Презентация "Преобразования графиков функций"
Подписи к слайдам:
Преобразования графиков функций
- Цель презентации: дать теоретическое обоснование и практический прием выполнения основных преобразований графиков функций
- y = f(x)+a
- y = f(x+a)
- y = - f(x)
- y = f(-x)
- y = |f(x)|
- y = f(|x|)
- y = аf(x)
- y = f(аx)
- комбинации преобразований
- Примечание: После рассмотрения каждого из выделенных видов
- преобразований Вы можете вернуться на этой слайд,
- воспользовавшись гиперссылкой «Возврат».
- Заметим, что в уравнении функции y = f(x)+a «а»- слагаемое при f(x).
- Значит: при одном значении аргумента значение функции y = f(x)+a отличается от значения функции y= f(x) на «а», то есть:
- Если а>0, то значение функции y = f(x)+a больше значения функции y = f(x) на «a».
- Если а<0, то значение функции y = f(x)+a меньше значения функции y = f(x) на «|a|».
- Взаимное расположение графиков в выделенных случаях проиллюстрировано на Рис.1.
- Преобразование y=f(x)+a
- Практический прием построения графика функции y = f(x)+a преобразованием графика функции y = f(x):
- Чтобы построить график функции y = f(x)+a , можно график функции y = f(x) подвергнуть параллельному переносу на |a| единиц
- вверх, если а>0,
- вниз, если а<0.
- y = f(x)
- y = f(x)+a (а>0)
- y = f(x)+a (а<0)
- У
- О
- Х
- Возврат
- Элементы самоконтроля (правильности построения графика):
- Аналитическим путем
- найти область определения функции и сопоставить с соответствующим свойством графика;
- найти множество значений функции и сопоставить с соответствующим свойством графика;
- найти корни функции и сравнить их с абсциссами (абсциссой) точек пересечения графика с осью абсцисс;
- найти ординату точки пересечения графика функции с осью ординат и сравнить с соответствующей характеристикой точки графика
- Замечание:
- если график основной функции y = f(x) имеет асимптоты, то и результатирующий график, полученный в результате преобразования (композиции преобразований) также имеет асимптоты.
- Преобразование y=f(x+a)
- 1. Сравнивая уравнения функций y = f(x) и y = f(x+a), заметим, что «a» - слагаемое при аргументе.
- 2. Чтобы установить взаимное расположение графиков выделенных функций, выясним взаимосвязь аргументов этих функций при равных значениях функций.
- 3. Пусть (х0,y0) – координаты точки графика y=f(x), а (х1,y0) – координаты соответствующей точки графика функции y=f(x+а).
- То есть верны равенства: y0= f(х0), y0= f(х1 +а).
- Отсюда верно равенство: х0= х1 +а
- или х1 = х0- а
- Последнее равенство говорит о том, что:
- # если а0, то х1х0 на «а»,
- # если а 0, то х1х0 на «а».
- Полученные выводы дают обоснование взаимному расположению графиков функций y=f(x) и y=f(x+a):
- если а0, то для получения графика функции y=f(x+a) можно график функции y=f(x) «сдвинуть» на «а» влево;
- если а 0, то для получения графика функции y=f(x+a) можно график функции y=f(x) «сдвинуть» на «а» вправо (движение вдоль оси абсцисс).
- У
- О
- Х
- а
- а
- y=f(x)
- y=f(x+a)
- y=f(x+a)
- Преобразование y=-f(x)
- Уравнение функции y = - f(x) можно привести к виду y = (-1)f(x).
- Не трудно заметить, что при одном значении аргумента значение функции y = - f(x) противоположно значению функции y= f(x).
- Это означает, что если точка с координатами (х0,y0) – точка графика y=f(x), то точка с координатами (х0,- y0) – точка графика y= - f(x).
- По свойству взаимного расположения точек координатной плоскости: точки с равными абсциссами и противоположными ординатами симметричны относительно оси абсцисс.
- Вывод: График функции y = - f(x) можно получить из графика функции y = f(x), выполнив преобразование «осевая симметрия относительно оси абсцисс».
- Взаимное расположение графиков продемонстрировано на Рис.3
- У
- О
- Х
- При выполнении симметрии относительно оси абсцисс целесообразно помнить:
- отрезки переходят в равные отрезки, прямые – в прямые, кривые – в равные им кривые;
- характеристические точки основного графика переходят в симметричные им точки относительно оси абсцисс;
- точки пересечения основного графика с осью абсцисс отображаются на себя (остаются на месте)
- если мысленно перегнуть плоскость по оси абсцисс, графики функций «наложатся» друг на друга
- y = f(x)
- y = - f(x)
- Преобразование y=f(-x)
- 1. Чтобы установить взаимное расположение графиков выделенных функций, выясним взаимосвязь аргументов этих функций при равных значениях функций.
- 2. Сравнивая уравнения функций y = f(- x) и y = f(x), заметим, что аргументы противоположны.
- 3. Пусть (х0,y0) – координаты точки графика y=f(x), а (х1,y0) – координаты соответствующей точки графика функции y=f(- x).
- То есть верны равенства: y0=f(х0), y0=f(х1). Отсюда верно равенство: х0= - х1 или х1 = - х0
- Вывод: Если аргументы функций противоположны, то значения функций равны.
- Геометрической интерпретацией полученного вывода является утверждение: если точка с координатами (х0,y0) – точка графика y=f(x), то точка с координатами (- х0, y0) – точка графика y= f(- x).
- По свойству взаимного расположения точек координатной плоскости: точки с противоположными абсциссами и равными ординатами симметричны относительно оси ординат.
- Вывод: График функции y = f(- x) можно получить из графика функции y = f(x), выполнив преобразование «осевая симметрия относительно оси ординат».
- Взаимное расположение графиков продемонстрировано на Рис.4
- У
- О
- Х
- При выполнении симметрии относительно оси ординат целесообразно помнить:
- отрезки переходят в равные отрезки, прямые – в прямые, кривые – в равные им кривые;
- характеристические точки основного графика переходят в симметричные им точки относительно оси ординат;
- точка пересечения основного графика с осью ординат отображается на себя (остается на месте)
- если мысленно перегнуть плоскость по оси ординат, графики функций «наложатся» друг на друга
- y=f(x)
- y=f(-x)
- Преобразование y=|f(x)|
- Значит, для построения графика функции y=|f(x)|, можно в одной системе координат построить графики функций y=f(x) (основной график) и y=- f(x) (симметрия основного графика относительно оси абсцисс).
- Графиком функции y=|f(x)| будет объединение множеств точек:
- графика функции y=f(x) на том множестве области определения, на котором f(x) 0,
- графика функции y=- f(x) на том множестве области определения, на котором f(x)<0.
- Этапы построения графиков выделены на Рис.5-6.
- Уравнение функции y=|f(x)| можно записать в виде:
- y=
- f(x), если f(x) 0
- - f(x), если f(x) <0
- y=f(x)
- y=- f(x)
- Результатирующий график y=|f(x)|
- Практический прием: Для построения графика функции y=|f(x)| преобразованием графика y=f(x) можно:
- множество точек графика y=f(x), расположенных в верхней полуплоскости, оставить на месте,
- множество точек графика y=f(x), расположенных в нижней полуплоскости, отобразить в верхнюю полуплоскость преобразованием «осевая симметрия» относительно оси абсцисс.
- У
- О
- Х
- У
- О
- Х
- Преобразование y=f(|x|)
- Уравнение функции y=f(|x|) можно записать в виде:
- y=
- f(x), если x 0
- f(-x), если x < 0
- Значит, для построения графика функции y=f(|x|) можно в одной системе координат построить графики функций y=f(x) (основной график) и y=f(-x) (симметрия основного графика относительно оси ординат).
- Графиком функции y=f(|x|) будет объединение множеств точек:
- графика функции y=f(x) на том множестве области определения, на котором x 0,
- графика функции y= f(-x) на том множестве области определения, на котором x <0.
- Этапы построения графиков выделены на Рис.7-8.
- У
- О
- Х
- У
- О
- Х
- y=f(x)
- y= f(- x)
- Результатирующий график y=f(|x|)
- Практический прием: Для построения графика функции y=f(|x|) преобразованием графика y=f(x) можно:
- множество точек графика y=f(x), расположенных в правой полуплоскости, оставить на месте,
- множество точек графика y=f(x), расположенных в правой полуплоскости, отобразить в левую полуплоскость преобразованием «осевая симметрия» относительно оси ординат,
- Замечание: Множество точек основного графика y=f(x), расположенные в левой полуплоскости «исчезают».
- Преобразование у=af(x)
- Преобразование у=af(x) рассмотрим при а>0, выделяя случаи: 0<а<1 и а >1.
- Замечание: Если а<0, то график функции у=af(x) можно построить подвергнув график функции y=f(x) композиции преобразований y=-f(x) и у=af(x) при а>0.
- Заметим, что в уравнении функции y = аf(x) «а»- сомножитель при f(x).
- Значит: при одном значении аргумента модуль значения функции y = аf(x) равен произведению модуля значения функции y= f(x) и «а», то есть:
- Если 0<а<1 , то модуль значения функции y = аf(x) меньше модуля значения функции y = f(x).
- Если а >1, то модуль значения функции y = аf(x) больше модуля значения функции y = f(x).
- Дадим иллюстрацию взаимного расположения графиков в выделенных случаях при а=1/2 (Рис.9) и а=2 (Рис.10).
- У
- О
- Х
- У
- О
- Х
- y=f(x)
- y=f(x)
- y=1/2f(x)
- y= 2f(x)
- В этом случае говорят: произошло сжатие графика функции y=f(x) к оси абсцисс.
- В этом случае говорят: произошло растяжение графика функции y=f(x) от оси абсцисс.
- Заметьте, что во всех рассмотренных случаях точки оси абсцисс не изменили своего положения, то есть остались на месте.
- Преобразование y=f(ax)
- Преобразование у=f(аx) рассмотрим при а>0, выделяя случаи: 0<а<1 и а >1.
- Замечание: Если а<0, то график функции у=f(аx) можно построить подвергнув график функции y=f(x) композиции преобразований y=f(-x) и у=f(аx) при а>0.
- Чтобы установить взаимное расположение графиков выделенных функций, выясним взаимосвязь аргументов этих функций при равных значениях функций.
- Пусть (х0,y0) – координаты точки графика y=f(x), а (х1,y0) – координаты соответствующей точки графика функции y=f(аx).
- То есть верны равенства: y0=f(х0), y0=f(ах1). Отсюда верно равенство: х0=ах1 или х1 =1/а х0
- Последнее равенство позволяет сделать следующие выводы:
- 1. Если 0<а<1, то (1/а )>1, то есть |х1 | > | х0 | в (1/а) раз.
- Геометрическая интерпретация этого факта: соответствующие точки графиков функций y=f(x) и у=f(аx) имеют равные ординаты, а соотношение модулей их абсцисс равно (1/а), причем модуль абсциссы графика функции у=f(аx) в 1/а раз больше.
- Иллюстрацию этого случая рассмотрим на примере взаимного расположения графиков функций y=f(x) и у=f(1/2·x).
- У
- О
- Х
- y=f(x)
- у=f(1/2·x)
- В этом случае говорят: произошло растяжение графика функции y=f(x) от оси ординат.
- Заметьте, что точка оси ординат не изменила своего положения, то есть осталась на месте.
- 2. Если а>1, то (1/а ) <1, то есть |х1 | < | х0 | в (а) раз.
- Геометрическая интерпретация этого факта: соответствующие точки графиков функций y=f(x) и у=f(аx) имеют равные ординаты, а соотношение модулей их абсцисс равно (1/а), причем модуль абсциссы графика функции у=f(аx) в (а) раз меньше.
- Иллюстрацию этого случая рассмотрим на примере взаимного расположения графиков функций y=f(x) и у=f(2·x).
- y=f(x)
- у=f(2·x)
- В этом случае говорят: произошло сжатие графика функции y=f(x) к оси ординат.
- Заметьте, что точка оси ординат не изменила своего положения, то есть осталась на месте.
- У
- О
- Х
- Комбинации преобразований
- y=f(x) y=|f(x)| Преобразование y=f(|x|) y=f(|x|) у=af(x) Преобразование у=af(x) y=f(ax) Преобразование y=f(ax)
- У
- О
- Х
- У
- О
- Х
- У
- О
- Х
Математика - еще материалы к урокам:
- Интерактивный тренажёр "Таблица умножения четырёх" 2 класс
- Задание 6. Работа с таблицами, схемами, графиками, диаграммами, умение анализировать и интерпретировать данные
- Самостоятельная работа "Вынесение общего множителя за скобки" 7 класс
- План-конспект урока-проекта "Логические задачи" 7 класс
- Закрепление. Табличное умножение и деление 2 класс
- Конспект урока по математике в 4 классе "Повторение изученного - разряды и классы"