Ученики на Учителя.com


О подготовке учащихся к математическим олимпиадам

О подготовке учащихся к математическим олимпиадам
Сегодня, когда «линейка» официальных математических олимпиад (школьный –
муниципальный – региональный – заключительный этапы) начинается уже со 2 класса, с
проблемой подготовки школьников к ним сталкивается уже каждая школа и каждый
учитель математики. Лучшее, что при этом можно предпринять – это передать дело в руки
профессионалов, то есть отправить сильнейших школьников в городские или районные
олимпиадные кружки, а для остальных учащихся пригласить в школу человека, имеющего
опыт ведения подобных кружков. Однако такие возможности есть не везде, да и опытных
специалистов на всех не хватит. То, что я пишу ниже, как раз и предназначено не для
профессионалов, но для тех педагогов и представителей школьных администраций, кто
лишь приступает к организации математической олимпиадной работы в своём учебном
заведении и вынужденно учится на собственных ошибках.
Первое, что необходимо себе уяснить – математические олимпиады в корне отличаются
по своему контенту от всех остальных предметных олимпиад. Если другие олимпиады
опираются на изучаемый на уроках материал, продолжают, углубляют и развивают его, то
математические олимпиады лишь учитывают его, не более; при этом значительная доля
задач совершенно не связана не только со школьным, но даже и с университетским
курсом математики, я бы даже сказал, перпендикулярна вектору изучения математики в
школах и вузах. Это не следует понимать так, будто я считаю математические олимпиады
по уровню заданий сложнее, чем прочие предметные (хотя порой бывает...). Нет, они
просто совсем другие, качественно иные. Так уж исторически сложилось. И чем старше
становится школьник и чем выше уровень олимпиады, тем дальше олимпиадные задачи от
тех, с которыми он сталкивается на уроках, причём не только по сложности (это как раз
нормально и естественно), но и по типу заданий и совокупности возможных методов
решения. Именно поэтому успехи на математических олимпиадах довольно слабо
коррелируют с успеваемостью по предмету (мне, например, известен случай, когда призёр
заключительного этапа Всероссийской математической олимпиады школьников имеет в 1
полугодии 11 класса 3 по математике – в физматлицее, конечно, не в обычной школе…).
Это может нравиться или не нравиться (я, например, не считаю сложившуюся ситуацию
нормальной, полагаю, что «олимпиадная» математика развивается в неправильном
направлении, о чём написал несколько статей), однако жить и работать приходится не в
идеальном, а в реальном мире.
Поэтому необходима специфическая подготовка к математическим олимпиадам на
кружках, и она ни в коем случае не должна сводиться к механическому нарешиванию или
разбору задач олимпиад прошлых лет (такой этап подготовки к олимпиадам тоже нужен,
но лишь на завершающей стадии подготовки к важной олимпиаде; да и вообще
ответственным школьникам можно передать банк таких заданий для самоподготовки,
лишь консультируя их по мере необходимости). Напротив, обучение на олимпиадном
кружке следует организовывать тематически, то есть блоками по 2-3 занятия изучать
специфические олимпиадные области математики, а также соответствующие приёмы и
методы. Это тем более важно, что, как отмечалось выше, «олимпиадная» математика
далеко отстоит от школьной, хаотичное же решение даже большого количества не
сгруппированных по темам задач различных олимпиад не приведёт к формированию
системного мышления, и КПД подобных занятий чрезвычайно низок. Конечно, не следует
посвящать изучению даже очень обширной области более 3 занятий подряд, иначе
школьникам попросту становится скучно, что плохо для педагогического процесса
вообще, а для нашего смертельно опасно. Лучше после некоторой паузы вернуться к ранее
изученной теме, чтобы выполнять более сложные задания, углубить и расширить свои
знания… да и пользу повторения никто ещё не оспаривал.
Саму работу кружка следует организовать таким образом, чтобы основную часть времени
учащиеся решали задачи, объединяясь по собственному желанию в небольшие (по 2-3
человека) группы или работая индивидуально (причём для сильных школьников второй
вариант предпочтительнее, ибо олимпиады по большей части носят «персональный», а не
командный характер… впрочем, жёстко бороться с групповой работой на кружке тоже не
следует). Представляется эффективной такая организация работы, когда вначале
преподаватель излагает теоретический материал, отвечает на вопросы, затем раздаёт
участникам кружка блок тематических заданий и принимает решения порциями по 2-3
задания у каждого школьника отдельно, выделяя и комментируя ошибки, советуя что-то
при необходимости. В конце каждого занятия имеет смысл показать решения 2-3 задач,
которые не получились у значительной части школьников (здесь можно и их «заказы»
удовлетворить). Подобная схема построения занятия хорошо зарекомендовала себя на
практике.
Хочу подчеркнуть: обстановка на занятиях должна быть максимально демократичной,
толерантной и дружеской. Учитель-диктатор и на уроках-то невыносим, а вести
олимпиадный кружок в административно-командном стиле абсолютно недопустимо (и,
кстати, неэффективно… не волейболистов тренируем, в конце концов…).
Что же касается конкретной тематики кружковой работы, то в младшем звене (1-4 классы)
я бы советовал непременно заняться нижеследующим.
1. Текстовые задачи на составление уравнений.
2. Комбинаторно-арифметические задачи (например, такие: «как можно большим
количеством способов получить число 32, используя пять двоек, скобки и любые
арифметические действия» и т.п.).
3. Дешифровка арифметических примеров (в которых цифры заменены буквами или
звёздочками).
4. Простые геометрические задачи на развитие планиметрического и
пространственного воображения, комбинаторно-геометрических способностей (в
частности, задачи со спичками, на разрезание, на закрашивание, на расстановку
точек или рисование линий, удовлетворяющих определённым условиям).
5. Логические задачи, сложность которых от года к году должна возрастать. Решение
таких задач с помощью таблиц.
6. Взвешивание и переливание.
7. Составление несложных алгоритмов (задачи типа «река, двухместная лодка, волк,
коза и капуста»). Способы компактной записи алгоритма.
8. Задачи на чётность и нечётность, на чередование.
9. Простые математические игры и фокусы (в том числе, например, эксперименты с
лентой Мёбиуса).
10. Решение простых арифметических задач «на скорость».
11. Разнообразные задачи на внимание и сообразительность.
В этом возрасте у детей формируются арифметический аппарат, зачатки комбинаторного
мышления, логика, начальные способности к анализу и синтезу, и потому решение задач
вышеуказанных типов крайне важно для опережающего развития школьников, полного
раскрытия в будущем их творческого потенциала. Вообще в 1-4 классах крайне важно
именно заинтересовать детей, и потому на данном этапе должны работать не настоящие
олимпиадные кружки, а кружки занимательной математики, к преподаванию в которых
следует активно привлекать старшеклассников, выпускников; стоит также задействовать
участников кружков в различных личных и командных играх с использованием
математики («математические эстафеты», «математический КВН» и т.п.). В качестве
источников задач могу порекомендовать [1], [17] – [22] и, конечно, Интернет, полезность
активного использования которого в олимпиадной работе несомненна.
В среднем звене (5-7 классы) начинается формирование теоретического математического
мышления и, соответственно, «профессионализация» тех математиков-олимпиадников,
которые ставят перед собой значительные цели в данной области (как минимум, призовые
места на региональном уровне). Их необходимо «нагружать» более сложными задачами,
не теряя, конечно, при этом из виду остальных (в конце концов, ситуация успеха у
каждого своя, а интерес детей к внешкольной математике, конечно, следует всячески
поощрять, вне зависимости от занятых ими в итоге мест на олимпиадах). Начиная с
данного звена, функционируют полноценные олимпиадные кружки. В качестве
источников задач и вообще в качестве литературы, на которую можно опираться в работе,
могу посоветовать [3] – [8], [10], [22], [23], [25], [28] и особенно [9], [24], [27]. Кроме того,
считаю крайне важным проводить внутришкольные турниры математических боёв (либо
аналогичных соревнований, вроде «математического хоккея», «математической драки» и
т.п.; см. описание в [24] и в Интернете) в каждой параллели, начиная с 5 класса и завершая
11-ым (правила и задания тоже нетрудно найти в Сети; см. также [10], [16]). Полезно
участвовать в олимпиадах и математических турнирах, которые сегодня регулярно
проводятся во всех регионах и в большинстве крупных городов (на многие из этих
соревнований приглашают также и иногородних участников), в «Кенгуру», уровневых
олимпиадах школьников, в онлайн-олимпиадах Фоксфорда. В работе кружка я бы
советовал обратить внимание на следующие вопросы (разумеется, здесь и в дальнейшем
на более высокой ступени повторяются некоторые темы из рассмотренных ранее, но
изучаются новые аспекты и решаются более сложные задачи).
1. Чётность и нечётность, чередование.
2. Взвешивание и переливание.
3. Понятие системы и совокупности уравнений. Простейшие задачи на
составление систем и совокупностей уравнений (в 6 классе).
4. Решение сложных текстовых задач, в том числе на составление уравнений и
систем уравнений (последнее – в 6 классе).
5. Логические задачи, логические операции, кванторы существования и
всеобщности. Таблицы истинности. Обратные и противоположные теоремы.
6. Раскрашивание и разрезание.
7. Построение алгоритмов.
8. Принцип Дирихле (в 6 классе).
9. Математические игры (парные и прочие игры с нахождением стратегии
выигрыша, а также игры-шутки, в которых результат не зависит от действий
игроков).
10. Простые комбинаторные задачи на использование правила произведения и
правила суммы, а также размещений с повторениями и без, перестановок без
повторений, сочетаний без повторений (в 7 классе).
11. Простые геометрические задачи на доказательство (в частности, на
использование неравенства треугольника) и на построение (в 7 классе).
12. Задачи на сообразительность.
13. Делимость и остатки (в 7 классе).
14. Использование простейших свойств графов (не ранее 6 класса).
15. Простейшие минимаксные задачи (в 7 классе).
В старшем звене (8-11 классы) завершается формирование теоретического мышления,
способностей к анализу и синтезу, и школьники оказываются готовы к усвоению
«продвинутых» методов и приёмов, к решению достаточно сложных задач и даже тех
заданий, в которых требуется высокий уровень абстрактного мышления. Более того, у
многих начинается внутрипредметная специализация, появляются ярко выраженные
«геометры» и «алгебраисты» (подобному надо по возможности противостоять, нивелируя
преждевременную «однобокость» олимпиадников). Работа кружка может быть основана
на активном использовании таких источников, как [11] – [15], [24], [26], [27]; в качестве
дополнительной литературы могу порекомендовать [10], [23], [25] (последняя книга
содержит бессистемно собранные задания «на сообразительность», порой довольно
сложные; они могут быть использованы для тренировки эвристических способностей и в
качестве своеобразного развлечения в случае, если школьники заскучали, решая большое
количество задач по текущей теме). На данном этапе среди тем, изучаемых на кружке,
обязательно должны наличествовать нижеследующие.
1. Делимость и деление с остатком, сравнимость целых чисел по модулю,
решение диофантовых уравнений, некоторые важнейшие теоремы теории
целых чисел (малая теорема Ферма, китайская теорема об остатках и др.), их
использование при решении олимпиадных задач.
2. Метод математической индукции (не позднее 8 класса).
3. Сложные комбинаторные задачи с использованием всех 6 комбинаторных
единиц. Теорема о деревенских свадьбах и её применения при решении
олимпиадных задач.
4. Геометрические задачи на построение.
5. Геометрические задачи на доказательство.
6. Построение стратегий в математических играх.
7. Цветные и ориентированные графы, важнейшие теоремы о графах на разных
поверхностях (плоскость, сфера, тор). Эйлеровы графы и критерий
эйлеровости графа. Плоские графы.
8. Графическое решение уравнений и неравенств с 2 переменными.
9. Работа с функциями, решение функциональных уравнений и неравенств.
10. Инварианты.
11. Полуинварианты.
12. Минимаксные задачи.
Всё вышесказанное – это совокупность знаний, которыми необходимо снабдить
участников кружка соответствующей ступени, то, что обязательно должно
присутствовать. Разумеется, каждый руководитель кружка может и должен добавить к
этому что-то от себя. Следует помнить, что одна из важнейших целей обучения в
олимпиадных кружках – ускоренное развитие учащихся, и поэтому не стоит опасаться
опережать школьную программу на 1-2 года, а изучение принципиально нешкольного
материала (основ теории графов, многих аспектов комбинаторики и теории целых чисел и
т.п.) просто необходимо, без этих знаний на олимпиадах высокого уровня просто нечего
делать.
Ниже приведён список литературы, которая, безусловно, будет полезна руководителям
математических кружков. Часть этих изданий трудно найти в бумажном виде, но все они
(или практически все) есть в Сети.
Литература
1. Кордемский Б. А. Математическая смекалка. Лучшие логические задачи, головоломки
и упражнения. – АСТ, 2016.
2. Игнатьев Е. И. В царстве смекалки. – Римис, 2017.
3. Спивак А. В. Математический праздник. Библиотечка «Квант», вып. 88. – М.: Бюро
Квантум, 2004.
4. Гарднер М. Есть идея! – М.: Мир, 1982.
5. Смаллиан Р. Как же называется эта книга? – Издательский дом Мещерякова, 2007.
6. Смаллиан Р. Принцесса или тигр? – Издательский дом Мещерякова, 2009.
7. Смаллиан Р. Приключения Алисы в Стране Головоломок. – Просвещение, 2008.
8. Спивак А. В. Тысяча и одна задача по математике. 5-7 классы. Учебное пособие. –
Просвещение, 2019.
9. Спивак А. В. Математический кружок. 6-7 классы. – МЦНМО, 2019.
10. Спивак А. В. Математические турниры имени А. П. Савина. Библиотечка «Квант»,
вып. 93. – М.: Бюро Квантум, 2006.
11. Васильев Н. Б. и др. Заочные математические олимпиады. Библиотечка «Квант+»,
вып. 119. Приложение к журналу «Квант» №3/2011. – МЦНМО, 2012.
12. Под ред. Егорова А. А. Математический кружок. Геометрия. Выпуск 1. Приложение
к журналу «Квант» №1/1998.
13. Под ред. Егорова А. А. Математический кружок. Выпуск 2. Приложение к журналу
«Квант» №5/1998.
14. Под ред. Егорова А. А. Математический кружок. Выпуск 3. Приложение к журналу
«Квант» №3/1999.
15. Под ред. Егорова А. А. Математический кружок. Выпуск 4. Приложение к журналу
«Квант» №5/1999.
16. Зеличёнок А. Б. Математический бой как форма организации внеучебной
деятельности учащихся. – Казань: ГБУ «Республиканский центр мониторинга качества
образования» (редакционно-издательский отдел), 2013.
17. Деркач О. А., Быков В. В. 500 заданий на смекалку. – АСТ–ПРЕСС, 2006.
18. 365 логических игр и задач. – АСТ–Пресс, 2006.
19. 365 задач на смекалку. – АСТ–Пресс, 2007.
20. 365 задач для эрудитов. – АСТ–Пресс, 2007.
21. 365 весёлых игр и фокусов. – АСТ–Пресс, 2007.
22. Петраков И.С. Математические кружки в 8-10 классах. Книга для учителя. – М.:
Просвещение, 1987.
23. Балк М.Б., Балк Г.Д. Математика после уроков. Пособие для учителей. – М.:
Просвещение, 1971.
24. Генкин С.А. и др. Ленинградские математические кружки. – Киров, 1994.
25. Барр Ст. Россыпи головоломок. – М.: Мир, 1987.
26. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. - М.: Наука, 1991.
27. Муштари Д.Х. Подготовка к математическим олимпиадам. – Казань. Казанское
математическое общество, 2000.
28. Дразнин, И.Е. О применении обратных и противоположных теорем в курсе геометрии.
– Математика в школе – №6/1994.
Скачать материал

Математика - еще материалы к урокам: