Конспект урока "Вычисление углов между скрещивающимися прямыми" 11 класс
Конспект урока по математике
для учащихся 11 класса
«Вычисление углов между
скрещивающимися прямыми»
(Подготовка к ЕГЭ)
Автор:
Учитель математики МОУ «СОШ № 55»
Ленинского района города Саратова
ПЕТРОВА Людмила Дмитриевна
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.
Урок одной задачи по тему:
«Угол между скрещивающимися прямыми».
I. Характеристика темы урока.
1) Центральным моментом технологии подготовки к
ЕГЭ является обучение школьника приёмам
мысленного поиска способа решения, а для этого
следует показать ему всю картину поиска в трудных
заданиях.
2) Решение задачи по стереометрии, планиметрии
оформляются примерно одинаково. В основе лежат
общематематические и даже, можно сказать,
общенаучные принципы.
Структура текста решения такова: оно разделяется
на этапы, а те, в свою очередь, могут быть разбиты на
более мелкие части, содержащие цепочки
умозаключений: как правило, следствий, равенств и
даже неравенств, в зависимости от постановки и
содержания задачи.
3) Особая роль при решении геометрической задачи
отводится чертежу, он не обязательно должен быть
ровно один. Обычно на нём, в соответствии с
условием задачи отмечают следующие данные:
а) обозначения точек, прямых, плоскостей и других
геометрических объектов;
б) длины отрезков, величины углов, площади и
объёмы;
в) соотношения равенства длин или углов,
перпендикулярности прямых или плоскостей.
На чертеже можно ещё и вводить новые:
а) обозначения объектов – первоначальных или
возникающих в процессе дополнительных построений;
б) величины – буквенные или вычисленные в
процессе решения;
в) соотношения равенства или
перпендикулярности, определяемые построением или
выведенные с помощью рассуждений.
Одним словом, на чертеже фактически можно решать
задачу, или, по крайней мере, демонстрировать
фрагменты её решения.
4) В связи с возможностью решать задачу прямо на
чертеже возникают некоторые ограничения и
проблемы.
Ученику необходимо побеспокоится о том, чтобы
проверяющий смог понять, в каком порядке и на
основании чего появились на чертеже новые пометки.
С этой целью пишется текст решения, который хотя и
дублирует отчасти чертёж, тем не менее, отличается
большей содержательностью, т.к. в нём :
а) отражается хронология проведённых
умозаключений;
б) указываются причинно-следственные связи
между утверждениями.
Чертёж должен быть абсолютно ясным и
разборчивым, а главное, понятным.
Укажем типы задач по стереометрии, встречающиеся
на ЕГЭ и вызывающие определённые трудности.
1. Угол между скрещивающимися прямыми
2. Расстояние от точки до прямой, до плоскости,
расстояние между скрещивающимися прямыми.
3. Угол прямой с плоскостью.
4. Угол между плоскостями.
II. Цели урока.
1) Методическая цель урока.
Показать приёмы формирования у школьников
навыков решения задач на вычисление углов в
пространстве, умения применять изученный
теоретический материал на практике, развивать их
самостоятельность при решении задач разными
методами.
Методы:
А) использование моделей фигур и интерпретация
их на чертеже;
Б) отбор соответствующих задач, способствующих
формированию навыков и умений учащихся;
В) рассмотрение различных способов решения
одной задачи.
2) Образовательная цель урока.
Рассмотреть 3 метода решения одной задачи на
вычисление угла между скрещивающимися прямыми.
3) Воспитательные цели урока.
Формирование мировоззрения: показать, что
источник возникновения изучаемых понятий
представляет собой определённую систему знаний в
геометрии.
III. На доске девиз.
«Незнанием никогда не следует
хвалиться: незнание есть бессилие».
- Н. Г. Чернышевский.
Сегодня на уроке при решении одной задачи на
вычисление угла между скрещивающимися прямыми
мы рассмотрим 3 метода решения.
Методы:
1. Поэтапно-вычислительный
2. Векторно-координатный
3. Геометрический
Задача.
На ребрах АВ, АС и SC правильной треугольной
пирамиды SABC, у которой все плоские углы при
вершине S прямые, взяты соответственно точки D,
E, F – середины этих рёбер. Найти угол между
прямыми DF и SE.
Решение.
1. Поэтапно вычислительный метод.
1) Построение чертежа.
2) Угол между прямыми DF и SE – искомый. DF и
SE – скрещивающиеся прямые, т.к. SE лежит в
плоскости ASC, а прямая пересекает эту
плоскость в точке F, не лежащей на прямой SE.
3) Построим какой-нибудь угол, равный
искомому. Для этого в плоскости SAC, которая
проходит через прямую SE (одну из
скрещивающихся прямых) и точку F (на другой
скрещивающейся прямой), через т. F проведём
прямую FK||SE.
DFK равен искомому. Пусть DFK = .
4) Угол поместим в некоторый треугольник, для
чего проведём DK. - угол треугольника DFK.
5) Найдём стороны треугольника DFK.
а) введём вспомогательный параметр:
обозначим сторону основания через ;
б) треугольник ASC – прямоугольный
равнобедренный, SE – медиана; SE = AE =
.
FK – средняя линия треугольника SEC, FK =
.
в) Найдём DF из треугольника SDF.
Определим вид этого треугольника.
По условию BSA, BSC, ASC – прямые.
Следовательно,
SCSB SC (BSA)
SCSA по признаку.
Аналогично,
SD (BSA) SC SD по
SC (BSA) определению.
Следовательно, DSC – прямоугольный, и DSF
тоже прямоугольный.
г) SF =
SC =
(
) =
д) По теореме Пифагора DF =
=
=
=
=
=
.
DF =
.
e) По теореме косинусов:
DK
2
= AD
2
+ AK
2
– 2DA AK cosA = (
)
2
(
a)
2
– 2
cos60 =
+
-
+
.
DK =
=
.
6) Из :
cos =
=
= 0.
=90
2) Векторно – координатный метод.
Т.к. заданная пирамида правильная, то SA=SC=SB. По
условию все углы при вершине S прямые. Поэтому:
1) введём в пространстве прямоугольную систему
координат: начало – точка S; отрезки SB, SA, SC –
единичные отрезки соответствующих осей Sx, Sy, Sz.
2) Определим координаты точек S, A, B, C, D, E, F.
3)
{
;
},
{
}.
4) cos (= |cos(
,
)| =
=
= 0.
=90
3) Геометрический метод.
Т.к. отрезки SA, SB, SC равны между собой и попарно
перпендикулярны, то можно принять их за рёбра
куба, выходящие из одной вершины.
Построим этот куб и заданные точки D, E, F.
1) Соединим вершины P и С куба и проведём
диагональ SQ.
2) Нетрудно убедиться, что DF||PC (средняя линия
3) Угол между прямыми SE и DF равен углу между PC
и SQ.
4) АС – проекция прямой РС на плоскость ASC.
АСSQ (свойство диагоналей квадрата)
РСSQ (теорема о трёх перпендикулярах)
Следовательно, DFSQ и тогда DFSE, т.е. угол
равен 90.
4) Итог урока.
На примере одной задачи мы рассмотрели 3
различных метода решения. Можно сказать, что
эффективность каждого метода зависит конкретно
от предлагаемой задачи. Какой метод выбрать
зависит от вас, вашей математической подготовки и
опыта, т.е. количества решенных вами задач. Вы
убедились, какой большой теоретический материал
необходим для решения задачи.
Наш урок я хочу закончить словами:
«Считай несчастным тот день или тот час, в
который ты не усвоил ничего нового и ничего не
прибавил к своему образованию»
- Ян-Амос Каменский
5) Домашнее задание. Задачи на стенде.
1. В правильной пирамиде SABC отношение
бокового ребра к стороне основания равно 2:1. На
рёбрах АВ и АС взяты соответственно точки М и К –
середины этих рёбер. Найти угол между прямыми
SM и ВК.
2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
угол между прямыми B
1
D и CD
1
равен 90 и АВ:AD
= 1:2. Найти угол между прямыми АС и А
1
D.
3. На рёбрах ВВ
1
и С
1
D
1
куба ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
взяты
соответственно точки Р и Q такие, что ВР:ВВ
1
=2:3,
С
1
Q : C
1
D
1
= 1:4. Плоскость, проходящая через
точки A, P, Q, пересекает прямые DD
1
и B
1
C
1
соответственно в точках E и F. Найти угол между
прямыми EF и А
1
С.
4. В основании пирамиды лежит параллелограмм
ABCD, угол BAD которого равен 45, а отношение
сторон АВ:АD = 1:2. Грань SAB является
равносторонним треугольником, а её медиана SF
перпендикулярна плоскости основания. На ребре
SC взята точка М, такая что SМ:SC = 2:3. Найти угол
между прямыми SF и DM.
Геометрия - еще материалы к урокам:
- Презентация "Многогранники" 5 класс
- Презентация "Стереометрия. Аксиомы стереометрии"
- Презентация "Построение сечений многогранника" 10 класс
- Презентация "Геометрия архитектурной гармонии" 8 класс
- Методическая разработка урока "Объем цилиндра" 11 класс
- Конспект открытого урока "Второй признак равенства треугольников" 7 класс
