Презентация "Многогранники. Работа с многогранниками в программе Cabri 3D" 10 класс

Многогранники. Работа с многогранниками в программе Cabri 3D

10 «а» класс (хим-био группа)

Авторы:

Учитель математики: Луштей Татьяна Николаевна

Учитель информатики: Романова Марина Игоревна

2014 г.

«Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук». Л. Кэрролл

Цели создания проекта:

Обучающая цель: Закрепить понятие о выпуклых многогранниках, их некоторых свойствах, выработка навыков решения задач на построение сечений многогранников в программе Cabri 3D, показать связь математики и информатики с жизнью. Повторение формул для вычисления площадей геометрических фигур, площадей поверхностей многогранников; привитие практических навыков решения заданий ЕГЭ; умения работать в программе Cabri 3D.

Развивающая цель: формирование компетентности в сфере самостоятельной познавательной деятельности, навыков самостоятельной работы с большим объёмом информации, формирование навыков работы в команде, развитие творческих способностей личности, умений сравнивать, выявлять закономерности; развитие логического мышления, памяти и математической речи; графической культуры.

Задачи нашего проекта:

• Обобщение и систематизация знаний
• Расширение спектра задач, доступных учащимся
• Формирование у учащихся устойчивого интереса к геометрии и информатике, выявление способностей учащихся к данным предметам
• Ориентация на профессию, существенным образом связанную с математикой и информатикой, подготовка к сдаче ЕГЭ и обучению в ВУЗе

Наглядная топология как средство познания реального мира

• Понятие поверхности
• Аналитическое задание поверхности
• Параметрические уравнения
• Примеры гомеоморфных поверхностей

Ход работы:

• На уроках геометрии ознакомились с многогранниками
• Изготовили модели правильных многогранников
• Составили и решили задачи разного типа на тему «Многогранники»
• Разделились на 4 группы:

1 группа «Призмы»

• Создать презентацию на повторение данной темы: определение призмы, виды призм, элементы призмы, формулы для вычисления площади поверхности призмы (боковой и полной)
• Научиться строить призму в программе Cabri 3D
• Составить и решить 3 задачи на применение формул для вычисления площади призмы, изготовить модель фигуры.

Призма

: основания – равные n – угольники, лежащие в параллельных плоскостях, боковые грани – параллелограммы.

Наклонная – боковые грани – параллелограммы.

H

H1

A

k

F

M

N

P

D

HH1 – высота призмы

AH (k) – боковое ребро призмы

FMNPD – сечение, перпендикулярное боковому ребру

Прямая призма – боковые грани – прямоугольники.

Куб

а

а

а

d

все грани - квадраты

H

Дано:

ABCDA1D1C1D1-прямая призма, AA1=10 см, AB=6см, BC=8см.

Найти:

Площадь АА1С1С

D1

C1

C

B

A

A1

B1

D

Решение:

Диагональные сечения данной призмы равны, так как равны диагонали основания и боковые ребра.

Диагональное сечение АА1С1С-прямоугольник. Сторона АС есть диагональ основания ABCD. Из прямоугольного тр-ка АВС по теореме Пифагора

АС= 6^2 + 8^2= 10 см. Поэтому

Saa1c1c=10*10=100 см^2

Ответ:100см^2

Диагональ куба равна .

• Диагональ куба равна .
Найдите его объем. Решение: Диагональ куба в  раз больше его ребра. Получим, что ребро равно a= Тогда объем куба V= a3 = 8 Ответ: 8

2 группа «Пирамиды»

• Создать презентацию на повторение данной темы: определение пирамиды, виды пирамид, элементы пирамид, формулы для вычисления площади поверхности пирамиды (боковой и полной).
• Научиться строить пирамиду в программе Cabri 3D
• Составить и решить 3 задачи на применение формул для вычисления площади пирамиды, изготовить модель фигуры.

Пирамида

– это многогранник, состоящий из n-угольника А1А2А3...Аn (основание) и n треугольников (боковые грани), имеющих общую вершину (Р).

Р

А1

А2

А3

Аn

H

РА1; РА2; РА3; ... ; РАn – боковые ребра

А1А2; ... ;А1Аn – ребра основания

РH – высота пирамиды - h

h

Правильная пирамида

• основание – правильный многоугольник, вершина проецируется в центр основания;
• боковые ребра – равны;
• боковые грани – равные равнобедренные треугольники.

H – высота,

h – апофема

H

h

AB = BC = AC = a

Правильная треугольная пирамида

H – высота,

h – апофема

A

O

B

C

h

H

S

D

a

Правильная четырехугольная пирамида

h – апофема,

H – высота,

AB = BC = CD = DA = a (в основании – квадрат)

H

h

a

a

A

B

D

O

P

К

К – середина DC

C

а – сторона основания

PA1A2…An – произвольная пирамида

α – плоскость основания

β – секущая плоскость,

PB1B2…Bn – пирамида

Усеченная пирамида

β

α

P

A1

A2

A3

An

B1

B3

Bn

B2

O

O1

H

||

B1B2…Bn – верхнее основание

A1A2…An – нижнее снование

A1B1B2A2; …; AnBnB1A1 – боковые грани – трапеции

A1B1; A2B2; …; AnBn – боковые ребра

OO1= H – высота

Правильная треугольная усеченная пирамида –

боковые грани – равные между собой равнобокие трапеции.

Δ ABC и Δ A1B1C1 – равносторонние

OO1 = H – высота

КК1 = h – апофема

A

C

A1

B1

C1

O1

O

H

K1

K

h

B

a

b

Правильная четырехугольная усеченная пирамида –

боковые грани – равные между собой равнобокие трапеции.

ABCD и A1B1C1D1 – квадраты

OO1 = H – высота

KK1 = h – апофема

A1

A

B

C

D

B1

C1

D1

O

O1

H

K

K1

h

a

b

Задача 1.

Основанием пирамиды служит квадрат, две боковые грани

этой пирамиды перпендикулярны к плоскости её основания,

две другие её боковые грани образуют с плоскостью основания

равные двугранные углы, каждый из которых равен 300 .

Высота пирамиды равна

Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Задача №2.

Высота и сторона основания правильной четырехугольной пирамиды соответственно равны 24 и 14. Найдите апофему пирамиды. 

Решение.  Поскольку пирамида правильная, то в ее основании лежит правильный четырехугольник - квадрат. Кроме того, высота пирамиды проецируется в центр квадрата. Таким образом, катет прямоугольного треугольника, который образован апофемой пирамиды, высотой и отрезком, их соединяющим, равен половине длины основания правильной четырехугольной пирамиды.  Откуда по теореме Пифагора длина апофемы будет найдена из уравнения:  72 + 242 = x2  x2 = 625  x = 25  Ответ: 25 см 

3 группа «Правильные многогранники»

• Создать презентацию на повторение данной темы: определение правильных многогранников, виды правильных многогранников,свойства многогранников,объяснение ограниченного количества видов правильных многогранников.
• научиться строить развертку данной фигуры в программе Cabri 3D
• составить и решить 3 задачи на данную тему, изготовить модель фигуры.

Учение о правильных многогранниках изложил в своих трудах Платон. С тех пор правильные многогранники называют Платоновыми телами. Существует пять видов правильных многогранников: тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. Учение о правильных многогранниках изложил в своих трудах Платон. С тех пор правильные многогранники называют Платоновыми телами. Существует пять видов правильных многогранников: тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

Платон

Многогранник- это поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело. Многогранник- это поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело.

Вспомним

Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и тоже число ребер.

• Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и тоже число ребер.
Правильные многогранники еще называют Платоновыми телами. Существует пять правильных многогранников: 1)тетраэдр, 2)куб, 3)октаэдр, 4)икосаэдр, 5)додекаэдр.

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА. Все эти типы многогранников были известны в Древней Греции. Этим красивым телам посвящена XIII книга «Начал» Евклида. Их называют еще телами Платона. Они занимали видное место в его идеалистической картине мира. Четыре из них олицетворяют в ней четыре «сущности», или «стихии»: тетраэдр - огонь, икосаэдр - воду, куб - землю, октаэдр - воздух. Додекаэдр воплощал в себе «все сущее»,символизировал все мировоззрение, почитался главнейшим. ТЕТРАЭДР. «Тетраэдр» в дословном переводе с греческого языка означает «четырехгранник.»У правильного тетраэдра грани - правильные треугольники; в каждой вершине сходится по три ребра. Тетраэдр представляет собой треугольную пирамиду, у которой все ребра равны. ГЕКСАЭДР. «Гексаэдр» в переводе с греческого языка означает «шестигранник». У куба все грани - квадраты; в каждой вершине сходится по три ребра . Куб представляет собой прямоугольный параллелепипед с равными ребрами. ОКТАЭДР. «Октаэдр» в переводе с греческого языка означает «восьмигранник». Уоктаэдра грани - правильные треугольники, но в отличие от тетраэдра в каждой его вершине сходится по четыре ребра. ДОДЕКАЭДР. «Додекаэдр» в переводе с греческого языка означает «двенадцатигранник». У додекаэдра грани - правильные пятиугольники. В каждой вершине сходится по три ребра. Многогранники в ювелирном деле Многогранники в архитектуре 4 группа «Построение сечений многогранников»

• Создать презентацию на повторение данной темы: определение сечения, правила их построения
• Научиться строить сечения многогранников в программе Cabri 3D
• Составить и решить 3 задачи на построение сечений.

Определение сечения.

• Секущей плоскостью многогранника назовем любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника.

• Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением многогранника.

А

В

С

S

Задача 1. Построить сечение плоскостью, проходящей через данные точки D, Е, K.

D

E

K

M

F

Построение:

2. ЕК

3. ЕК ∩ АС = F

4. FD

5. FD ∩ BС = M

6. KM

1. DE

DЕKМ – искомое сечение

А

В

С

D

K

N

M

R

L

P

Задача 2. Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки К є ВС , М є АДВ, N є ВДС.

Решение

1. М → М1 , N → N1

2. Х = NМ ∩ N1 М1

3. R = КХ ∩ АВ

• RL = α ∩ АВД,

М є RL

• КР = α ∩ ВДС,

N є КР

6. LP = α ∩ АДС

7. RLPK - искомое сечение

Спасибо за внимание!