем косинус угла( между плоскостями и косинус угла между векторами (; 1; ) и (; 1; ). = = Ответ: .

•  

Векторно-координатный метод решения стереометрических задач Часть 3 Практикум. Вектор нормали и рациональные методы решения задач. Угол между плоскостями

• Задача.
В прямоугольном параллелепипеде АВСD АВ = 6, ВС = Расстояние между прямыми АС и равно . Найдите тангенс угла между плоскостью грани D и плоскостью, проходящей через точку М перпендикулярно С, если СМ : МВ = 1 : 2.

•  

 

 

 

 

 

 

 

 

•

 

Решение.

В этой задаче трудно определить плоскость , проходящую через

точку М перпендикулярно

С.

 

Рассмотрим более

простое решение.

Угол между плоскостями Нетрудно заметить, что поскольку С, то С – нормаль к С другой стороны ВС ⊥ (D), т.е. ВС – нормаль к (D). Следовательно, угол между плоскостями равен углу между нормалями. Искомый угол можно найти из прямоугольного треугольника ВС или по формуле угла между плоскостями. Введем систему координат.

•  

•

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

0

По условию расстояние между АС и равно , а АС и - скрещивающиеся прямые, то расстояние равно длине их общего перпендикуляра, т.е. высоте. .

 

Найдем координаты точек ,В,С.

 

(0;0;), B(6;0;0),С(6; ; 0)

 

Угол между плоскостями

• (0;0;), B(6;0;0),С(6; ; 0)
Определим координаты вектора нормали и . Получим, (6; ; - ) , (0; ; 0). Найдем косинус угла между векторами =

•  

Угол между плоскостями

• Итак, .
Зная, что = Ответ:

•  

Угол между прямой и плоскостью Рассмотрим три способа одной задачи.

• Задача. В правильной треугольной пирамиде SАВС с основанием АВС известны ребра АВ = 24 , SС = 25. Найти угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер АS и ВС.

•  

А

B

С

S

О

К

F

L

N

Решение.

Построим фигуру.

Точка О – точка пересечения медиан.

Опустим FN ⊥(АВС).

FК – наклонная к (АВС),

FN – ее проекция. Следовательно, угол FKN искомый угол.

В △АВС CL – медиана, высота.

Тогда △СLВ-прямоугольный.

CL = СВ

 

Угол между прямой и плоскостью

• АО = АК = 24.
По теореме Фалеса N- середина АО, AN = 12, NK = 24. Из прямоугольного треугольника AOS: SO = = 7. △AFNс k = 2, т.к. FA = FS. 2, = Из прямоугольного треугольника FNK: tgFNK = = Ответ:

•  

Угол между прямой и плоскостью

• Решим задачу другим способом.
Введем систему координат. Найдем координаты точек : А, В, С, К и F.

А

B

С

S

F

N

О

L

К

 

 

 

24

 

0

12

 

6

 

18

 

 

36

6

18

7

А(0; 0; 0),

В(24; 0; 0),

 

С(12; 36; 0)

 

К(18; 18; 0),

 

F(6; 6; )

 

Составим уравнение плоскости,

проходящей через три точки: А, В, С. Возьмем произвольную точку Т(х; у; z) и определим векторы , .

(x ; y; z), (, .

 

Угол между прямой и плоскостью

Получим,

= 0x + ⋅ 36z = 0

0x + z = 0 уравнение плоскости АВС.

Вектор нормали ( 0; 0; ).

 

Найдем координаты :

 

Найдем синус угла (𝜑) между векторами и

=

 

Угол между прямой и плоскостью Зная = , найдем = . Тогда tg Ответ:

•  

В этом решении мы использовали определитель. Однако решение может быть проще. Решим задачу без составления уравнения плоскости.

Поскольку, FN ⊥(АВС) и является вектором нормали, то можно найти sin ∠NFK. Это и будет cos∠FKL, т.к.

sin ∠NFK+ cos∠FKL = .

 

Угол между прямой и плоскостью Итак, и . Тогда =. Следовательно, = . Тогда tg Ответ:

•