Презентация "Координатный метод при решении задач Стереометрии" 11 класс

Скачать материал

Подписи к слайдам:

Муниципальное автономное образовательное учреждение г. Владимира «Средняя образовательная школа № 14»

Координатный метод при решении задач
Стереометрии
Разработала
учитель математики
Даровских Ирина Михайловна
Г. Владимир 2014

Типы задач:

расстояние от точки до плоскости;
расстояние от точки до прямой;
угол между прямой и плоскостью;
угол между скрещивающимися прямыми;
угол между плоскостями;
комбинированные задачи, в которых известно данное одного типа, а найти нужно данное другого или других типов.

Суть метода координат:

введение ( привязка к исследуемым фигурам) декартовой системы координат, а затем – вычисление длин образующихся векторов или углов между ними.

Алгоритм применения КВМ

Выбрать в пространстве систему координат из соображений удобства выражения координат и наглядности изображения.
Найти координаты необходимых точек.
Решить задачу, используя основные задачи метода координат.
Перейти от аналитических соотношений к геометрическим.

Основные формулы

Если М1(х1;у1;z1),М2(х2;у2;z2), то
М1М2{х2-х1;у2-у1;z2- z1}; (1)
|М1М2|=√ (х2-х1)2+(у2-у1)2+(z2- z1)2 (2)
Если М(х;у;z) - середина отрезка М1М2, то
Х= (3)

Основные формулы

Если а (а1;а2;а3), в (b1; b2; b3), то
а ·в =а 1· b 1+а 2· b 2+а 3· b 3; (4)
а ·в =|а|·|в|· (5)
= = (6)
(7)

Основные формулы

Условие коллинеарности векторов
а (а1;а2;а3) и в (b1; b2; b3): (8)
Уравнение сферы с центром в т.С(х0;у0;z0) и радиусом r имеет вид:
(x – x0)2 + (y – y0)2 + (z – z0)2 = r2; (9)

Формулы для нахождения площадей

Площадь параллелограмма, построенного на векторах
равна

Уравнения прямой и плоскости

Каноническое уравнение прямой:
, где М(х0,у0,z0) , а
вектор является направляющим
Уравнение прямой, заданной 2-мя точками: М1(х1;у1;z1) и
М2(х2;у2;z2) имеет вид:
Уравнение плоскости, заданной точкой М(х0,у0,z0) и вектором нормали (любым ненулевым вектором, перпендикулярным плоскости):
Ах+Ву+Сz+D=0, где D=-(Ax0+Bу0+Сz0)

Формулы нахождения расстояния от точки до плоскости

Если точка М(х0,у0,z0), а плоскость α задана уравнением Ах+Ву+Сz+D=0, то расстояние от точки М до плоскости α вычисляется по формуле:

Задача1. Найти угол между двумя прямыми d1 и d2 (пересекающимися или скрещивающимися), если направляющие векторы этих прямых известны.

Пусть а (a1;а2;а3), b (b1; b2; b3) – направляющие векторы этих прямых, а φ – искомый угол. Обозначим через .
Тогда φ= , если ≤ 900 ,
либо φ= 1800 - , если > 900. Поэтому либо cosφ = cos , либо cosφ =-cos .
В любом случае , а т.к. φ ≤ 900, то cos φ ≥0, и, следовательно, cosφ= .
Получаем:
=

cosφ=

Задача 2. Найти угол между прямой d и плоскостью π, если известны координаты направляющего вектора прямой и координаты ненулевого вектора, перпендикулярного к плоскости.

Пусть - направляющий вектор прямой ,
– ненулевой вектор, перпендикулярный к плоскости π
Тогда

ЗАДАЧА

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 4. Точка K середина ребра DD1. Точки M и H лежат на ребрах A1B1 и AB соответственно, причем A1M:MB1=1:3, AH:HB=3:1.
Найти градусную меру угла между прямыми MH и KC1.

Решение:

(3;0;4)

(1;0;0)

(4;4;2)

(0;4;4)

1. Пусть α искомый угол.

2. За направляющие прямых возьмем и .

ЗАДАЧА (ЕГЭ 2006)

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S высота равна диагонали основания. Точка F лежит на середине ребра SA.
Найдите квадрат тангенса угла между прямыми SD и BF.

Дано: SABСD – правильная пирамида SO=AC; AF=FS Найти:

1. Введем систему координат, взяв за единичный отрезок длину OA.

2. Определим координаты точек S, D, B и F.

(0;-1;0)

(0;1;0)

(0;0;2)

(-0,5;0;1)

3. Пусть .

Решение:

4. Тогда

ЗАДАЧА

Основанием прямой призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник с катетами AB=4 и BC=6. Высота призмы равна 10.
Найдите объем пирамиды с вершинами в точке C1 и серединах ребер BC, BB1 и A1B1.

Дано: ABCA1B1C1 – прямая призма ∆ABC – прямоугольный, B=900 AB=4, BC=6, BB1=10 Найти: VC1FMN

Решение:

(0;3;0)

(0;0;5)

(-2;0;10)

1. Введем прямоугольную систему координат.

4. Подставим в уравнение плоскости FNM mx+ny+cz+d=0 координаты точек M, N и F:

ЗАДАЧА (ЕГЭ 2007)

В треугольной пирамиде ABCD все ребра имеют одинаковую длину.
Точка M – середина ребра AD, точка O – центр треугольника ABC, точка N - середина ребра AB и точка K – середина ребра CD.
Найдите угол между прямыми MO и KN.

Дано: DABC – тетраэдр M – середина AD, O – центр ∆ABC, N – середина AB, K- середина CD Найти: угол между MO и KN.

Решение:

1. Примем длину ребра тетраэдра за единицу и выберем в качестве базиса векторы

2. Составим таблицу умножения для этого базиса (Таблица 1).


1	1/2	1/2
1/2	1	1/2
1/2	1/2	1

Таблица 1

6. Пользуясь таблицей 1, получим:

Достоинства и недостатки метода координат:

Этот метод не требуют рассмотрения сложных геометрических конфигураций.
Все те соотношения, которые при решении традиционным методом даются с большим трудом (через привлечение большого количества вспомогательных теорем), здесь получаются как бы сами собой, в ходе вычислений.
Сводит геометрическую задачу к алгебраической, решить которую обычно легче, чем исходную геометрическую
Недостаток – это большой объем вычислений.

Используемая литература.

Александро А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Стереометрия. Геометрия в пространстве ALFA,1998
Беккер Б.М., Некрасов В.Б. Применение векторов к решению задач. С-П:, 1997
Гельфанд И.М. Метод координат.- М.: Наука, 1973
Гущин Д.Д. Материалы вступительных экзаменов по математике. Для поступающих в СПбГУ,2003
Журналы «Математика в школе», «Квант».
Метод координат. Методическая разработка для уч-ся заочного отделения МГУ им. М.В.Ломоносова М.,2008
Прасолов В.В.,Шарыгин И.Ф. Задачи по стереометрии Москва, «Наука»,1989г.
Севрюков П.Ф.,Смоляков А.Н. Векторы и координаты в решении задач школьного курса стереометрии

Презентация "Координатный метод при решении задач Стереометрии" 11 класс

Подписи к слайдам:

Геометрия - еще материалы к урокам:

Предметы

Похожие материалы