Презентация к уроку алгебры "Перестановки и размещения. Факториал" 9 класс

Работа учителя математики МБОУ СОШ №19 г. Дербент Васильчиковой М.Л. Перестановки и размещения. Факториал. Цели урока

• - отработать умения решать простейшие комбинаторные задачи с помощью правила умножения
• - научить решать задачи с использованием понятий факториала, перестановок и размещений;

ЗАДАЧИ УРОКА :

• образовательные

- ввести понятия перестановок и

размещений, факториала;

- ввести формулы для их вычисления;

• развивающие

- создать условия для развития логического

мышления и памяти;

- расширять математический кругозор

- развивать навыки научно -

исследовательской деятельности

• воспитательные

- воспитывать культуру письма, речи

- формировать чувство ответственности

за принятое решение

Задача

а) Сколько имеется трехзначных чисел, составленных только из четных цифр?

Решение

Первой цифрой может быть 2,4, 6 или 8 всего 4 варианта. Второй и третьей цифрой, независимо от выбора первой, может быть любая из цифр 0, 2,4, 6, 8 всего 5 вариантов. По правилу умножения получаем ответ: 4·5· 5 = 100. б) Сколько имеется трехзначных чисел, кратных 5?

Задача

Первой цифрой может быть любая цифра, кроме 0, всего 9вариантов. Второй может быть любая цифра, всего 10 вариантов.

Решение

Первой цифрой может быть любая цифра, кроме 0, всего 9вариантов. Второй может быть любая цифра, всего 10 вариантов. Третья цифра 0 или 5, тут 2варианта. По правилу умножения получаем ответ: 9·10·2 = 180. Перестановкой из n элементов называется комбинация, в которой все эти n элементов расположены в определенном порядке.

Пример 1.

Перестановки из букв А, В, С: ABC, АСВ, ВАС, ВСА, CAB, CBA. Факториал n! = п * (п-1)* (п- 2) ... *2 * 1

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n!	1	1	2	6	24	120	720	5040	40320	362880	3638800

Размещением

• из n элементов по k называется комбинация, в которой какие-то k из этих n элементов расположены в определенном порядке.

Пример 2.

Размещения из букв А, В, С по 2: АВ, ВА, АС, СА, ВС, СА. Перестановки Рn = n! Размещения

=

Сколькими способами можно расставить на книжной полке 10 книг для детей ?

Задача1

Сколькими способами можно расставить на книжной полке 10 книг для детей ? Каждый такой способ

Решение

Каждый такой способ это перестановка из 10 элементов. Р10 =10! = 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10 = 3638800. Пусть даны шесть цифр: 1; 2; 3; 4; 5; 6. Определить сколько трехзначных чисел можно составить из этих цифр.

Задача 2

Пусть даны шесть цифр: 1; 2; 3; 4; 5; 6. Определить сколько трехзначных чисел можно составить из этих цифр. Если цифры могут повторяться, то количество чисел будет

Решение

Если цифры могут повторяться, то количество чисел будет m = = = 216 Если цифры не повторяются, то m = = 6 * 5*4 = 120 Студенты института изучают в каждом семестре по десять дисциплин. В расписание занятий включаются каждый день по 3 дисциплины. Сколько различных расписаний может составить диспетчерская?

Задача 3

Студенты института изучают в каждом семестре по десять дисциплин. В расписание занятий включаются каждый день по 3 дисциплины. Сколько различных расписаний может составить диспетчерская? Расписание на каждый день может отличаться либо предметами, либо порядком расположения этих предметов, поэтому имеем размещения:

Решение

• Расписание на каждый день может отличаться либо предметами, либо порядком расположения этих предметов, поэтому имеем размещения:
= 10 * 9 * 8 = 720

В расписании на понедельник шесть уроков: алгебра, геометрия, биология, история, физкультура, химия. Сколькими способами можно составить расписание на этот день так, чтобы алгебра и геометрия стояли рядом?

Задача 4

В расписании на понедельник шесть уроков: алгебра, геометрия, биология, история, физкультура, химия. Сколькими способами можно составить расписание на этот день так, чтобы алгебра и геометрия стояли рядом? Рассмотрим алгебру и геометрию как один урок. Тогда расписание надо составить из 5 уроков – Р5 способов. В каждой из полученных комбинаций можно выполнить Р2 перестановки алгебры и геометрии. Значит, искомое число способов составления расписания:

Решение

Рассмотрим алгебру и геометрию как один урок. Тогда расписание надо составить из 5 уроков – Р5 способов. В каждой из полученных комбинаций можно выполнить Р2 перестановки алгебры и геометрии. Значит, искомое число способов составления расписания:

• Р5∙Р2=1∙2∙3∙4∙5∙1∙2= 120∙2=240

Сколькими способами 5 мальчиков и 5 девочек могут занять в театре в одном ряду места с 1 по 10? Сколькими способами они могут это сделать, если мальчики будут сидеть на нечетных местах, а девочки – на четных?

Задача 5

Сколькими способами 5 мальчиков и 5 девочек могут занять в театре в одном ряду места с 1 по 10? Сколькими способами они могут это сделать, если мальчики будут сидеть на нечетных местах, а девочки – на четных? Если мальчики и девочки сядут в произвольном порядке, то способов Р10=10!=3628800 .

Решение

Если мальчики и девочки сядут в произвольном порядке, то способов Р10=10!=3628800 . Если мальчики сядут на нечетные места, то существуют Р5 способов их расположения. Столькими же способами могут расположиться девочки на четных местах. Каждому способу расположения мальчиков соответствует Р5 способов расположения девочек. Значит, Р5·Р5=5! ·5!=120·120=14400 способов. Сколько различных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр

Задача 6

Сколько различных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр 0, 2, 4, 6? Из цифр 0, 2, 4, 6 можно получить Р4 перестановок. Исключим те перестановки, которые начинаются с 0. Число таких перестановок равно Р3. Значит, искомое число четырехзначных чисел (без повторения цифр), равно Р4 – Р3.

Решение

Из цифр 0, 2, 4, 6 можно получить Р4 перестановок. Исключим те перестановки, которые начинаются с 0. Число таких перестановок равно Р3. Значит, искомое число четырехзначных чисел (без повторения цифр), равно Р4 – Р3. Получаем, Р4 – Р3 = 4! – 3! = 24 – 6 =18. Найти значение выражения а) б) в) г)

Ответы

а) 15; б)1 / 90; в) 1722; г) 40; Типичная задача, решаемая с помощью размещений: Сколькими способами можно выбрать из n различных предметов k предметов и разместить их на k различных местах? Типичная задача решаемая с помощью перестановок: Сколькими способами можно n различных предметов расставить на n различных местах? Задача 1. 30 книг стоит на книжной полке, из них 27 различных книг и одного автора три книги. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы книги одного автора стояли рядом? Задача 2. На соревнования по легкой атлетике приехала команда из 12 спортсменок. Сколькими способами тренер может определить, кто из них побежит в эстафете 4×100 м на первом, втором, третьем и четвертом этапах? Задача 3. Делится ли число 30! на: а) 90; б) 92; в)94; Молодцы ! Спасибо за урок! Литература

• Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Шарыгин И.Ф. и др. Математика. 8-й класс: Учеб. для общеобразоват. учеб.заведений - М.: Дрофа, 1997.
• Дорофеев Г.В.Математика. 8-й класс: Рабочая тетрадь: К учебнику под редакцией Г.В.Дорофеева, И.Ф.Шарыгина "Математика 6". - М.: Дрофа, 1998.
• Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра. Элементы статистики и теории вероятностей. Учебное пособие для учащихся 7-9 классов общеобразовательных учреждений/ под редакцией Теляковского С.А. – М., «Просвещение», 2003.
• Лекции дистанционного курса «Стандарты второго поколения: стохастическая линия элементы комбинаторики, теории вероятностей и статистики в школьном курсе»
• Интернет – ресурсы (http//combinatorika.narod.ru/,
http//bankzadach.ru/, http//schol-collection.edu.ru/, и т.д.