Ученики на Учителя.com


Тригонометрические тождества (Шпаргалка по тригонометрии)

Тригонометрические тождества:
➀ Основные тригонометрические тождества:
2
1
2
1
sin
2
x
+
cos
2
x
=
1
tg x ⋅ ctg x = 1
1
+
tg
x =
x =
cos
2
x
sin
2
x
➁
Формулы приведения:
1) Формулы тупых углов: f (πn − x) = ± f (x) ;
f (πn + π 2 − x) = ± g(x) ,
где f и g – взаимообратные функции ( sin - cos,
cos - sin,
tg - ctg,
ctg - tg ), n = 0; 1.
sin(−x) = − sin x
sin(π 2 − x) = cos x
sin(π − x) = sin x
sin(3π 2
−
x)
= −
cos x
cos(−x) = cos x
cos(π 2 − x) = sin x
cos(π
−
x)
= −
cos x
cos(3π 2
−
x)
= −
sin x
Формулы тупых углов выводятся через равные треугольники на числовой окружности полярно-
декартовой системы координат.
2) Формулы периодических углов: f (x ± π) = − f (x) ;
f (x
±
π 2
±
πn)
= ±
g(x)
,
где f и g – взаимообратные функции ( sin - cos,
cos - sin,
tg - ctg,
ctg - tg ), n = 0; 1.
sin(x
±
π 2)
= ±
cos x
sin(x ± π) = − sin x
sin(x ± 3π 2) = cos x
cos(x ± π 2) = sin x
cos(x ± π) = − cos x
cos(x
±
3π 2)
= ±
sin x
Формулы периодических углов выводятся из формул тупых углов.
➂ Формулы суммы и разности углов:
sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y cos(x ± y) = cos x cos y sin x sin y
tg(x ± y) =
tg x
±
tg y
ctg(x
±
y)
=
ctg x ctg y 1
1 tg x tg y
ctg y ± ctg x
➃
Формулы двойного угла:
2 tg x
ctg
2
x
−
1
sin 2x = 2sin x cos x
cos 2x
=
cos
2
x
−
sin
2
x
tg 2x
=
ctg 2x
=
2ctg x
1− tg
2
x
➄ Формулы половинного угла (формулы понижения степени):
x
1− cos 2x
x
1+ cos 2x
1
−
cos x
2
x
=
1
+
cos x
2
x
=
sin
= ±
sin
2
cos
= ±
cos
2
2
2
2
2
tg
x
= ±
1
−
cos x
=
sin x
=
1
−
cos x
1
+
cos x
1
+
cos x
sin x
2
➅
Формулы произведения тригонометрических функций:
sin
x
sin
y
=
cos(x
−
y)
−
cos(x
+
y)
sin
x
cos
y
=
sin(x
−
y)
+
sin(x
+
y)
2
cos
x
cos
y
=
cos(x
−
y)
+
cos(x
+
y)
2
2
➆ Формулы суммы и разности тригонометрических функций:
sin x
±
sin y
=
2sin
x
±
y
cos
x y
2
2
cos x
+
cos y
=
2cos
x
+
y
cos
x
−
y
cos x
−
cos y
= −
2sin
x
+
y
sin
x
−
y
2
2
2
2
tg x
±
tg y
=
sin(x ± y)
ctg x
±
ctg y
=
sin(
y
±
x)
cos x cos y
sin x sin y
➇ Универсальная тригонометрическая подстановка (УТП): (x ≠ π 2 + πn, n ∈ Z)
sin 2x
=
2 tg x
cos 2x
=
1− tg
2
x
tg 2x
=
2 tg x
ctg 2x
=
1− tg
2
x
1
+
tg
2
x
1+ tg
2
x
1
−
tg
2
x
2 tg x
➈ Обратные тригонометрические функции (аркфункции):
м arcsin x + arccos x = arctg x + arcctg x = π 2
arcsin(−a) = − arcsin a arccos(−a) = π − arccos a
arctg(−a) = − arctg a arcctg(−a) = π − arcctg a
Решение тригонометрических уравнений:
➀ Простые тригонометрические уравнения: (n, k ∈ Z)
sin x = a, a ∈[−1; 1] cos x = a, a ∈[−1; 1] tg x = a, x ≠ ±
π
2
+ 2πk ctg x = a, x ≠
πk
x
=
(
−
1)
n
arcsin a
+
πn
x = ± arccosa + 2πn
x = arctg a + πn
x
=
arcctg a
+
πn
Область арксинусов:
Область арккосинусов:
Область арктангенсов:
Область арккотангенсов:
➁
a sin x
+
b cos x
=
c
:
x = 2arctg
a ± a
2
+
b
2
−
c
2
+
2πn,
n
∈
Z.
(УТП)
b
+ c
ОДЗ: 1) Если c = −b, то
x
= −
2arctg
b
+ 2πn,
n ∈ Z.
a
М 2) УТП: cos x 2 ≠ 0 x ≠ π + 2πk, k ∈ Z.
Скачать материал

Математика - еще материалы к урокам: