Ученики на Учителя.com


Конспект урока "Тригонометрические функции числового аргумента. График и свойства функции у=sin x"

1
Тригонометрические функции числового аргумента.
График и свойства функции у = sin x.
Медведенко Ю.Ю., преподаватель математики
ГОУ СПО «Алексеевский агротехнический
техникум», Белгородская обл.
Цели урока:
1. Повторить и систематизировать знания об основных тригонометрических формулах и
их применении.
2. Ввести понятие функции у = sin x. Научиться строить график данной функции. Изучить
свойства данной функции.
3. Совершенствовать умения применять основные формулы тригонометрии при решении
примеров.
Дополнительное оборудование: компьютер, проектор, слайд-презентация к уроку,
раздаточный материал на напечатанной основе с заданиями для самостоятельной работы.
Тип урока: комбинированный. Проверка знаний и умений студентов по пройденному
материалу. Изложение нового материала. Первичное закрепление изученного учебного
материала.
План урока:
1.Организационный момент, сообщение темы и цели урока.
2. Проверка домашнего задания.
3. Проверка знаний и умений по пройденному материалу.
4. Изложение нового материала.
5. Закрепление нового материала.
6. Применение полученных знаний.
7. Контроль и самопроверка.
8. Коррекция деятельности.
9. Подведение итогов.
10. Домашнее задание.
2
Рассмотрим треугольник АВС с
острым углом α.
А
В
1
С
1
α
β
а
sin α= -
с
в
cos α = -
с
Дан треугольник АВС с острым
углом α.
а.
с
в
В
С
Ход урока
1. Организационный момент, сообщение темы и
цели урока.
2. Проверка домашнего задания. Выборочно
собрать тетради с домашним заданием у 3-4
студентов. Остальные, если не возникло вопросов
по выполнению домашнего задания, в это время
повторяют основные формулы тригонометрии.
3. Проверка знаний и умений по пройденному материалу.
Опрос - беседа по следующим вопросам:
1). Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса;
2). Градусная и радианная меры углов;
3). Знаки функций по четвертям.
1). Учитель: - Продолжая изучение алгебры, мы начали с вами знакомство с курсом
алгебры и начал анализа. Первая тема, которую будем изучать – тригонометрические
функции числового аргумента. В школьном курсе алгебры вам уже ввели понятия о
данных функциях. Теперь мы должны будем подробно изучить каждую функцию, ее
основные свойства, а также научиться строить графики этих функций. Кто мне скажет,
сколько существует основных функций и как они называются?
Студенты:- Существует 4 основные функции тригонометрии: синус, косинус, тангенс и
котангенс.
На интерактивной доске появляется слайд-презентация к этому вопросу.
Учитель: -Чтобы четко понимать, что же это за функции, и каким образом можно их
получить, давайте рассмотрим треугольник АВС с острым углом α. Теперь, опираясь на
свои знания по геометрии из школьного курса, дайте мне определение для каждой
функции? На интерактивной доске появляется слайд-презентация к этому вопросу.
Студенты:
-Синус угла α – это отношение противолежащего катета к
гипотенузе. Косинус угла α – это отношение прилежащего
катета к гипотенузе. Тангенс угла α – это отношение
противолежащего катета к прилежащему. Котангенс угла
α– это отношение прилежащего катета к
противолежащему.
Учитель: -Из данных определений функций следуют основные тригонометрические
тождества (на интерактивной доске появляется слайд-презентация к этому вопросу)
«Тригонометрические
функции числового аргумента.
График и свойства функции
у= sin x».
Цели урока:1) повторить и систематизировать знания о
мерах углов, понятии синуса, косинуса, тангенса и
котангенса;
2) ввести понятие функции синуса;
3) научиться строить график функции у = sin x;
4) Изучить свойства функции у = sin x;
5) способствовать развитию практических умений и
навыков.
Тема урока:
3
(они следуют из определений)
sin²α+cos²α=1
tg α·ctg α = 1
tg α =
sin α
____
cos α
____
sin α
cos α
=ctg α
tg² α + 1 =
____
cos² α
1
ctg² α + 1 =
sin² α
____
1
(теорема Пифагора,
перефразированная с
помощью понятия о синусе и
косинусе )
Рассмотрим треугольник АВС с
острым углом α.
А
В
1
С
1
α
β
а
sin α= -
с
в
cos α = -
с
Нетрудно увидеть,
что синус и косинус
зависят лишь
от угла α
а.
с
в
Поэтому при изучении
синуса и косинуса
можно в качестве
гипотенузы брать
радиус r = 1 окружности
В
С
Полный оборот составляет 360°
Угол в один
радиан- это
центральный угол,
длина дуги
которого равна
радиусу
окружности.
1 рад≈57°17‛44‛‛
Угол в 180°=Πрад.
R
1 рад
x
Запишите их в тетради. К ним мы вернемся позже, а пока
рассмотрим следующий вопрос.
Если мы изобразим треугольник АВ
1
С
1
подобный
данному, с фиксированным углом α, то нетрудно увидеть,
что синус и косинус зависят лишь от угла α и не зависят от
размеров треугольника.
Поэтому при изучении свойств синуса и косинуса можно в качестве гипотенузы брать
радиус r = 1 окружности, т. е. отсчитывать углы, пользуясь
единичной окружностью. Если полный оборот такого
радиуса относительно центра круга считать углом в 360°, то
ясно, что любой угол можно измерить в градусах. Обычно
отсчет ведется от направления оси Ох, начиная от 0°,
причем поворот радиуса против часовой стрелки считается
положительным, а по часовой стрелке - отрицательным.
2). Вот мы подошли ко второму вопросу,
поставленному перед нами, - градусной и радианной
мерам углов. Как оказалось на практике, градусная мера
угла не всегда удобна,
прежде всего потому,
что определенные ранее нами синус и косинус не
попадают в класс функций действительного
переменного, для которых аргументом являются числа,
а не элементы других множеств (в данном случае углов,
поскольку
1 градус- это угол, получаемый в результате разделения круга радиусом на 360 равных
частей). Например, если числа мы можем умножать и складывать, то с углами проделать
те же операции невозможно. В итоге запись sin (α · β), где α и β – углы, смысла иметь не
будет.
Поэтому вводят еще числовую меру углов, называемую радианной.. Делается это путем
построения
следующего изображения (на интерактивной доске появляется слайд-презентация к этому
вопросу).
4
Знак синуса и косинуса
++
+
+
- -
-
-
знаки sin
знаки cos
Каждому углу α сопоставляется длина дуги х единичной окружности. Например, при α =
90° х = π/2; при α = 45° х = π/4; при α = 180° х = π.
3). И, наконец, третий вопрос - знаки функций по
четвертям.
Первоначально знаки синуса и косинуса были определены
лишь для острых углов. Теперь появляется возможность
расширить это определение. Для этого достаточно
поместить центр окружности в начало координат и брать
величины а и b в соответствии с теми знаками, которые будут иметь проекции точек
окружности на оси координат.
(на интерактивной доске появляется слайд-презентация по данному вопросу).
Таким образом, знаки функций по четвертям будут
располагаться следующим образом:
(на интерактивной доске появляется слайд-презентация
по данному вопросу)
Аналогично можно рассчитать знаки для тангенса и
котангенса.
Также для дальнейшего изучения материала вам понадобится знание таблицы значений
тригонометрических функций. Ее вы тоже изучали в рамках школьного курса. Заданием
вам на дом было повторение данной таблицы. Чтобы проверить, как вы справились с ним,
я предлагаю вам заполнить следующие таблицы. В одной колонке уже вписаны значения
радианной меры углов, в другой вы самостоятельно дописываете то значение функции,
которое она будет принимать.
sin π/2
sin 5π/6
sin π/4
sin π/2
cos 3π/2
cos π/3
cos π
cos 2π
sin π/6
sin 4π/3
tg π/2
tg π/6
tg 5π/6
tg 7π/6
ctg 0
ctg π
ctg π/4
ctg π/2
cos π/2
cos 3π/4
Знаки тангенса и котангенса.
+
+
-
- -
-
+
+
знаки
тангенса
знаки
котангенса
5
Свойства функции у = sin x.
Область определения этой функции – множество всех действительных
чисел. Обозначается: D (sin x) = R.
Областью значения функции синус является отрезок [- 1; 1], поскольку и
ординаты, и абсциссы точек единичной окружности принимают все
значения от -1 до 1. Обозначается: Е (sin x) = [- 1; 1].
Еще известными свойствами этой функции является то, что для любого х
справедливы следующие равенства:
1. sin (-x) = - sin x;
2. sin x = 0, при х = πn, n € Z (Z – множество всех целых чисел);
3. sin x = 1, при х = π/2 + 2πn, n € Z;
4. sin x = -1, при х = - π/2 + 2πn, n € Z.
На отрезке [- π/2; π/2] функция синуса является строго монотонно
возрастающей;
функция четная;
периодическая, с установленным периодом 2π.
функция непрерывна.
4. Изложение нового материала. Функция у = sin x.
Учитель:- Давай с вами сначала вспомним, что же такое функция? Кто даст мне точное
определение функции?
Студенты:- Функция – это зависимость переменной У от переменной Х, причем такая,
что каждому значению переменной Х соответствует единственное значение переменной
У.
Учитель:- Совершенно верно. Так как мы для удобства ввели радианную меру углов, то,
основываясь на это, строят график функции синуса. Делается это путем построения
следующего отображения множества углов в числовое множество. Другими словами
градусы переводят в числа.
Рассмотрим функцию у = sin x. Теперь дадим определение этой функции. Числовая
функция, заданная формулой у = sin x, называется синусом. Запишите определение синуса
в тетради.
Свойства функции у = sin x.
Учитель:- Рассмотрим свойства функции у = sin x. (на интерактивной доске появляется
слайд- презентация по данному вопросу)
1) Область определения этой функции –
множество всех действительных чисел.
Обозначается: D (sin x) = R.
(R – множество всех действительных чисел)
2) Областью значения функции синус является
отрезок [- 1; 1], поскольку и ординаты, и
абсциссы точек единичной окружности
принимают все значения от -1 до 1.
Обозначается: Е (sin x) = [- 1; 1].
3) Следовательно, функция имеет период 2π, т. е. ее значения повторяются при сдвиге
аргумента вдоль оси 0х на любое число, кратное 2π. Отсюда следует еще одно свойство
функции синуса:
sin (x + 2πn) = sin x (n – произвольное целое число);
3) Еще известными свойствами этой функции является то, что для любого х справедливы
следующие равенства:
sin (-x) = - sin x;
sin x = 0, при х = πn, n € Z (Z – множество всех целых чисел);
sin x = 1, при х = π/2 + 2πn, n € Z;
6
0
π/2
-π/2-2π π 3π/2 2π
у
х
у = sin x
π/2
α
Pα
α
-1
1
синусоида
линия
синусов
0 π/2-π/2-2π π 3π/2 2π
у
х
у = sin x
sin x = -1, при х = - π/2 + 2πn, n € Z;
Исходя из этих свойств функции, можно сделать вывод:
1) на отрезке [- π/2; π/2] функция синуса является строго монотонно возрастающей;
2) функция четная;
3) периодическая, с установленным периодом 2π.
4) функция непрерывна.
График функции у = sin x.
Построим теперь график функции синуса на отрезке
[0; 2π]. Для этого отметим на оси ординат точки с
координатами (0;-1) и (0;1), а на оси абсцисс - точку с
абсциссой 2π.
Для построения
точки графика с
абсциссой α
воспользуемся
определением синуса на множестве действительных
чисел. Отметим точку Р
α
на единичной окружности
и проведем через эту точку прямую, параллельную оси абсцисс (0х). Точка пересечения
этой прямой и прямой х = α искомая, так как ее ордината совпадает с ординатой точки P
α
,
а по определению sin α равен ординате Р
α
(на интерактивной доске появляется слайд-
презентация по данному вопросу).
На рисунке показано построение нескольких точек графика. Соединяя их плавной
линией, получаем эскиз графика функции синуса на отрезке [0; 2π]. А так как из свойств
этой функции мы знаем, что синус – функция периодическая с установленным периодом
2π, то на всей прямой с помощью параллельных переносов вдоль оси 0х (вправо и влево)
строим график функции.
Определение: график функции у = sin x называется синусоидой. Отрезок [- 1; 1] оси
ординат, с помощью которого мы находим значения синуса, иногда называют линией
синусов (на интерактивной доске появляется слайд-презентация по данному вопросу).
5. Закрепление нового материала.
Учитель: -Ребята, мы с вами рассмотрели числовую функцию, заданную формулой у =
sin x. Разобрались, какими свойствами обладает данная функция, научились строить ее
график. А теперь ответьте мне на следующие вопросы:
а) какой период задан для функции синуса?
б) зачем вводится радианная мера углов?
7
0 π/2-π/2-2π π 3π/2 2π
у
х
у = sin x
у =2 sin x
Областью определения
данной функции будет
множество всех действительных
чисел – R.
Областью значения
будет отрезок [-2;2]
в) какой отрезок является областью значения для данной функции?
Студенты: а) 2π
б) градусная мера угла не всегда удобна, поэтому вводят еще числовую меру углов,
называемую радианной.
в) [- 1; 1]
Как видно из ваших ответов, данную тему вы усвоили хорошо.
6. Применение полученных знаний.
Учитель: -Теперь попробуем с вами применить полученные знания при выполнении
заданий.
Задание: Найдите область определения и область значения функции у = 2 sin x. Постройте
ее график (на интерактивной доске появляется слайд-презентация к данному заданию).
Задания для самостоятельной работы:
І вариант
Найдите область определения и область значения
функции у = 1/2 sin x. Постройте ее график.
ІІ вариант
Найдите область определения и область значения
функции у = 3 sin x. Постройте ее график.
7. Контроль и самопроверка.
Учитель:- Ребята, а теперь поменяйтесь тетрадями и самостоятельно проверьте друг у
друга, правильно ли выполнены задания.
8. Коррекция деятельности.
Выяснить какие возникли проблемы или недочеты во время выполнения заданий
самостоятельной работы.
9. Подведение итогов.
Учитель:
1. -Ребята, сегодня наше занятие, на мой взгляд, прошло результативно. Вами хорошо
усвоена данная тема. Вы с успехом справились с поставленными перед вами целями. То
есть,:1) повторили и систематизировали знания о мерах углов, понятии синуса, косинуса,
тангенса и котангенса;
2) ввели понятие функции синуса;
3) научились строить график функции у = sin x;
4) изучили свойства функции у = sin x.
8
2. Выставление оценок.
10. Домашнее задание.
Д/З под запись: 1) выучить свойства функции у = sin x;
2) найдите область определения и область значения функций: у = -1/2 sin x, у =
sin 3x, у =3 + sin x; постройте их графики. (Задание сопровождается комментарием
преподавателя).
.
Скачать материал

Математика - еще материалы к урокам: