План-конспект урока "Начала тригонометрии"

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА «НАЧАЛА ТРИГОНОМЕТРИИ»

Дата: 11.03.2015

Первый курс, группа 11.

I. Организационный момент.

Проверить готовность к уроку.

II. Новая тема.

1. Число, тема урока – «Начала тригонометрии».

Слово “тригонометрия” впервые встречается в 1505 году в заглавии книги

немецкого теолога и математика Питискуса. Происхождение этого слова

греческое rpiycovov - треугольник, fiETpeco - мера. Иными словами,

тригонометрия наука об измерении треугольников. Тригонометрия выросла

из человеческой практики, в процессе решения конкретных практических

задач в областях астрономии, мореплавания и в составлении географических

карт.

Хотя название науки возникло сравнительно недавно, многие относимые

сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны ещё две тысячи лет

назад.

2. Перенесемся 20 веков назад. Возьмем прямоугольный треугольник.

Что с ним делать? Древние люди знали!

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4. Гипотенуза (ТП)

равна 5. Вычисли отношения сторон этого треугольника:

а/в=3/4; а/с=3/5; в/с=4/5; с/в=5/4 и т.д.

Увеличим стороны треугольника в 2 раза – 6, 8, 10. Рассмотрим отношения

сторон, сходственных первому треугольнику: а/в=6/8=3/4; а/с=6/10=3/5;

с/и=10/8=5/4 и т.д

I вывод древних людей: «При сохранении величин углов в прямоугольном

треугольнике отношения соответствующих сторон не меняется».

Это утверждение очень важно, настолько важно, что эти отношения

заслужили свои специальные названия, свои имена: а/с=sinx; b/c=cosx;

a/b=tgx; b/a=ctgx. Эти имена назвали тригонометрическими функциями угла

х. Так как отношения сторон – числа, то …

II вывод древних людей: «Тригонометрические функции угла – это числа.

Для каждого угла свои.»

3. А почему мы говорим синус угла, косинус угла? В формулах мы видим

отношения сторон. Причем здесь угол?

Построим произвольный угол β. Раз есть угол, значит должны быть синус,

косинус, тангенс этого угла, Но! У нас нет прямоугольного треугольника!!!

Как определить тригонометрические функции угла без прямоугольного

треугольника? Задачка… Придётся опять лезть в сокровищницу мировых

знаний. К средневековым людям. Те всё умели...

Первым делом возьмём координатную плоскость. Это самые обычные

координатные оси, ОХ – по горизонтали, ОY – по вертикали. И… прибьём

одну сторону угла к положительной полуоси ОХ. Вершина угла, естественно,

в точке О. Крепко прибьём, чтобы не оторвать! Вторую сторону оставим

подвижной, чтобы угол можно было менять. Раздвижной у нас угол будет.

Конец не прибитой стороны угла обозначим точкой А. Получим вот такую

картинку:

Отметим координаты точки А на осях. На ОХ это будет точка В, на ОY -

точка С. Понятно, что В и С - это какие-то числа. Координаты точки А.

Так вот, число В будет косинусом угла β, а число С – его синусом!

Посмотрите на треугольник ОАВ. Прямоугольный, кстати… По древнему

определению косинус угла β равен отношению прилежащего катета к

гипотенузе. Т.е. ОС/ОА. Ладно, не возражаем. Причём косинус и синус не

зависят от длин сторон. А это вообще отлично! Это значит, что длины сторон

можно брать какие угодно. Имеем полное право взять длину ОА за единицу!

Неважно чего. Хоть метр, хоть километр, всё равно синус/косинус не

меняются. А в этом случае cos β=OC/OA=OC/1=OС - координата точки А

по оси Ох (абсцисса), аналогично sin β=AC/OA=AC/1=AC – координата

точки А по оси ОУ (ордината). tg β=АС/ОС – отношение ординаты точки к

ее абсциссе.

4. Опять древние! А сейчас попробуем найти ответ на вопрос – каким

образом все, о чем мы говорили, помогало древним? Зачем им это все было

надо?

Возьмем подвижную сторону ОА и повернем её вокруг точки О на полный

оборот. Как вы думаете, какую фигуру нарисует при этом точка А?

Совершенно верно! Окружность! Вот она. Какую окружность

рассматривали/изучали древние с помощью поворотов на заданные углы?

Конечно же – небесный свод! При переносе небесного свода на наш чертеж,

получим окружность. Так как ее радиус мы взяли равным условной единице

– окружность назвали единичной. Так как на этой окружности отмечаем

тригонометрические функции – окружность тригонометрическая. И так как

синусы, косинусы и прочее – числа, окружность стала числовой. Три термина

в одном флаконе.

В данной теме эти понятия: тригонометрический круг, единичная

окружность и числовая окружность – одно и то же. В более широком смысле,

единичная окружность – это любая окружность с радиусом, равным единице.

Тригонометрический круг – практический термин, как раз для работы с

единичной окружностью в тригонометрии.

5. Работа наоборот! Пусть нам дана единичная окружность. Т.е. просто

окружность, нарисованная на координатной плоскости, с радиусом, равным

единице. Возьмём произвольно точку А на окружности. Отметим её

координаты точками В и С на осях. Как нам помнится, её координаты - это

cosβ (по иксу) и sinβ (по игреку). И синус с косинусом отметим. Получим вот

такую картинку:

Всё понятно? Внимание, вопрос! Где β!? Где угол β, без которого синуса и

косинуса не бывает!? Соединим точку А с центром окружности точкой О –

вот и нашли угол β!

Уловили суть тригонометрического круга? Если взять точку в любом месте

окружности, её координатами будут косинус и синус угла.

6. Подведём итоги урока.

Тема нашего урока «Начала тригонометрии». Мы договорились о

единообразии обозначений и некоторых действий, ввели основные, базовые

определения тригонометрии. В этой теме мы плавно перешли от

тригонометрических функций угла в прямоугольном треугольнике к

тригонометрическим функциям любого угла. Для этого нам понадобилось

освоить понятия "тригонометрический круг, единичная окружность,

числовая окружность". Это очень полезно.

Sinβ

Cosβ С

III. Практическая работа по теме урока.

Рисовать вам этот круг в тригонометрии постоянно придётся. Это не

обязаловка, это и есть та легальная шпаргалка, которой пользуются умные

люди. Сомневаетсь? Тогда назовите мне по памяти знаки вот таких

выражений, к примеру: sin130 градусов, cos150 градусов, sin250 градусов? Я

уж не спрашиваю про cos10500 или sin1450...

И нигде-то вы подсказку не найдёте. Только на числовой окружности.

Рисуем примерный угол в правильной четверти и сразу видим, куда

попадают его синус и косинус. На положительные полуоси, или

отрицательные. Кстати, определение знаков тригонометрических функций

постоянно требуется в самых различных заданиях...

Надо вам, например, узнать, что больше, sin130 градусов, или sin155

градусов? Попробуй-ка, сообрази просто так…

А мы умные, мы нарисуем тригонометрический круг. И нарисуем на нём

угол примерно 130 градусов. Исходя только из того, что он больше 90 и

меньше 180 градусов. Ориентируемся на угол, а не на окружность! Уж где

пересечёт подвижная сторона угла окружность, там и пересечёт. Отмечаем

игрековую координату точки пересечения. Это будет sin130 градусов. А

затем, здесь же, нарисуем угол 155 градусов. Примерно нарисуем, зная, что

он больше 130 градусов. И меньше 180. Отметим и его синус. Тут уж совсем

трудно ошибиться! Конечно sin130 градусов больше, чем sin155 градусов!

Использую тригонометрический круг, сравните синусы, косинусы углов

(домашнее задание) – 30, 45, 60, 90, 120, 150, 180, 225, 240 градусов.

cos30

cos45

cos60

cos 60

cos 90

cos120

cos150

cos180

cos225

cos240

Сделайте выводы о соотношениях для синусов и косинусов углов!

IV. Оценка и самооценка каждого учащегося своей работы на

уроке.

V. Домашнее задание.

В чём измеряются углы? Ответ очевиден – в градусах. Ответьте мне тогда,

что такое градус?

Градусы придумали в Древнем Вавилоне. Давненько это было... Веков 40

назад... И придумали просто. Взяли и разбили окружность на 360 равных

частей. 1 градус - это 1/360 часть окружности. И всё. Могли разбить на 100

частей. Или на 1000. Но разбили на 360. Кстати, почему именно на 360? Чем

Sin30

Sin45

Sin60

Sin90

Sin120

Sin150

Sin180

Sin225

Sin240

360 лучше 100? 100, вроде, как-то ровнее... Попробуйте ответить на этот

вопрос. Или слабо против Древнего Вавилона?

Скачать материал

План-конспект урока "Начала тригонометрии"

Алгебра - еще материалы к урокам:

Предметы

Похожие материалы