Графический метод решения задач с параметром на ОГЭ (типовые задачи №23 КИМ ОГЭ)

Задачи с параметром Графический метод решения задач с параметром на ОГЭ ( типовые задачи №23 КИМ ОГЭ)

Подготовила: учитель математики МОУ «Гимназия №1»

г. Железногорска Курской области

Агашкова Н.А.

Задача №1. Найдите все значения k, при которых прямая y=kx пересекает в трех различных точках график функции:

3𝑥 + 7, если 𝑥 < −3

f(x) = −2,

если − 3𝑥3

3𝑥 − 11, если 𝑥 > 3

Решение.

3𝑥 + 7, если 𝑥 < −3

Построим график функции f(x) = −2,

если − 3𝑥3

3𝑥 − 11, если 𝑥 > 3

1) y=3x+7 , x< -3

2) y= -2, −3𝑥3

3) y=3x-11 , 𝑥 > 3

4) y=kx – уравнение прямой, проходящей через начало координат

x	-3	-5
y	-2	-8

x	3	5
y	-2	4

2

k=3

k=3

y = f(x)

x

y

y=kx

5) Прямая y=kx пересекает в трех различных точках этот график, если её угловой коэффициент больше углового коэффициента прямой, проходящей через точку (-3-2) и меньше углового коэффициента прямой, параллельной прямой y=3x+7 и y=3x-11

2

6) Найден угловой коэффициент прямой y=kx, проходящей через

точку (-3-2):

-3k = -2

k = 3

7) Угловой коэффициент k прямой, параллельной прямой y=3x+7, равен 3.

Прямая y=kx имеет с графиком заданной функции три общие точки

2

при 3 < k < 3

𝟐

Ответ: 𝟑 < k <3

Задание для самостоятельного решения

a)

Найдите все значения параметра k, при каждом из которых прямая y=kx пересекает в трех различных точках ломаную, заданную условиями:

2𝑥 − 1, если 𝑥 > 1,

y = 1, если − 2𝑥1,

b)

2𝑥 + 5, если 𝑥 < −2.

Ответ: k(1; 2)

2𝑥 − 4, если 𝑥 > 3,

𝑦 = 2, если − 2 ≤ 𝑥 ≤ 3, 2𝑥 + 6, если 𝑥 < −2 .

3

Ответ: k(2 2)

;

Задача №2 . При каких значениях p прямая y = p имеет три общие точки с графиком функции y = f(x),

где f(x) = 𝑥 𝑥 − 4 ,

если 𝑥 0,

𝑥 4 − 𝑥 , если 𝑥 < 0

Решение.

Построим график функции

f(x) = 𝑥 𝑥 − 4 ,

если 𝑥  0,

𝑥 4 − 𝑥 , если 𝑥 < 0

1) y = x(x - 4) = x² - 4x = (x² - 4x +4) – 4 = (x – 2)² - 4

y = (x – 2)² - 4 , x  0

(2; -4) - вершина параболы

х = 2 – ось симметрии параболы

2) y = x(4 – x) = -x² +4x = -(x² - 4x) = -[(x² - 4x + 4) – 4] = -[(x – 2)² -4] =

= -(x -2) ² + 4

y = -(x -2) ² + 4 , x < 0

(2; 4) - вершина параболы

х = 2 – ось симметрии параболы

3) y = p - уравнение прямой, параллельной оси Ох

y = f(x)

y

y = p (p= -4)

Из рисунка видно, что прямая y = p имеет три общие точки с графиком функции y = f(x) при -4 < p < 0

Ответ: при -4 < p < 0

y = p (p= 0)

x

Задания для самостоятельного решения

1. Постройте график функции y = 𝑓 𝑥

𝑓 𝑥

= 1 − 𝑥

𝑥 − 1

, где

𝑥 + 3 , если 𝑥 ≤ 1,

𝑥 + 3 , если 𝑥 > 1.

При каких значениях m прямая y = m имеет с графиком этой функции две общие точки.

Ответ: при m = 0; m = 4.

Задача №3. Сколько корней имеет уравнение

x2-2x-3= a в зависимости от значения параметра а?

Решение.

Решим графически. Построим график левой и правой части уравнения

y =x2-2x-3

и y = a

1) y= x2 - 2x-3=(x2-2x+1)-1-3=(x-1)2 -4

y = (x-1)2 - 4 –уравнение параболы, ветви которой направлены вверх, так как a=10

(1;-4) – вершина параболы

• Для того чтобы построить график функции y = x2-2x-3, необходимо точки, лежащие на оси Оx и часть графика, находящуюся выше оси Ox, оставить без изменения, а часть графика находящуюся ниже оси Ox, симметрично отобразить в верхнюю полуплосктость.
• y = a – уравнение прямой, параллельной оси Ox

y = a (a<0)

y = 0 (a = 0)

y = a (0 < a < 4)

y = a (a > 4)

y = 4 (a = 4)

x

y

y =x2-2x-3

Ответ:

• при a=0, а(4;+) - два корня
• при а(0;4) - четыре корня
• при а=4 - три корня
• при а(-;0) - корней нет.

Задания для самостоятельного решения

1. Определите количество корней уравнения |x2 - 4x - 3|=a при всех

положительных значениях параметра a .

Ответ: 4 корня при 0 < a < 7;

3 корня при a = 7

2 корня при a > 7

2. Определите количество корней уравнения |2x2 + 4x - 7|=a при всех положительных значениях параметра а.

Ответ: 4 корня при 0 < a < 9

3 корня при a = 9

2 корня при a > 9

𝒚 = −𝒙 −𝟔𝒙−𝟓

Задача №4. Построить график функции

𝟐

𝒙𝟐+𝟖𝒙+𝟏𝟓

и определите,

при каких значениях параметра 𝒂 прямая 𝒚 = 𝒂 не имеет с графиком функции общих точек.

Решение.

Построим график функции

y =

= −

−x2 − 6x − 5 x2 + 6x + 5

x2 + 8x + 15 x2 + 8x + 15

= −

(x + 1)(x + 5)

(x + 3)(x + 5)

1) 𝐷 𝑦 : 𝑥 ≠ −3;

𝑥 ≠ −5;

2

x2+8x+15

2) y = −x −6x−5 = −

x+3

x+5

x+1 x+5 = − x+1 = − x+3−2 =

x+3 x+3

= − 1 −

2

x+3

=

2

x+3

− 1

3) 𝑦 =

2

𝑥+3

− 1

В новой системе координат с началом в точке (−3; −1) построим гиперболу

𝑦 = 2

𝑥

Составим таблицу значений для графика функции 𝒚 = 𝟐

𝒙

в новой системе

координат

4) у = а – уравнение прямой, параллельной оси Ох

х	-8	-4	-2	-1	1 - 2	1 - 4	1 4	1 2	1	2	4	8
y	1 - 4	1 - 2	-1	-2	-4	-8	8	4	2	1	1 2	1 4

y

−5 −3

1

-1

y=a (a = -1) x

𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 + 𝟏𝟓

Ответ: при a = -2; a = -1 прямая не

имеет с графиком функции

𝑦 = −𝑥

2

−6𝑥−5

𝑥2+8𝑥+15

общих точек

y=a (a = -2)

y=a

−𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟓

y=a

Задания для самостоятельного решения

1. Постройте график функции y =

−2х2+17х−21

х2−5х−14

2

Найдите значения b, при которых прямая у = b не имеет с графиком данной функции общих точек Ответ: при b= -2; b= -19 2. Постройте график функции и определите, при каких значениях a прямая у=а не имеет с графиком ни одной общей точки

a) у =

4х2−17х+4

х2−4х

3

Ответ: при а = 4; а =34

b) у =

5х2+14х−3

х2+3х

1

Ответ: при а = 5; а = 53

Задача№5. Постройте график функции у= 𝟑х𝟐+𝟓х и определите, при

𝟑х+𝟓

каких значениях k прямая у= kх имеет с графиком ровно одну общую

точку

Решение.

Построим график функции

3х+5 3х+5

у =3х2+5х= х(3х+5)

1) D(у): х0; х - 5

3

2)

3х+5 3х+5 1

y= 3х2+5х= х(3х+5)= х

1

у = х (х0) – уравнение гиперболы

3) y=kx – уравнение прямой, проходящей через начало координат

х	-4	-2	-1	1 - 2	1 - 4	1 4	1 2	1	2	4
у	1 - 4	1 - 2	-1	-2	-4	4	2	1	1 2	1 4

4) Прямая y = kx имеет с данным графиком функции ровно одну общую точку, если она проходит через точку с

-1

−

5

3

3𝑥 + 5

𝑦 = 3𝑥2 + 5𝑥

y=kx

y=kx

y=kx (k =

9

25

)

абсциссой равной − 𝟓

𝟑

Найдем ординату этой точки:

5

𝑥 = − , 3

− 5

3

1 1

𝑦 = = = −

𝑥

3

5

5) Найдем угловой коэффициент

прямой, проходящей через точку

𝟑 𝟓

(− 𝟓 ; − 𝟑);

− 𝑘 = −

5 3

3 5

9

k = 25

Ответ: при k =

𝟗

𝟐𝟓

x

y

5

−

3

-1

Задания для самостоятельного решения

𝟗𝒙+𝟏

1. Постройте график функции и определите, при каких значениях k прямая у= kx

имеет с графиком ровно одну общую точку

a) у= 𝟗𝒙𝟐+𝒙

𝟔𝒙+𝟕

Ответ: при k = 81 b) у= 𝟔𝒙𝟐+𝟕𝒙

36

Ответ: при k = 49

Задача №6. Постройте график функции у= 𝑥 𝑥 + 1 − 5𝑥 и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение:

1. Построим график функции у= х (х+1)-5х D(y)=R

Т.к функция содержит один знак модуля, то раскроем знак модуля по

определению, получим:

−х х + 1 − 5х, если х < 0,

y = х х + 1 − 5х, если х ≥ 0;

−х2 − х − 5х, если х < 0,

y = х2 + х − 5х, если х ≥ 0;

−х2 − 6х, если х < 0,

y = х2 − 4х , если х ≥ 0.

1) у = −𝑥2 −6𝑥, 𝑥 < 0

𝑏 6

𝑥0= − 2𝑎 ; 𝑥0 = −2

; 𝑥0 = −3

у0 = у −3

= −9 + 6 ∙ 3 = 9

(-3;9) - вершина параболы у = −𝑥2 −6𝑥

2) у = 𝑥2 − 4𝑥, 𝑥 ≥ 0

𝑏 4

𝑥0 = 2

𝑥0= − 2𝑎 ; у0 = У 2

𝑥0= 2 ;

= 4 − 8 = −4

(2;-4) - вершина параболы 𝑦 = х2 − 4𝑥

2. 𝒚 = m - уравнение прямой, параллельной оси Оx

y=m (m = 9)

y=m

y=m

y=m (m = -4)

y=m

y

x

Ответ: при m = - 4; m = 9

у= 𝑥

𝑥 + 1 − 5х

Задания для самостоятельного решения

• Постройте график функции и определите, при каком значении m
прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки a) y=|x|(x+1)-6x Ответ: при m = -6,25; m = 12,25 b) y=|x|x -|x|- 6x Ответ: при m = -12,25; m = 6,25
• Постройте график функции y=x2 - 8x - 4|x - 3|+15
и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки Ответ: при m=-1, m=0

Задача №7. Построить график функции y =

4 𝑥 −1

𝑥 −4𝑥2

и определите, при каких значениях k прямая y =k𝑥 не имеет с графиком общих точек

Решение. y =

4 𝑥 −1 4 𝑥 −1

𝑥 −4𝑥2 𝑥 −4 𝑥 2

= , т.к 𝑥2 = 𝑥 2

1. D(y): 𝑥 − 4 𝑥 2 ≠ 0

𝑥 ≠ 0

𝑥 1 − 4 𝑥 = 0

𝑥 ≠ 0 или 1 − 4 𝑥 ≠ 0

≠ 1

4 𝑥

𝑥

≠ 1

4

1

𝑥 ≠ ± 4

2.

4 𝑥 −1

y= 𝑥 −4 𝑥 2 =

4 𝑥 −1

𝑥 1−4 𝑥

1

=−

𝑥

y=− 1

𝑥

𝑥

1) y= − 1 (𝑥 ≠ 0)- уравнение гиперболы

2) Для того чтобы построить график функции

𝑥

у = − 1 ,

необходимо точки, лежащие на оси Oу, и часть графика, лежащего правее на оси Оу, оставить без изменения, левую часть графика стереть. Для правой части графика построить симметричную относительно оси Оу.

3. y=kx – уравнение прямой, проходящей через начало координат.

х	-4	-2	-1	- 1 2	- 1 4	1 4	1 2	1	2	4
y	1 4	1 2	1	2	4	-4	-2	-1	1 - 2	1 - 4

4. Прямая y=kx не имеет с графиком функции общих точек, если она

4 4

проходит через точки с абсциссами − 1 и 1 . А так же когда совпадает

с осью Ox, в этом случае k=0.

5. Найдем ординаты этих точек:

4

х= − 1; y = −

1

− 1

4

=−4

1

1

; y = − = −4

х= 4 1

4

6.Найдите угловой

коэффициент

прямой y=kx

проходящий через

4

точки − 1 ; −4

4

и 1 ; −4

− 1k = − 4

4

1 k = −4

4

k = 16

k = − 16

Ответ: при k = -16; k = 0; k = 16

1

− 4

4

-4

y=

4 𝑥 −1

𝑥 −4𝑥2

y=k𝑥 (k=0)

y = k𝑥

y = k𝑥 (k = -16)

y = k𝑥 (k = 16)

1 1

-1

y

x

Задания для самостоятельного решения

1. Постройте график функции 𝑦 =

1,5 𝑥 −1

𝑥 −1,5𝑥2

и определите, при каких

значениях k прямая y=kx не имеет с графиком общих точек

Ответ: при k = - 2,25; k = 0; k = 2,25

2. Постройте график функции 𝑦 =

2,5 𝑥 −1

𝑥 −2,5𝑥2

и определите, при каких

значениях k прямая y=kx не имеет с графиком общих точек

Ответ: при k = - 6,25; k = 0; k = 6,25