Практика по тригонометрии "Решение тригонометрических уравнений различных типов"
Решение тригонометрических уравнений различных типов
1. Метод разложения на множители.
Использование данного метода основывается на правиле:
«Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю». Если
левая часть уравнения представлена в виде произведения, то уравнение
распадается на более мелкие.
Пример 1: уравнение
распадается на
два уравнения
или
.
Для представления левой части в виде произведения используются
следующие способы:
- вынесение общего множителя за скобки:
Пример 2:
Общий множитель , выносим его за скобку, получаем
. Далее решаем, как в примере 1.
- использование тригонометрических формул и дальнейшее вынесение
общего множителя за скобки:
Пример 3:
Воспользуемся формулой ; получаем
. Далее решаем, как в примере 2.
- использование формул приведения:
Пример 4:
Воспользуемся формулой приведения
, получим
Далее продолжаем решение как в примере 2.
- использование формул преобразования суммы и разности
тригонометрических функций в произведение:
Пример 5: =0.
Воспользуемся формулой
, получим
. Далее упрощаем аргументы синуса и косинуса и
решаем, как в примере 1.
Решите уравнения: (задания в группах)
1.
(I уровень)
2. (II уровень)
3.
(III уровень).
Указание: Воспользуйтесь формулой приведения, сгруппируйте два
слагаемых из трех и воспользуйтесь формулой преобразования
суммы и разности тригонометрических функций в произведение.
2. Метод замены переменной.
Метод заключается в том, что все тригонометрические функции,
которые входят в уравнение, выражают через какую-нибудь одну
тригонометрическую функцию, зависящую от одного и того же аргумента.
Эту функцию называют новой переменной и решают рациональное
уравнение. Найдя его корни, делают обратную замену.
Пример 1:
.
Сделаем замену переменной: , . (Так как синус
определен на отрезке ).
Приходим к квадратному уравнению:
.
Находим корни:
- не подходит, так как .
Сделаем обратную замену: . Откуда
Для приведения уравнения к одной тригонометрической функции
одинакового аргумента используются следующие способы:
- использование основного тригонометрического тождества:
Пример 2:
.
Из основного тригонометрического тождества имеем:
. Получаем:
. Приводим
подобные слагаемые и решаем как в примере 1.
- использование формул приведения:
Пример 3:
.
По формуле приведения
.
Получаем
. Раскрываем скобки и решаем как в
примере 1.
- использование формул двойного аргумента:
Пример 4: .
Используя формулы двойного аргумента
;
.
Получаем:
. Приводим подобные слагаемые и
решаем как в примере 1.
Решите уравнения: (задания в группах)
1.
(I уровень)
2.
(II уровень)
3.
(III уровень).
Математика - еще материалы к урокам:
- Презентация "Проценты в нашей жизни" 6 класс
- Презентация "Нахождение площади фигур и объемов тел" 5 класс
- Открытый урок "Нахождение площади фигур и объемов тел" 5 класс
- Проверочная работа по теме "Простейшие тригонометрические неравенства" 10 класс
- Презентация "Задание 7 ЕГЭ по математике"
- Презентация "Задачи c экономическим содержанием в ЕГЭ"
