Открытый урок "Комбинация шара с многогранниками" 11 класс
Управление образования
Администрации Сергиево-Посадского района
Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Физико-математический лицей»
Открытый урок по теме
«Комбинация шара с многогранниками»
Учитель: Чумичева Л.В.
2016-2017 учебный год
Тема урок : Комбинация сферы с многогранниками.
Тип урока: Урок рефлексии (систематизации и обобщения полученных
знаний)
Цели урока: 1)формирование навыков при решении задач проводить
методически грамотный анализ конфигурации, правильно понять условия
взаимного расположения сферы (шара) и геометрических объектов;
2) проверка освоения обучающимися основных формул расчёта объёмов шаров,
объёмов многогранников, радиуса сферы и т.п.;
3) развитие навыков работы в коллективе, умений четко и математически
грамотно выражать свои мысли;
4) подготовка обучающихся к итоговой аттестации.
Применяемые обучающие технологии:
• ИКТ;
• Педагогика сотрудничества (разбиение материала на блоки, взаимо и
самоконтроль);
• Здоровьесберегающие.
Ход урока.
1. Фронтальный опрос учащихся.
1 слайд
СФЕРА, ОПИСАННАЯ ОКОЛО МНОГОГРАННИКА.
Вопрос. Какая сфера называется описанной около многогранника?
Какое необходимо условие для того, чтобы около многогранника можно
было описать сферу?
2 слайд
Вопрос. Когда около пирамиды можно описать сферу ?
3 слайд.
Около призмы можно описать сферу тогда и только тогда, когда около
основания этой призмы можно описать окружность. Ее центром будет
точка O, являющаяся серединой отрезка, соединяющего центры окружностей,
описанных около оснований призмы.
Вопрос . Чему равен радиус сферы, если известны h – высота призмы, r –
радиус окружности, описанной около основания призмы?
4 слайд.
Вопрос. Найдите радиус сферы, описанной около единичного куба.
5 слайд.
Ворос.Найдите радиус сферы, описанной около единичного тетраэдра.
6 слайд.
Найдите радиус сферы, описанной около единичного октаэдра
7 слайд.
СФЕРА, ВПИСАННАЯ В МНОГОГРАННИК
Вопрос. Какая сфера называется вписанной в многогранник?
Когда в прямую призму можно вписать сферу?
8 слайд.
Вопрос.Чему равен объем многогранника, если в него можно вписать сферу?
Найдите высоту правильной треугольной призмы и радиус, вписанной в нее
сферы, если ребро основания призмы равно 1.
9 слайд.
Вопрос. В правильный тетраэдр вписана единичная сфера. Найдите ребро этого
тетраэдра.
2. Решение задач . (Вызываются учащиеся к доске.)
Задача 1. Радиус сферы, описанной около правильной четырехугольной
пирамиды, относится к стороне основания, как 3:4. Найти величину угла между
плоскостью боковой грани и плоскостью основания.
(Чертёж выполняется в программе GeoGebra).
Решение. Пусть а – длина стороны квадрата, лежащего в основании пирамиды,
h –длина высоты пирамиды и R – радиус описанной сферы.
Если построить сечение пирамиды и сферы плоскостью, проходящей через
боковое ребро и высоту пирамиды, то из равенства
;
Можно получить уравнение
,
, где
Квадратное уравнение имеет
два корня :
Обозначив угол между плоскостью боковой грани и
плоскостью основания через φ, получим
Получили два значения φ:
Ответ.
Задача2. В правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой
равно 10, а высота равна 6, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирами-
ды.) Найдите площадь этой сферы.
Решение.
(Чертёж выполняется в программе GeoGebra).
Пусть MH — высота правильной шестиугольной пирамиды MABCDEF с
вершиной M, тогда треугольник AMH прямоугольный, MA=10, MH=6,
откуда
Треугольник ABH равносторонний, следователь-
но, AB=AH=8. В треугольнике AMB высота
.
В правильном треугольнике AHB высота
.
Центр O сферы, вписанной в правильную шести-
угольную пирамиду, лежит на её высоте MH,
точка K касания сферы и боковой грани AMB лежит на
отрезке MN. Треугольники MOK и MNH подобны, по-
этому
Где r — радиус сферы. Площадь сферы
От вет:
.
Укажем другой путь нахождения радиуса.
Объем пирамиды равен
Площадь полной поверхности пирамиды равна
Тогда
Задача 3. В правильной четырехугольной пирамиде центры вписанной в
пирамиду сферы и описанной около пирамиды сферы совпадают. Определить
величину угла между боковой гранью и плоскостью основания пирамиды.
Решение. (Чертёж выполняется в программе GeoGebra).
Пусть О – центр сферы вписанной в пирамиду и описанной около
пирамиды SABCD сферы. Построив сечение пирамиды и описанной сферы
плоскостью SAC (А и С – противоположные вершины квадрата); пусть
SO = R – радиус описанной сферы, ОО
1
= r – радиус вписанной сферы и
АВ = а ( АС = а
) как диагональ квадрата ABCD, лежащего в основании
пирамиды. Поскольку сечением описанной сферы плоскостью SAC является
круг, центр которого совпадает с центром сферы, то из равенства
по свойству хорд, проведенных в круге , где
S
1
– точка пересечения прямой SO с описанной сферой,
имеем
, так как
Теперь построим сечение KSL пирамиды плоскостью,
проходящей через высоту SO
1
пирамиды и середины
сторон АВ и CD квадрата ABCD. Эта плоскость
пересечет вписанную сферу по большому кругу; пусть
, тогда
(центр вписанного круга в
треугольник KSL лежит в точке пересечения биссектрис
внутренних углов этого
треугольника).
Так как
то можем составить ещё два уравнения
и
Исключая из системы уравнений R, r и a, получим
тригонометрическое уравнение
=0.
Решив это уравнение, найдем
,
Ответ.
3. Самостоятельная работа. (учащиеся выполняют тест)
1 слайд.
1. Основанием пирамиды служит правильный треугольник, сторона
которого равна 3. Одно из боковых ребер равно 2 и перпендикулярно
плоскости основания. Найдите радиус описанной сферы.
2 слайд.
2. Найдите радиус сферы, описанной около правильной треугольной пирамиды,
боковые ребра которой равны 1, и плоские углы при вершине равны 90
градусов.
3 слайд.
3.Около правильной треугольной призмы, сторона основания которой
равна 1, описана сфера радиуса 2. Найдите высоту призмы.
4 слайд.
4. В правильную треугольную призму вписана сфера радиуса 1. Найдите
сторону основания и высоту призмы.
5 слайд.
5.Сфера вписана в прямую четырехугольную призму, в основании которой
ромб со стороной 1 и острым углом 60 градусов. Найдите радиус сферы и
высоту призмы.
6 слайд.
6. Единичная сфера вписана в правильную четырехугольную пирамиду,
сторона основания которой равна 4. Найдите высоту пирамиды.
4. Подведение итогов урока.
Геометрия - еще материалы к урокам:
- Конспект урока "Другие формулы для нахождения площади треугольника. Формула Герона" 8 класс
- Презентация "Другие формулы для нахождения площади треугольника. Формула Герона" 8 класс
- Конспект урока "Проценты. Решение задач трех типов" 5 класс
- Самостоятельная работа "Цилиндр в задачах ЕГЭ" 11 класс
- Тест по определениям и формулировкам теорем 7 класс
- Тест "Площадь параллелограмма, треугольника и трапеции"
