Презентация "Решение прототипов В 4" 8-9 класс

Решение прототипов В 4

Презентацию подготовила

учитель математики МАОУ Лицей № 62

города Саратова

Воеводина Ольга Анатольевна

Часть 1

№ 27949

Найдите радиус R окружности, описанной около треугольника ABC, если стороны квадратных клеток равны 1. В ответе укажите .

Решение.

Так как окружность описана около

прямоугольного треугольника, то ее центр лежит на середине гипотенузы.

***

Ответ: 5

О

№ 27950

Найдите радиус окружности, описанной около правильного треугольника ABC, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Решение

Так как треугольник правильный, то центр окружности описанной около него лежит на медиане, которая является биссектрисой и высотой.

BD=3.

D

Так как медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в отношении 2:1, считая от вершины, то ВО=2, OD=1, значит R=2.

Ответ: 2

О

№ 27951

Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Решение.

Центр окружности, вписанной в треугольник лежит на пересечении биссектрис.

О

D

F

N

OD=OF=ON=r

(по гипотенузе и острому углу), FODC -квадрат

Пусть FC=CD=x, тогда AF=3-x, значит AN=3-x,

AB=5, тогда NB=5-AN=5-3+x=2+x, BD=4-CD=4-x.

Так как NB=BD, то 2+x=4-x, откуда x=1, значит FC=1, r=1.

Ответ: 1

№ 27952

Найдите радиус r окружности, вписанной в четырехугольник ABCD. В ответе укажите

Решение

Полученные прямоугольные треугольники равны, значит

BC=CD=AD=AB=

ABCD – квадрат, так как окружность вписана в него, то сторона квадрата через радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:

Ответ: 5

№ 77152

Основания равнобедренной трапеции равны 6 и 12. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Найдите боковую сторону.

А

В

С

D

12

6

Решение. sinD=0,8, значит cosD=0,6

Так как трапеция равнобедренная, то углы при основании равны, AE=BF как высоты, треугольники равны, значит DE=3, CF=3, EF=6.

E

F

Ответ: 5

№ 27944

Около окружности, радиус которой равен , описан квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Решение

Центр вписанной и описанной окружностей около квадрата совпадают.

Сторона правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности выражается формулой:

Через радиус описанной окружности выражается формулой:

О

Ищем сторону квадрата:

Тогда

Ответ: 4

№ 27945

Около окружности, радиус которой равен , описан правильный шестиугольник. Найдите радиус окружности, описанной около этого шестиугольника.

Решение.

О

Сторона правильного шестиугольника через

радиус вписанной окружности выражается

формулой:

Через радиус описанной окружности выражается формулой:

Найдем сторону шестиугольника:

Значит R=1.

Ответ: 1

№ 27946

Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника ABC, если стороны квадратных клеток равны 1.

Решение.

Так как центр окружности, описанной около прямоугольного

треугольника лежит на середине гипотенузы, а по рисунку АВ=5, то

R=2,5

Ответ: 2,5

№ 27947

Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника ABCD, если стороны квадратных клеток равны 1.

Решение.

Из прямоугольных треугольников ВС=

AD=

Так как окружность описана около

прямоугольника, то ее центр совпадает с точкой пересечения диагоналей, а диагональ BD=5, значит радиус равен 2,5.

Ответ: 2,5.

О

Напоминание:

У прямоугольника

диагонали равны.

№ 27939

В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB=10, CD=16 . Найдите периметр четырехугольника.

Решение.

Если в четырехугольник вписана окружность, то суммы противоположных

сторон равны, то есть

AD+BC=DC+AB

DC+AB=10+16=26, AD+BC=26,

значит периметр четырехугольника

равен 26+26=52.

Ответ: 52

№ 27940

Периметр четырехугольника, описанного около окружности, равен 24, две его стороны равны 5 и 6. Найдите большую из оставшихся сторон.

Решение.

Так как AD+BC=AB+DC, а P=24, то

AD+BC=12, AB+DC=12,

AD+5=12, 6+DC=12,

AD=7 DC=6

Значит большая сторона равна 7.

Ответ: 7

№ 27942

Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен 32.

Решение

AB+DC=AD+BC=16

Пусть AB=x, AD=2x, BC=3x,

x+DC=16, 2x+3x=16, x=3,2,

DC=16-3,2=12,8

Ответ: 12,8

№ 27934

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5, основание равно 6. Найдите радиус вписанной окружности.

Решение

Ответ: 1,5

№ 27935

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 5 и 3, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

D

5

3

Решение.

Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис, СК, проведенная к основанию является высотой и медианой. Выделенные треугольники равны по гипотенузе и острому углу, значит DB=КВ=3, то есть АВ=6.

Р(АВС)=8+8+6=22

Ответ: 22

К

3

r

r

№ 27936

Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 3 и 5. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение.

Так как AD+CB=DC+AB, по условию

AD+BC=8, значит AB+DC=8.

Средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований, то есть

(DC+AB):2=8:2=4

Ответ: 4

№ 27937

Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 40. Найдите ее среднюю линию.

Решение

Так как AD+CB=AB+DC=20, то средняя линия равна: (AB+DC):2=20:2=10

Ответ: 10

№ 27938

Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 22, ее большая боковая сторона равна 7. Найдите радиус окружности.

Решение.

Так как AD+BC=AB+DC=11, то AD+7=11, AD=11-7=4.

Радиус окружности равен: AD:2=4:2=2

Ответ: 2

.

r

r

O

№ 27929

Периметр правильного шестиугольника равен 72. Найдите диаметр описанной окружности.

Решение.

Так как шестиугольник правильный, то найдем его сторону: АВ=72:6=12.

Сторона правильного шестиугольника выражается через радиус описанной окружности формулой АВ=R, значит R=12, а диаметр равен 24.

Ответ: 24

№ 27930

Угол между стороной правильного n-угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен Найдите n.

•

О

54

54

R

R

R

Решение

Треугольники равнобедренные, значит углы при основании равны, значит внутренний угол n-угольника равен

Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна:

где n- число сторон.

Тогда сумма внутренних углов данного n-угольника равна 108n, составим уравнение: 108n=

108n-180n=-360

• 72n= - 360

n=5

Ответ: 5

№ 27925

Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен , большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.



Решение.

Так как трапеция равнобедренная, то углы при основании равны, угол D равен углу С и равны 120 градусов. Треугольник ADC равнобедренный, значит углы при основании по 30 градусов. Угол АСВ равен 90 градусов, треугольник АСВ прямоугольный и около него описана окружность, значит ее центр лежит на середине гипотенузы АВ, а так как АВ=12, значит радиус описанной окружности равен 6.

Ответ: 6