Обратные тригонометрические функции

Обратные

тригонометрические

функции

sint = 0,5

sint = 0,3

При каких значениях t верно равенство?

,

t=?

Область определения функции — множество R всех действительных чисел.

Множество значений функции — отрезок [-1; 1], т.е. синус функция — ограниченная.

Функция нечетная: sin(−x)=−sin x для всех х ∈ R.

График функции симметричен относительно начала координат.

Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2π:

Функция у = sinx

Область определения функции — множество R всех действительных чисел.

Множество значений функции — отрезок [-1; 1], т.е. косинус функция — ограниченная.

Функция четная: cos(−x)=cos x для всех х ∈ R.

График функции симметричен относительно оси OY.

Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2π:

Функция у = cosx

0

Определение

arcsin t = a

arcsin(-x) = - arcsinx

Обратные тригонометрические функции

Определение

Арксинусом числа называется угол (число) из промежутка синус которого равен

Примеры:

Функция y = arcsinx - нечетная, т.к. arcsin(-x) = - arcsinx

у = arcsinx

х

1)Область определения: отрезок [-1; 1];

2)Область значений: отрезок

;

3)Функция у = arcsin x нечетная:

arcsin (-x) = - arcsin x;

4)Функция у = arcsin x монотонно возрастающая;

0

Определение

arccos t = a

arccos(-x) = - arccosx

Определение

Аркосинусом числа называется угол (число) из промежутка

косинус которого равен

Обратные тригонометрические функции

Примеры

Функция y = arccosx - общего вида, т.к. arccos(-x) = π - arccosx

у=arccos x

1

-1

0

1)Область определения: отрезок [-1; 1];

2)Область значений: отрезок

3)Функция у = arcсos x четная:

arcscos (-x) =

4)Функция у = arcсosx монотонно убывающая;

α	0				1
arcsinα	0	π/6	π/4	π/3	π/2
arccosα	π/2	π/3	π/4	π/6	0

Определение

arctg t = a

0

Обратные тригонометрические функции

Определение

Арктангенсом числа называется угол (число) из промежутка тангенс которого равен

Примеры:

Функция y = arctgx - нечетная, т.к. arctg(-x) = - arctgx

Функция у = arctg x

• D (f) = (- ∞; +∞).
• E (f) = ( ).
• Функция нечётная:
• Функция возрастает.
• Функция непрерывна.

x

0

y

Определение

arcctg t = a

0

Обратные тригонометрические функции

Определение

Арккосинусом числа называется угол (число) из промежутка

котангенс которого равен

Примеры:

Функция y = arctgx - нечетная, т.к. arctg(-x) = - arctgx

Функция у = arсctg x Функция у = arсctg x

• D (f) = (- ∞; +∞).
• E (f) = (0; π).
• Функция не является ни чётной, ни нечётной.
• Функция убывает.
• Функция непрерывна.

y

x

0

Функция y = arctgx

Функция y = arcctgx

α	0		1
arctgα	0	π/6	π/4	π/3
arcctgα	π/2	π/3	π/4	π/6

Работаем устно

arcsin(-x) = - arcsinx

arccos(-x) = - arccosx

Работаем устно

Имеет ли смысл выражение?

Может ли arcsint и arccost принимать значение равное

Упражнение 3

• Имеет ли смысл выражение:
arcsin(-1/2) arccos arcsin(3 - ) да нет нет arcsin1,5 arccos(- +1 ) arccos нет да да

Работаем устно

Найдите значения выражений:

Работаем устно

arctg(-x) = - arctgx

arcctg(-x) = - arcctgx

Упражнение а) б) в) г) а) б) в) г) а) б) в) г) а) б) в) г) а) б) в) г) а) б) в) г)

Свойства аркфункций

Тригонометрические операции над обратными тригонометрическими функциями

, |x| ≤ 1	, |x| ≤ 1
, |x| ≤ 1	, |x| ≤ 1
, |x| < 1	,|x| ≤ 1, x ≠ 0
, |x| ≤ 1, x ≠ 0	, |x| < 1
, x ≠ 0	, x ≠ 0

Графический метод решения уравнений

• Решите уравнение

Ответ.1.

1) Строим график

2) Строим график

в той же системе координат.

3) Находим абсциссы точек

пересечения графиков

(значения берутся приближенно).

4)Записываем ответ.

Функционально-графический

метод решения уравнений

Пример: решите равнение

3) Уравнение f(x)=g(x) имеет не более одного корня.

4) Подбором находим, что x=0.

Ответ. 0.

Решение.

1) у =arccosx убывает на области определения

Обратные тригонометрические функции

D = [0;+∞)

E = [0;+∞)

D = [0;+∞)

E = [0;+∞)

 

?

Функция y = arcsin x Функция y = arcsin x

у

х

0

-1

1

y = sin x

y = arcsin x

х

у

1

2

-1

-2

0

Функция у = arccos x

y = arccos x

y = cos x