Ученики на Учителя.com


Решение однородных тригонометрических уравнений 10 класс

Тема «Решение однородных тригонометрических уравнений».
Тип урока: Урок изучения нового.
Учебник: А.Г. Мордкович и др. Алгебра и начала анализа 10 – 11.
Цели урока:
1. Сформировать умение решать однородные тригонометрические уравнения,
отработать навыки решения всех видов тригонометрических уравнений,
2. Развивать и совершенствовать умения, применение знаний в измененной ситуации,
развивать логическое мышление, умение делать выводы и обобщения.
3. Воспитывать аккуратность при записях, самостоятельность выбора способа
решения.
Оборудование урока: презентация, магнитная доска, карточки; чистые листы для
самостоятельной работы; таблицы по тригонометрии:
а) значения тригонометрических функций;
б) решение простых тригонометрических уравнений (частные случаи);
в) основные формулы тригонометрии;
I. Организационный этап.
= сообщение целей урока
= организация внимания учеников
= готовность рабочего места учеников.
II. Проверка домашнего задания.
а) записать на доске решения простейших тригонометрических уравнений вида:
sin x = a , cos x = a , tg x= a , ctg x = a.
б) решить уравнения:
.01sincos3
,0123
2
xx
xtg
Эти уравнения решают вызванные к доске учащиеся.
в) Устный опрос:
найти ошибки в решениях тригонометрических уравнений:


 
kkx
x
,
4
2
2
sin

 


kkx
x
k
,2
6
1
2
1
sin
1


• вычислите arcsin (-0,5), arccos (-0,5) , arctg (-
3
1
) , arcsin
.
III. Этап подготовки к активному и сознательному усвоению нового
материала.
Назвать уравнения, которые учащиеся знают, каким способом можно решить
1. cos ( 4x – 2 ) = 0,5
2. cos
2
x- 2 cos x = 0
3. 3 sin
2
x – 5 sin x – 2 = 0
4. 2 sin x – 3 cos x = 0
5. ( tg x -
)3
( 2 sin
0)1
2
х
6. 3 sin
2
x - 4 sin x • cos x + cos
2
x = 0.
IV. Этап усвоения новых знаний.
Преподаватель дает учащимся определения однородных тригонометрических
уравнений, знакомит со способами их решения.
Определение. Уравнение вида a sinx + b cosx =0, где a ≠ 0, b ≠ 0 называется однородным
тригонометрическим уравнением первой степени.
Примером такого уравнения является уравнение №4. Выпишем общий вид уравнения и
проанализируем его.
а sinx + b cosx = 0.
Если cosx = 0, то sinx = 0.
– Может ли получиться такая ситуация?
– Нет. Получили противоречие основному тригонометрическому тождеству.
Значит, cosx ≠ 0. Выполним почленное деление на cosx:
а · tgx + b = 0
 
– простейшее тригонометрическое уравнение.
Вывод: Однородные тригонометрические уравнения первой степени решаются делением
обеих частей уравнения на cosx (sinx).
Например: 2 sinx – 3 cosx = 0,
Т.к. cosx ≠ 0, то
2tgx – 3 = 0;
tgx =
;
х = arctg
+πn, n Z.
Определение. Уравнение вида a sin
2
x + b sinx cosx + c cos
2
x = 0 , где a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠
0 называется тригонометрическим уравнением второй степени.
Примером такого уравнения является уравнение №6. Выпишем общий вид уравнения и
проанализируем его.
a sin
2
x + b sinx cosx + c cos
2
x = 0.
Если cosx = 0, то sinx = 0.
Опять получили противоречие основному тригонометрическому тождеству.
Значит, cosx ≠ 0. Выполним почленное деление на cos
2
x:
а tg
2
x + b tgx + c = 0 – уравнение, сводящееся к квадратному.
Вывод: Однородные тригонометрические уравнения второй степени решаются делением
обеих частей уравнения на cos
2
x (sin
2
x).
Например: 3 sin
2
x – 4 sinx cosx + cos
2
x = 0.
Т.к. cos
2
x ≠ 0, то
3tg
2
x – 4 tgx + 1 = 0 (Предложить ученику выйти к доске и дорешать
уравнение самостоятельно).
Замена: tgx = у. 3у
2
– 4 у + 1 = 0
D = 16 – 12 = 4,
= 1 или
tgx = 1 или tgx =
tgx = 1: х = arctg1 + πn, n Z.
x =
+ πn, n Z.
tgx =
: x = arctg (
) + πn, n Z.
V. Этап проверки понимания учащимися нового материала
Выберите лишнее уравнение:
sinx = 2cosx; 2sinx + cosx = 2;
√3sinx + cosx = 0; sin
2
x – 2 sinx cosx + 4cos
2
x = 0;
4cosx + 5sinx = 0; √3sinx – cosx = 0.
VI. Закрепление нового материала.
Учащиеся вместе с отвечающими у доски решают уравнения на новый материал.
1) √3sinx + cosx = 0,
Т.к. cosx ≠ 0, то √3tgx + 1 = 0; tgx = –
; х = arctg (-
) + πn, n Z.
х = –
+ πn, n Z.
2) sin
2
x – 10 sinx cosx + 21cos
2
x = 0.
Т.к. cos
2
x ≠ 0, то tg
2
x – 10 tgx + 21 = 0
Замена: tgx = у. у
2
– 10 у + 21 = 0
у
1
= 7 или у
2
= 3
tgx = 7 или tgx = 3
tgx = 7: х = arctg7 + πn, n Z
tgx = 3: х = arctg3 + πn, n Z
3) sin
2
2x – 6 sin2x cos2x + 5cos
2
2x = 0.
Т.к. cos
2
2x ≠ 0, то 3tg
2
2x – 6tg2x +5 = 0
Замена: tg2x = у. 3у
2
– 6у + 5 = 0
D = 36 – 20 = 16. у
1
= 5 или у
2
= 1
tg2x = 5 или tg2x = 1
tg2x = 5: 2х = arctg5 + πn, n Z
х =
arctg5 +
n, n Z
tg2x = 1: 2х = arctg1 + πn, n Z
х =
+
n, n Z
4) 6sin
2
x + 4 sin(π-x) cos(2π-x) = 1.
6sin
2
x + 4 sinx cosx = 1.
5sin
2
x + 4 sinx cosx – cos
2
x = 0.
Т.к. cos
2
x ≠0, то 5tg
2
x + 4 tgx –1 = 0
Замена: tg x = у. 5у
2
+ 4у – 1 = 0
D = 16 + 20 = 36. у
1
=
или у
2
= –1
tg x =
или tg x = –1
tg x =
: х = arctg
+ πn, n Z
tg x = –1: х = arctg(–1) + πn, n Z , х = –
+ πn, n Z
Дополнительно (на карточке):
Решить уравнение и, выбрав один вариант из четырех предложенных, отгадать имя
математика, который вывел формулы приведения:
2sin
2
x – 3 sinx cosx – 5cos
2
x = 0.
Варианты ответов:
х = arctg2 + 2πn, n Z х = –π/2 + πn, n Z – П.Чебышев
х = arctg 12,5 + 2πn, n Z х = –3π/4 + πn, n Z – Евклид
х = arctg 5 + πn, n Z х = –π/3 + πn, n Z – Софья Ковалевская
х = arctg2,5 + πn, n Z х = –π/4 + πn, n Z – Леонард Эйлер
Правильный ответ: Леонард Эйлер.
VII. Дифференцированная самостоятельная работа
Великий математик и философ более 2500 лет назад подсказал способ развития
мыслительных способностей. «Мышление начинается с удивления» – сказал он. В
правильности этих слов мы сегодня неоднократно убеждались. Выполнив
самостоятельную работу по 2-м вариантам, вы сможете показать, как усвоили
материал и узнать имя этого математика. Для самостоятельной работы используйте
раздаточный материал, который находится у вас на столах. Вы можете сами выбрать
одно из трех предложенных уравнений. Но помните, что решив уравнение,
соответствующее желтому цвету, вы сможете получить только «3», решив уравнение,
соответствующее зеленому цвету – «4», красному цвету – «5». (Приложение )
Какой бы уровень сложности не выбрали учащиеся, после правильного решения
уравнения у первого варианта получается слово «АРИСТ», у второго – «ОТЕЛЬ».
Листочки с самостоятельной работой сдаются на проверку.
VIII. Запись домашнего задания
Д/з: № 376(в, г), №378(в, г), №379(в, г).
Подведение итогов урока, выставление оценок
Учитель еще раз обращает внимание, на те типы уравнений и те теоретические факты,
которые вспоминали на уроке, говорит о необходимости выучить их.
Учащиеся отвечают на вопросы:
1. С каким видом тригонометрических уравнений мы познакомились?
2. Как решаются эти уравнения?
Учитель отмечает наиболее успешную работу на уроке отдельных учащихся, выставляет
отметки.
Анализ усвоения материала и интереса учащихся к теме.
К сожалению, нельзя указать общего метода
решения тригонометрических уравнений, почти каждое из них (кроме простейших) требует
особого подхода.
«Мышление начинается с удивления», – заметил 2 500 лет назад Аристотель. Наш
соотечественник Сухомлинский считал, что «чувство удивления – могучий источник желания
знать; от удивления к знаниям – один шаг». А математика замечательный предмет для удивления.
Учащиеся освоили решение однородных уравнений, в процессе решения проявили интерес
к данной теме. Полученные знания будут использованы при решении более сложных уравнений.
Приложение
Карточки на столы:
Вариант 1
(3 балла)
sin3x - cos3x = 0
х=

+
n, n
Z (АРИСТ)
х=

+ 3πn, n
Z (ЕВК)
х=

+
n, n
Z (ДЕК)
х=

+ 2πn, n
Z (ЭЙ)
(4 балла)
sin² x - 5 sinx cosx + 4cos²x = 0
х= arctg4+ πn, n
Z
х=
+πn, n
Z (АРИСТ)
х= 4 arctg4+ 4πn, n
Z
х= π + 4π n, n
Z (ДЕК)
х=
arctg4+
n, n
Z
х=
+
n, n
Z (ЕВК)
х=
arctg2+
n, n
Z
х=

+

n, n
Z (ЭЙ)
(5 баллов)
3sin²x – sinx cosx = 2
х= arctg2+ 4πn, n
Z
х= -
+ 2πn, n
Z (ЕВК)
х= 5 arctg2+ 5πn, n
Z
х= -
+

, n
Z (ЭЙ)
х= arctg2+ πn, n
Z
х= -
+ πn, n
Z (АРИСТ)
х=
arctg4+
n, n
Z
х= -

+ 5πn, n
Z (ДЕК)
Вариант 2
(3 балла)
5 sin2x +6 cos2x = 0
х= -
arctg
+
n, nZZ (ОТЕЛЬ)
х= -2arctg
+2πn, n
Z (ЛИД)
х=
arctg
+π n, n
Z (АРТ)
х= -
arctg
+π/2 n, n
Z (ЛЕР)
(4 балла)
sin²x - 4 sinx cosx - 5cos²x = 0
х= arctg5+ πn, n
Z
х=-
+πn, n
Z (ОТЕЛЬ)
х=
arctg5+
n, n
Z
х=- π/32 +
n, n
Z (АРТ)
х=8 arctg5+ 8π n, n
Z
х=-
+8πn, n
Z (ЛИД)
х=-
arctg4+
n, n
Z
х=-
+
n, n
Z (ЛЕР)
(5 баллов)
4sin²x +2sinx cosx = 3
х=2аrctg3+πn, n
Z
х=π+4 πn, n
Z (ЛИД)
х=-2аrctg3+πn, n
Z
х=
+ πn, n
Z (ЛЕР)
х=-аrctg3+πn, n
Z
х=
+πn, n
Z (ОТЕЛЬ)
х=-4аrctg6+2πn, n
Z
х=
+2 πn, n
Z (АРТ)
Скачать материал

Алгебра - еще материалы к урокам: