Презентация "Преобразования графиков тригонометрических функций y=sinx и y=cosx"

Преобразования графиков тригонометрических функций y=sinx и y=cosx Подготовила учитель математики I категории Н.В. Руцынская Пристальное, глубокое изучение природы есть источник самых плодотворных открытий математики. Жан Батист Жозеф Фурье

«Синус»

(от латинского sinus - «перегиб», которое, в свою очередь, происходит от арабского слова «джива» - «тетива лука»)

«Косинус»

(сокращение словосочетания complementi sinus - «синус дополнения»)

«Тангенс»

(от латинского tangens - «касательная», «касательная к окружности»)

x

y

1

-1

π

2

p

0

2

-p

-π

-2π

2

-3p

2

-5p

2π

2

5p

2

3p

2

p

y = sin(x+ )

p 3,14

Назовите функции, графики которых изображены на рисунке

y = sinx

y = = cosx

Свойства функции y=sin(x)

x

y

1

-1

Свойства функции y=cos(x)

x

y

1

-1

Виды преобразований графиков функций y = sinx и y = cosx:

• Параллельный перенос вдоль оси Oy;
• Параллельный перенос вдоль оси Ox;
• Растяжение (сжатие) в k раз вдоль оси Oy;
• Растяжение (сжатие) в k раз вдоль оси Ox;
• Пример построения графика сложной функции.

1. Параллельный перенос вдоль оси Oy Для построения графика функции y=f(x)+b, где b - const надо:

• если b0, то перенести график функции y=f(x) параллельно на b отрезков вверх вдоль оси Oy;
• если b0, то перенести график функции y=f(x) параллельно на b отрезков вниз вдоль оси Oy.

y

x

0

y=f(x)+b

b<0

b>0

y=f(x)

x

y

1

-1

π

2

p

0

2

-p

-π

-2π

2

-3p

2

-5p

2π

2

5p

2

3p

Построить график функций:

2

1

1,5

y=cosx

y=f(x)+b

2. Параллельный перенос вдоль оси Ox Для построения графика функции y=f(x-a) надо:

• если a0, то перенести график функции y=f(x) вправо на а отрезков вдоль оси Ox;
• если a0, то перенести график функции y=f(x) влево на а отрезков вдоль оси Ox.

y

x

0

y=f(x - а)

а0

а0

y=f(x)

x

y

1

-1

π

2

p

0

2

-p

-π

-2π

2

-3p

2

-5p

2π

2

5p

2

3p

Построить график функции:

p - три клетки

2)

1)

3)

2

p

1

y=f(x-a)

Построить графики функций:

p - три клетки

x

y

1

-1

π

2

p

0

2

-p

-π

-2π

2

-3p

2

-5p

2π

2

5p

2

3p

x

y

cos

=

3

p

6

5p

Назовите функции, графики которых изображены на рисунке:

x

π

2

p

0

2

-p

-π

-2π

2

-3p

2

-5p

2π

2

5p

2

3p

-4

y

2

3

4

-2

-3

1

-1

4

p

)

sin(

+

=

x

y

x

y

sin

=

3. Растяжение (сжатие) в k раз вдоль оси Oy Для построения графика функции y=kf(x) надо:

• если k0, то растянуть график функции y=f(x) в k раз вдоль оси Oy;
• если 0k1, то сжать график функции y=f(x) в k раз вдоль оси Oy.

I I I I I I I

O

x

y

-1

1

1,5cos x

=

y

I I I I I I I

O

x

y

-1

1

x

y

cos

2

1

=

I I I I I I I

O

x

y

-1

1

2cos x

=

y

3,5cos x

=

y

y=cos x

I I I I I I I

O

x

y

-1

1

2cos x

=

y

0,5cos x

=

y

4. Растяжение (сжатие) в k раз вдоль оси Ox Для построения графика функции y=f(x/k) надо подвергнуть график функции f растяжению с коэффициентом k вдоль оси Ox.

I I I I I I I

O

x

y

-1

1

cos 2x

=

y

I I I I I I I

O

x

y

-1

1

cos 4x

=

y

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции y = cosx:

а) на отрезке

x

y

1

-1

π

2

p

0

2

-p

2π

2

3p

p - шесть клеток

yнаиб.

yнаим.

Ответ.

6

p

Назовите функции, графики которых

изображены на рисунке:

x

π

2

p

0

2

-p

-π

-2π

2

-3p

2

-5p

2π

2

5p

2

3p

-4

y

2

3

4

-2

-3

1

-1

+2

y=cosx+2

y=cos x

Назовите функции, графики которых изображены на рисунке:

x

π

2

p

0

2

-p

-π

-2π

2

-3p

2

-5p

2π

2

5p

2

3p

-4

y

2

3

4

-2

-3

1

-1

3

2p

)+3

cos(

+

=

x

y

x

y

cos

=

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции y = cosx:

а) на отрезке

в) на луче

x

y

1

-1

π

2

p

0

2

-p

2π

2

3p

p - шесть клеток

3

p

3

3p

3

2p

yнаиб.

yнаим.

3

2p

Ответ.

6

p

6

p

Практическая работа

• Задания выполняются в программе Trigon;
• Максимальная оценка 5 баллов.

Постройте график функции и определите D(f), E(f) и T:

1. у =7cos х

1) (-∞; ∞) 2) [ 0; 7]

3) [-1; 1] 4) [-7; 7]

1. у = - 4cos x

1) [-1; 1] 2) [ -4; 0]

3) [-4; 4] 4) (-∞; ∞)

2. y = 9sin х

1) [-1; 1] 2) [ 8;10]

3) [-9; 9] 4) [0; 9]

2. у =cos 2x

1) [-1/2; 1/2] 2) [ 0; 2]

3) [-2; 2] 4) [-1; 1]

3. y = 7sin2 x

1) [-7; 7] 2) (-∞; ∞)

3) [-3,5; 3,5] 4) [- 2/7; 2/7]

3. y = sin x – 2

1) [ -3; -1] 2) (-∞; ∞)

3) [-1; 1] 4) [-3; 0]

4. y = 3sin x/2 – 4

1) [-1,5; 1,5] 2) [ -3; 3]

3) (-3; 3) 4) [-1; 1]

4. y = - 1/5sin 2x

1) [-1; 1] 2) [ -2/5; 2/5]

3) [-1/5; 1/5] 4) (-1; 1)

5. у = cos x + 3

1) [ 0; 4] 2) [-1; 1]

3) [ 2; 4] 4) [0; 3]

5. y = 3sin x +2

1) [ -3; 5] 2) [2; 5]

3) [ -1; 5] 4) [-3; 3]

1 вариант

2 вариант

Проверьте результат:

1. у =7cos х

1) (-∞; ∞) 2) [ 0; 7]

3) [-1; 1] 4) [-7; 7]

1. у = - 4cos x

1) [-1; 1] 2) [ -4; 0]

3) [-4; 4] 4) (-∞; ∞)

2. y = 9sin х

1) [-1; 1] 2) [ 8;10]

3) [-9; 9] 4) [0; 9]

2. у = cos 2x

1) [-1/2; 1/2] 2) [ 0; 2]

3) [-2; 2] 4) [-1; 1]

3. y = 7sin2 x

1) [-7; 7] 2) (-∞; ∞)

3) [-3,5; 3,5] 4) [- 2/7; 2/7]

3. y = sin x – 2

1) [ -3; -1] 2) (-∞; ∞)

3) [-1; 1] 4) [-3; 0]

4. y = 3sin x/2 – 4

1) [-1,5; 1,5] 2) [ -3; 3]

3) (-3; 3) 4) [-7; -1]

4. y = - 1/5sin 2x

1) [-1; 1] 2) [ -2/5; 2/5]

3) [-1/5; 1/5] 4) (-1; 1)

5. у = cos x + 3

1) [ 0; 4] 2) [-1; 1]

3) [ 2; 4] 4) [0; 3]

5. y = 3sin x +2

1) [ -3; 5] 2) [2; 5]

3) [ -1; 5] 4) [-3; 3]

1 вариант

2 вариант