Ученики на Учителя.com


Решение задач с параметрами

Решение задач с параметром
Творческая работа
Крухмалевой Марины Николаевны
учителя математики МОУ «СОШ №66 им. Н. И. Вавилова»
г. Саратова
Глава 1 «Теоретические основы изучения темы «Задачи с параметром» в
школьном курсе математики»
Аналитический способ решения задач с параметрами.
Если уравнение кроме неизвестных содержит числа, обозначенные
буквами, то они называются параметрами, а уравнение параметрическим.
Параметр – некоторое фиксированное , но неизвестное число.
Следует иметь ввиду, что параметрическое уравнение задает не одно
уравнение, а целое семейство уравнений, определяемых параметром.
Придавая параметрам различные значения, будем получать различные
уравнения с числовыми коэффициентами.
Преимущественно встречаются уравнения:
- с одним параметром и одним неизвестным;
- с двумя параметрами и одним неизвестным;
- с одним параметром и двумя неизвестными;
- с двумя параметрами и двумя неизвестными.
Решить уравнение с параметрами означает следующее:
исследовать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни
и сколько их при разных значениях параметров;
найти все выражения для корней и указать для каждого из них те
значения параметров, при которых это выражение действительно
определяет корень уравнения.
Все задачи с параметром можно условно разбить на два класса.
К первому классу отнесем задачи, в которых требуются решить уравнение
при всех значениях параметра. В таких задачах нужно провести полное
исследование решения, рассмотреть следующие случаи:
- случай, при котором задача не имеет смысла;
- случай, при котором задача не имеет решения;
- случай, при котором задача имеет единственное решение или конечное
число конкретных решений;
- случай, при котором задача имеет бесчисленное множество решений.
Ко второму классу относятся задачи, в которых нужно из всех значений
параметров выделить те, при которых уравнение будет обладать
некоторыми задаваемыми свойствами. В таких задачах не следует
проводить полного исследования решения, а достаточно привести решение,
которое приведет к ответу на поставленный вопрос задачи.
1.1.Линейные уравнения с одной переменной, содержащие параметр.
Уравнение вида ах + в = 0, где а и в – некоторые постоянные, называется
линейным уравнением.
Рассмотрим решение линейных уравнений. Пусть а – любое число неравное
нулю, с- любое число.
Уравнение
Решение
Примеры
Уравнение
Ответ
ах=0
х=0
5х=0
х=0
0∙х=а
Уравнение не имеет
решений.
0∙ х=5
Нет
0∙х=0
Уравнение имеет
множество решений
5х=5х
х- любое
число
а∙х=с
Уравнение имеет
единственный корень
х=
с
а
5х=10
х=2
Приведенная таблица является опорной при решении параметрических задач
данного типа.
Особенностью решения линейного уравнения с параметром является
рассмотрение двух случаев:
А) коэффициент при переменной равен нулю;
Б) коэффициент при переменной не равен нулю.
Пример 1. ах=1.
Решение уравнения сводится к рассмотрению двух случаев.
1) Если а=0, то уравнение имеет вид 0∙х=1,которое не имеет решений.
2) Если а≠0 , то можно разделить обе части уравнения на m, и уравнение
имеет единственное решение х=
1
а
.
Пример 2. ау=0.
Решение уравнения сводится к рассмотрению двух случаев.
1) Если а=0 , то уравнение имеет вид 0∙у=0, которое имеет бесконечное
множество решений, корнем является любое действительное число.
2)Если а≠0, то у=0.
Пример 3. ах=а.
Решение уравнения сводится к рассмотрению двух случаев.
1)Если а=0, то получим 0∙х=0, которое имеет бесконечное множество
решений.
2)Если а≠0, то х=
а
а
, х=1.
Пример 4. (а-1)х=а.
1) Если а-1=0, а=1, то получим уравнение 0∙х=1,которое не имеет решений.
2)Если а≠1, то х=
а
а−1
.
Пример 5. (а+3)х=а+3.
1)Если а= -3, то получим 0∙х=0, которое имеет бесконечное множество
решений, корнем является любое действительное число.
2) Если а≠ -3, то х=
а+3
а+3
, х=1.
Пример 6. (7-3а)х=0.
7-3а=0
а =
7
3
= 2
1
3
.
1) Если а=2
1
3
, то 0∙х=0, которое имеет бесконечное множество решений,
корнем является любое действительное число.
2) Если а≠2
1
3
,то х=0.
Пример 7. При каком значении параметра, уравнение (3-2а)х=0,имеет
единственное решение. Определим значение а.
3-2а=0
а =1,5.
Ответ: при а≠1,5 уравнение имеет единственное решение х=0.
Пример 8. (а
2
-1)х=2 а
2
+ а -3.
Решение. Приведем данное уравнение к виду (а-1)(а+1)х=(2а+3)(а-1).
Если а=1, то уравнение принимает вид 0 х=0, его решением является любое
действительное число.
Если а=-1, то уравнение принимает вид 0 х=-2, это уравнение не имеет
решений.
Если а 1, то уравнение имеет единственное решение х=
2а+3
а+1
.
Это значит, что каждому допустимому значению а соответствует
единственное значение х.
Ответ: если а=1, то х- любое действительное число;
если а=-1, то уравнение не имеет решений;
если а 1, то х=
2а+3
а+1
.
Пример 9. При каких значениях параметра а уравнение имеет бесконечное
множество решений?
6(ах-1)-а=2(а+х)-7.
Решение. Приведем данное уравнение к виду 2х(3а-1)=3а -1.
Если 3а-1 0,т.е. а , то х= .
Если 3а-1=0, т.е. а= , то уравнение примет вид 2х 0=0, его решением
является любое число.
Ответ: уравнение имеет бесконечное множество решений при а= .
Пример 10. При каких значениях параметра а уравнение не имеет решений?
=2а.
Приведем данное уравнение к виду х(5+2а)=4а-8.
Если 5+2а
0,т.е.
а
-
, то х= .
Если 5+2а =0,т.е. а =- , то уравнение примет вид х 0=-18, это уравнение не
имеет решений.
Ответ. уравнение не имеет решений при а =- .
1.2.Квадратные уравнения, содержащие параметр.
Пример 11. Решить относительно х:
ах
2
-2х+4=0
Если а=0, тогда уравнение примет вид -2х+4=0, отсюда х=2.
Если а
0, то D=4-16а.
Если 4-16а≥0, т.е а≤
, х
1,2
=
Если 4-16а<0, т.е. а>
, то уравнение не имеет решений.
Ответ: если а=0, то х=2;
если а 0
и
а≤ , то уравнение имеет два решения х
1,2
=
если
а 0
и
а> , то уравнение не имеет решений.
Пример 12. При каких значениях а уравнение ах
2
-х+3=0 имеет единственное
решение?
Если а=0, тогда уравнение примет вид –х+3=0, отсюда х=3.
Если а
0, то D=1-12а.
Уравнение будет иметь единственное решение при D=0.
1-12а=0, отсюда а=
.
Ответ: уравнение имеет единственное решение при а=0 или
а=
.
Пример 13. При каких значениях а уравнение ах
2
+4х+а+3=0 имеет более
одного корня?
Если а=0, то уравнение примет вид 4х+3=0, которое имеет единственный
корень, что не удовлетворяет условию задачи.
Если а
0, то D=16-4а
2
-12а.
Уравнение имеет более одного корня при D>0.
16-4а
2
-12а>0.
Рассмотрим функцию у=16-4а
2
-12а.
Найдем нули этой функции, решая уравнение 16-4а
2
-12а=0.
а1=-4; а2=1.
Функция принимает положительные значения, если -4<а<1.
Ответ: уравнение имеет более одного корня, если -4<а<0 и 0<а<1.
Пример 14. Найти коэффициент а, если корни уравнения
х
2
-2х+а=0.
связаны соотношением 2х1+х2=3.
х
2
-2х+а=0.
По теореме Виета х
1
+х
2
=а и х
1
х
2
=2.
Составим систему:
Решая эту систему, получаем, что х
1
=1, х
2
=1,тогда а=1.Ответ: а=1.
1.3.Системы линейных уравнений с параметром.
Системы линейных уравнений вида
1) имеют единственное решение, если ;
2) не имеют решений, если
=
;
3) имеют бесконечное множество решений, если
= =
.
Пример 15 . Найти все значения параметра а, при котором система имеет
бесконечное множество решений:
Система имеет бесконечное множество решений, если выполняется условие:
= = .
1) = ;
ОДЗ: а
0,
а
-3.
(а+1)(а+3)=8а, отсюда а
2
-4а+3=0.
D>0, а1=1 и а2=3. Оба значения входят в область допустимых значений.
2)
= ;
ОДЗ: а ; а -3
4а(а+3)=8(3а-1), отсюда а
2
-3а+2=0.
D>0, а1=2 и а2=1. Оба значения входят в область допустимых значений.
3)
= ;
ОДЗ: а ; а 0
.
4а
2
=(а+1)(3а-1), отсюда а
2
-2а+1=0, (а-1)
2
=0, а=1.
Ответ: при а=1 система
имеет бесконечное множество решений.
Пример 16. При каких m и n система
а) имеет единственное решение;
б) не имеет решений.
а) система имеет единственное решение, если ;
Это условие выполняется при m
6.
б) система не имеет решений, если =
;
1)
=
, отсюда m=6.
2) , отсюда n 8.
3)
, отсюда n
; т.е. при m=6 n 8
.
Ответ: а)
при m 6
система имеет единственное решение;
б)
при m=6 и n 8 система не имеет решений.
Глава 2. Методические рекомендации по теме «Задачи с параметром».
Задания для решения в 7 классе.
I вариант
1. ах= -5;
2. ах=0;
3. ах=а;
4. (а-4)х=а-4;
5. (6-3а)х=0.
II вариант.
1. ах=5;
2. ах=0;
3. ах= -а;
4. (4-а)х=4-а;
5. (3а-6)х=0.
Задания для решения в 8 классе.
I вариант.
1. 2а-сх=1;
2. ах=с+2;
3. 4+сх=а;
4. (а+с)х=а+с;
5. с=а(х-3);
6. 4сх-8с=2ах-4а;
7. 3а
2
х-ах-с-3с
2
х=а+сх.
II вариант.
1. 3а+сх=1;
2. сх=а-3;
3. ах-3=с;
4. (а-с)х=а-с;
5. 4= а- (сх-1);
6. ах-6с=3а-2сх;
7. 5с
2
х+2сх+2ах-а=с+5а
2
х;
Задания для решения в 9 классе.
I вариант.
1. найдите все значения k, при
каждом из которых верно
неравенство:
а) x
2
- 24x + k > 0 верно при всех,
кроме х = 12,
2. б) 64x
2
+ kx + 9 > 0 верно при всех
х, кроме х = -3/8.
3. Найдите все значения t, при
которых уравнение имеет два
различных корня.а) x
2
- 6x + t =0;
б) (t + 3)x
2
+ 2(t - 1)x + t = 0.
II вариант.
1. Найдите все значения t, при
которых уравнение имеет два
различных корня.а) x
2
- 6x + t =0;
б) (t + 3)x
2
+ 2(t - 1)x + t = 0.
2. При каких значениях t уравнение
x
2
- 2tx + t
2
- 1 = 0 имеет два
действительных корня:
3. Укажите все значения m, при
каждом из которых неравенство
верно при любом значении х:
а) 2x
2
- x + m > 0; б) 3x
2
+ 2x + m > 0.
Рекомендации для обучающихся.
1. Прежде, чем приступить к решению задачи с параметрами, советуем
разобраться в ситуации для конкретного числового значения
параметра. Например, возьмите значение параметра а=1 и ответьте на
вопрос: является ли значение параметра а=1 искомым для данной
задачи. Отметим, что подстановка фиксированного значения параметра
позволяет во многих случаях нащупать путь решения задачи.
2. При решении многих задач с параметрами удобно воспользоваться
геометрическими интерпретациями. Если изобразить графики
функций, входящих в левые и правые части рассматриваемых
уравнений, то тогда точки пересечения графиков будут соответствовать
решениям уравнения, а число точек пересечения- числу решений.
Аналогично, при решении систем уравнений или неравенств можно
изобразить геометрические места точек плоскости, удовлетворяющих
рассматриваемым уравнениям или неравенствам. Это часто позволяет
существенно упростить анализ задач, а в ряде случаев представляет
собой единственный “ключ” к решению.
3. Решение многих задач с параметрами требует умения правильно
формулировать необходимые и достаточные условия,
соответствующие различным условиям расположения корней
квадратного трехчлена на числовой оси.
4. Существенным этапом решения задач с параметрами является запись
ответа. Особенно это относится к тем примерам, где решение как бы
“ветвится” в зависимости от значений параметра. В подобных случаях
составление ответа - это сбор ранее полученных результатов. И здесь
очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения. Также
рекомендуем прежде, чем записывать ответ, еще раз внимательно
прочитать условие задачи и четко уяснить, что именно спрашивается.
5. Для того, чтобы освоить приемы решения задач с параметрами,
необходимо внимательно разобрать приведенные примеры решения
таких задач и постараться прорешать как можно больше задач для
самостоятельного решения.
Список литературы
1. Горнштейн Ш. Квадратные трехчлены и параметры. – Математика.- 1999. №
5- с. 4-9
2. Дорофеев Г.В. О задачах с параметрами, предлагаемых на вступительных
экзаменах в вузы. Математика в школе.- 1983- № 4.- с. 36-40.
3. Егерман Е. Задачи с параметрами.- Математика. № 2, 2003.
4. Мещерякова Г.П. Задачи с параметрами, сводящиеся к квадратным
уравнениям. – Математика в школе. № 5, 2001.
5. http: // int-sch / ru / math
Скачать материал

Алгебра - еще материалы к урокам: