Ученики на Учителя.com


Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми на примере одной задачи

НАХОЖДЕНИЕ РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ
НА ПРИМЕРЕ ОДНОЙ ЗАДАЧИ
Топчий Е. А.
учитель математики,
МАОУ «Лицей №29», г. Тамбов
Вспомним теоретический материал.
Чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми надо построить их общий
перпендикуляр. Его длина и будет являться искомым расстоянием.
Для этого поместим одну из скрещивающихся прямых в плоскость, параллельную
другой прямой, и будем искать расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью.
От произвольной точки А, принадлежащей прямой а, опустим перпендикуляр АВ на
плоскость .
Из точки В проведём в плоскости прямую, параллельную прямой а.
а || CB, CB b = C.
Проведём CD || AB. Получим, что CD a и CD b, т.к. CD .
CD – общий перпендикуляр между скрещивающимися прямыми.
⊥
⊥
⊥
ЗАДАЧА
«ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
– куб, ребро куба – а.
Найдите: а) расстояние между прямыми В
1
С и AD;
б) расстояние между прямыми В
1
С и DС;
в) расстояние между прямыми В
1
С и AВ;
г) расстояние между прямыми В
1
С и DС
1
».
Решение:
а) AD AA
1
D
1
D, AA
1
D
1
D || B
1
C, т.к. B
1
C || A
1
D
(признак параллельности прямой и плоскости).
СD AA
1
D
1
D и СD ВВ
1
С
1
С, СD – общий
перпендикуляр между скрещивающимися прямыми
В
1
С и AD.
d(В
1
С; AD) = CD = a.
б) В
1
С DC d(В
1
С; DC) =0
в) АВ ВВ
1
С
1
С
Дополнительное построение: ВС
1
, ВС
1
В
1
С, т.к.
ВВ
1
С
1
С – квадрат, В
1
С ВС
1
= О.
d(B
1
C ; AB) = BO = .
г) DC
1
(DA
1
C
1
). Т.к. A
1
D || B
1
C B
1
C || (DA
1
C
1
).
Если нет возможности построить общий перпендикуляр
между скрещивающимися прямыми, искомое расстояние
можно найти как длину перпендикуляра, опущенного от
одной из скрещивающихся прямых до параллельной ей
плоскости, в которой лежит другая прямая.
(DA
1
C
1
) BB
1
D
1
D, т.к. A
1
C
1
B
1
D
1
(диагонали квадрата),
A
1
C
1
DD
1
(DD
1
A
1
B
1
C
1
D
1
)
Значит, если опустить из точки В
1
перпендикуляр на плоскость
(DA
1
C
1
), его основание будет лежать на прямой DO
1
.
B
1
H DO
1
d(B
1
C ; DC
1
) = B
1
H.
B
1
HO
1
подобен O
1
D
1
D (по углам)
⊥
⊥
⊥
⊥
2
2a
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
(1)
(1):
.
Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми векторным методом
Т. к. при нахождении расстояния между скрещивающимися прямыми речь идёт об
общем перпендикуляре, вспомним условие перпендикулярности векторов:
Предположим, что МК – общий перпендикуляр между прямыми В
1
С и DC
1
,
тогда .
Используя условие перпендикулярности векторов, можно составить систему:
Также нам известна теорема: «Любой вектор пространства можно единственным образом
разложить по двум данным некомпланарным векторам».
Введём базис и будем раскладывать по нему векторы.
Базисные векторы: .
Получим:
a
a
a
a
DDDODOaDD
a
OB
2
3
2
3
2
,,
2
2
2
2
2
2
1
2
111111
==+=+===
DO
DDOB
HB
1
111
1
=
3
3
332
22
1
aa
a
aa
HB ==
=
0=⊥ baba
11
DCМКиСВМК ⊥⊥
=
=
.0
,0
1
1
DCМК
СВМК
ADABAA ;;
1
11111
11111
1
111111
DCyADCBxKCCDMBMK
AAADCCCBCB
ABAA
ADABAAADCBBAAADADC
++=++=
−=+=
+=
=+++−=+++=
0
1
=DCMK
0),2())((
)(
1
2
1
2
111
11111111
=++++−=
=++=++
DCADABABAAAAyABAAAAADx
DCDCyDCADDCCBxDCDCyADCBx
2222
22
1
2
111
22)000(
)()(
yaxayaax
aayABAAAAABADAAADxDCMK
+−=+−−+=
=++−−+=
02 =+− yx
Получим систему:
(все удвоенные произведения будут равны нулю, т.к.
векторы попарно перпендикулярны)
0
1
= CBMK
012 =−+ yx
=−+
=+−
012
,02
yx
yx
+=
=+−
12
,02
xy
yx
−=
−=
3
1
,
3
2
y
x
ABAAADDCADCBMK
3
1
3
1
3
1
3
1
3
2
111
−+=−+−=
22
1
22
9
1
9
1
9
1
ABAAADMK ++=
3
3a
MK =
222
2222
1111
2
111111
2
2
2
2
2
2
2245cos200135cos245cos2
))((
yaaxa
yaaxaayaaaxaaxa
AADCyADDCyAAADADAACBxADCBxAAADDCyADCBx
−+=
=−+=−+−+−=
=−+−+−=−++
Координатный метод
При решении стереометрических задач часто применяется координатный метод, чтобы
не использовать дополнительные построения, а работать по алгоритму.
С помощью координат векторов можно находить:
а) угол между прямыми
, где и - векторы,
лежащие на данных прямых
б) уравнение плоскости
Уравнение плоскости можно составить, если даны три точки, не лежащие на одной
прямой и принадлежащие плоскости. Координаты этих точек подставляют в уравнение
плоскости и решают систему.
А также можно составить уравнение плоскости, используя условие компланарности
векторов и смешанное произведение векторов: «если три вектора компланарны, их
смешанное произведение равно нулю».
Пусть даны три точки:
и точка - произвольная точка плоскости.
Составим определитель:
в) угол между плоскостями
Чтобы найти угол между плоскостями, работают с векторами нормали данных
плоскостей.
Пусть
- векторы нормали данных плоскостей
г) угол между прямой и плоскостью
( )
( )
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
|;cos|;cos
zyxzyx
zzyyxx
CDABba
++++
++
==
AB
CD
0=+++ dczbyax
);;(),;;(),;;(
333222111
zyxCzyxBzyxA
);;( zyxD
111232323121212
;;,;;,;; zzyyxxADzzyyxxBCzzyyxxAB −−−−−−−−−
( )
0:
232323
121212
111
=
−−−
−−−
−−−
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
ABC
0:
111
=+++ dzcybxa
0:
222
=+++ dzcybxa
22221111
;;,;; cbancban
( )
( )
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
21
|;cos|;cos
cbacba
ccbbaa
nn
++++
++
==
, где - вектор нормали, - вектор,
лежащий на прямой
д) расстояние от точки до плоскости
е) расстояние между скрещивающимися прямыми
Если выбрать в пространстве произвольную точку и провести через неё прямые
параллельные данным скрещивающимся, то получившиеся пересекающиеся прямые
будут определять плоскость, параллельную каждой из скрещивающихся прямых.
Теперь можно вычислить расстояние как от одной из этих прямых (а, точнее, от точки на
ней лежащей) до полученной плоскости.
Т. е. воспользоваться формулой из предыдущего пункта.
Решим задачу:
«ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
– куб, ребро куба – а.
Найдите: расстояние между прямыми В
1
С и DС
1
».
Решение:
Введём систему координат:
AA
1
– OZ; AD – OX; AB – OY
Тогда D(a; 0; 0), C
1
(a; a; a), B
1
(0; a; a), C(a; a; 0)
Зададим некоторую плоскость с помощью данных векторов:
( )
( )
222
222
|;sin|;cos
lll
lll
zyxcba
czbyax
ABnl
++++
++
==
n
AB
222
);(
cba
dczbyax
Md
MMM
++
+++
=
aaCBaaDC − ;0;,;;0
11
0
0
0: =
−
−
aa
aa
zyax
1;1;1
0
0
000)(
2232
222
−
=−+−
=−++−
=−−++−−
n
azyx
zayaaxa
zayaaxa
3
3
3111
0
);(
222
1
111
aa
aaa
cba
dczbyax
Bd
BBB
==
++
−+−
=
++
+++
=
Нахождение расстояния между скрещивающимися рёбрами тетраэдра
Опишем около тетраэдра параллелепипед так,
чтобы каждое ребро лежало в плоскости,
параллельной противоположному ребру
тетраэдра.
Тогда объём тетраэдра будет равен объёма
параллелепипеда.
А высота параллелепипеда будет численно
равна расстоянию между скрещивающимися
рёбрами тетраэдра.
Решим задачу:
«ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
– куб, ребро куба – а.
Найдите: расстояние между прямыми В
1
С и DС
1
».
Решение:
Введём систему координат:
AA
1
– OZ; AD – OX; AB – OY
Тогда D(a; 0; 0), C
1
(a; a; a),
B
1
(0; a; a), C(a; a; 0)
3
1
нимимеждуугол
тетраэдрарёбрамимсяскрещивающравныbaгдеhabhSV
оснпар
−
−==
,,,sin
2
1
sin
6
sin
6
1
ab
V
h
habV
тетр
тетр
=
=
aaCBaaDC − ;0;,;;0
11
( )
);(
3
3
3
2
3
22
6
6
2
3
sin
2
1
22
00
|;cos|cos
623
1
3
1
11
3
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
11
32
1
1
DCCBd
aa
aa
a
h
aa
aaa
zyxzyx
zzyyxx
DCCB
a
a
a
CBSV
DCCтетр
===
=
==
++
=
++++
++
==
===
Скачать материал

Математика - еще материалы к урокам: