Конспект урока "Комбинация шара с многогранниками и круглыми телами" 11 класс
Урок геометрии в 11 классе
Тема урока: «Комбинация шара с многогранниками и круглыми телами »
Задачи на вписанные, описанные шары (сферы) считаются самыми сложными в
курсе стереометрии. При решении этих задах обучающиеся должны показать знание сразу
нескольких разделов математики: планиметрии, стереометрии, алгебры, тригонометрии,
математического анализа.
Задачи на комбинацию тел вызывают затруднения при построении чертежа и
определении зависимости радиуса описанного (вписанного) шара (сферы) от элементов
многогранников и круглых тел.
Учитывая сложность этих задач, изучение темы «Вписанные и описанные
многогранники» предложено изучить методом проектов группой обучающихся,
увлечённых математикой.
Тема проекта: «Комбинация шара с многогранниками и круглыми телами».
Тема исследования: «Выявление зависимости радиуса описанного (вписанного)
шара от элементов многогранников и круглых тел».
Одной из задач исследования было: рассмотреть взаимное расположение элементов
многогранников и круглых тел, вписанных в шар, построив сечение шара плоскостью
большого круга, проведённой перпендикулярно плоскостям оснований вписанных тел.
В ходе рассмотрения возникла необходимость доказательства того, что сечения для
пирамиды, призмы, цилиндра, конуса являются частными случаями сечений для
усечённого конуса и усечённой пирамиды.
Используя доказанное, что общий вид сечения – это сечение для усечённого конуса и
усечённой пирамиды, появилась возможность вывода обобщённой формулы для
определения величины радиуса шара, описанного около многогранников и круглых тел.
Так как обобщённая формула радиуса описанного шара облегчает решения многих задач
на комбинацию тел, возникла необходимость рассмотрения вывода её на уроке геометрии
в 11 классе.
Цель урока: вывести обобщённую формулу радиуса описанного шара около
многогранников и круглых тел через организацию исследовательской деятельности
обучающихся на уроке.
Ход урока.
I.Актуализация знаний, необходимых для достижения цели урока.
Выяснить:
а) Около любого ли многогранника и круглого тела можно описать шар?
б) Где расположен центр шара, описанного около призмы, пирамиды, конуса, цилиндра,
усечённого конуса, усечённой пирамиды?
II.Формулирование проблем, гипотезы, доказательства.
1.Построить сечения пирамиды, вписанных в шар, плоскостью большого круга,
проведённой перпендикулярно плоскостям оснований вписанных тел.
2.Сравнить сечения, установить сходства и различия их.
3.Распределить сечения по группам, выделяя в них сходственные признаки.
4. Показать, что сечения для пирамиды, призмы, цилиндра, конуса являются частными
случаями сечений для усечённого конуса и усечённой пирамиды.
Действительно, в сечениях получили большой круг. Хорды этого круга изображают
диаметры кругов, описанных около оснований призмы и цилиндра, пирамиды и конуса,
усечённого конуса и усечённой пирамиды.
Для конуса и пирамиды Для цилиндра и призмы Для усечённого конуса и усечённой
пирамиды
Рисунок 1 Рисунок 2 Рисунок 3
На рис.3 NM – высота усечённого конуса или усечённой пирамиды. Изменяясь, NM
достигнет величины отрезка ME, тогда CN = ND станет равной нулю, а сечение для
усечённого конуса и усечённой пирамиды примет вид сечения для конуса и пирамиды
(рис.1).
Изменение высоты NM может привести к равенству радиусов AM=MB=CN=ND,
высота остаётся больше нуля, но меньше диаметра шара. В этом случае сечение для
усечённого конуса и усечённой пирамиды примет вид сечения для цилиндра и призмы
(рис. 2).
5. Гипотеза. Существует обобщенная формула для определения радиуса шара, описанного
около многогранников и круглых тел.
Задача. Используя общий вид сечения многогранников и круглых тел, сечения для
усечённого конуса и усечённой пирамиды, вывести обобщённую формулу для
определения величины радиуса шара, описанного около данных тел.
Пусть EN=x, NF=y, MN=H, AM=MB=a, CN=ND=b, R-
радиус шара.
1.
2
xy
R
2. Рассмотрим ∆EAF- прямоугольный (так как
A
опирается на дугу в 180
0
, то он равен 90
0
).
3. Высота, проведённая из вершины прямого угла, является средним
пропорциональным между проекциями катетов на гипотенузу, то есть
AM
2
=EM·MF.
4. a
2
=(x+H) ·(y-H)
5. Аналогично: из прямоугольного ∆ECF
CN
2
=NE·NF; b
2
=x·y
6. Найдём x, y из системы уравнений:
x 0 y> 0
x= -
+
y=
+
R =
, ab
Чтобы найти радиус шара, описанного около конуса и пирамиды, полагаем в формуле
R b=0, тогда R=
22
2
Ha
H
или R =
2
2
l
H
l
– образующая конуса или длина бокового ребра пирамиды. Чтобы найти радиус шара,
описанного около цилиндра и призмы, полагаем a = b, тогда R =
Итак, гипотеза верна. Обобщённая формула для вычисления радиуса описанного шара
около призм, пирамид и круглых тел существует.
Предложенный способ решения задач на вычисление величины радиуса шара,
описанного около круглых тел, призм и пирамид прост и понятен, ускоряет процесс
решения задач на комбинацию шара с многогранниками и круглыми телами.
3.Подведение итогов урока.
Что нового вы узнали на уроке?
Какие трудности были у вас при изучении нового материала?
Как вы с ними справились?
Насколько важна рассмотренная теория лично для тебя?
4.Домашнее задание. Подготовиться теоретически к решению задач на комбинацию
шара с многогранниками круглыми телами.
