Ученики на Учителя.com


Подготовка к ОГЭ по математике "Углы и отрезки, связанные с окружностью"

Материал по теме «Углы и отрезки, связанные с окружностью.
Подобие треугольников, связанных с окружностью»
Решение задач повышенной сложности Сотникова А.В.,
учитель математики
МАОУ «Многопрофильный лицей №1»
Подборка задач для работы на уроке и самоподготовке по темам
«Углы и отрезки, связанные с окружностью.
Подобие треугольников, связанных с окружностью»
Теория.
1. Углы, связанные с окружностью:
1.1. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
1.1.1. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
1.1.2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (на диаметр) – прямой.
1.1.3. Вписанные углы, опирающиеся на одну хорду, с вершинами лежат по разные
стороны от хорды, в сумме равны 180
о
.
1.2. Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен
половине дуги, заключенной между ними.
1.3. Угол между пересекающимися хордами равен половине суммы
дуг, заключенных между его сторонами.
1.4. Угол между двумя секущими, проходящими через точку вне окружности, равен
половине разности дуг, заключенных между его сторонами.
2. При пересечении двух прямых с окружностью образуются подобные треугольники:
2.1. При пересечении двух хорд
Следствие:
АА
1
и ВВ
1
в точке С:
2.1.1. Произведения отрезков хорд
АВС~ΔВ
1
А
1
С
равны:
(доказывается на основе 1.1.1)
АС·СА
1
=ВС·СВ
1
2.2. При пересечении двух
Следствие:
секущих АА
1
и ВВ
1
в точке С:
2.2.1. Произведения отрезков
АВС~ΔВ
1
А
1
С
секущих равны:
(доказывается на основе 1.1.1)
АС·СА
1
=ВС·СВ
1
2.3. При пересечении касательной
Следствие:
ВС и секущей АА
1
в точке С:
2.3.1. Квадрат отрезка касательной
АВС~ΔВА
1
С
равен произведению отрезков
(доказывается на основе 1.1 и
секущей:
1.2)
АС·СА
1
=ВС
2
2.4. При пересечении двух
Следствие:
секущих АА
1
и ВВ
1
в точке
2.4.1. Если А
1
В
1
– диаметр
С:
окружности, то АВС~ΔВ
1
А
1
С
АВС~ΔВ
1
А
1
С
с коэффициентом подобия
(доказывается на основе 1.1.3)
k=cos C
(доказывается на основе 1.1.2 и
1.1.3)
Задача
Окружность пересекает стороны АВ и АС треугольника
Ответ:
Применить:
№1.
АВС в точках К и Р соответственно и проходит через
5
2.4
вершины В и С. Найдите длину отрезка КР, если АР=7,
а сторона ВС в 1,4 раза меньше стороны АВ.
Задача
Биссектриса СМ треугольника АВС делит сторону АВ
Ответ:
Применить:
№2.
на отрезки АМ=5 и МВ=10. Касательная к описанной
10
2.3,
2.3.1
и
окружности треугольника АВС, проходящая через точку
свойство
С, пересекает прямую АВ в точке D. Найдите CD.
биссектрисы
треугольника
Задача
В
трапеции
АВСD
боковая
сторона
АВ
Ответ:
Применить:
№3.
перпендикулярна основанию ВС. Окружность проходит
2.3.1 или 1.2
2 3
через точки С и D и касается прямой АВ в точке Е.
и подобие
Найдите расстояние от точки Е до прямой CD, если
прямоугольных
AD=4, ВС=3.
треугольников
Задача
Один конец диаметра полуокружности совпадает с
Ответ:
Применить:
№4.
вершиной угла при основании равнобедренного
15
1.1.2,
2.3.1
треугольника, а другой принадлежит этому основанию.
и подобие
11
Найти радиус полуокружности, если она касается одной
прямоугольных
боковой стороны и делит другую на отрезки длиной 5 и
треугольников
4, считая от основания.
Задача
В окружности с центром О радиуса 4 проведен диаметр
Ответ:
Применить:
№5
АВ и через середину радиуса АО – хорда CD, которая
2.1.1, теорему
3
видна из середины радиуса ОВ под прямым углом.
Фалеса и
Найдите расстояние от центра окружности до хорды
пропорциональн
CD.
ые отрезки в
прямоугольном
треугольнике
Самост
1) Окружность с центром на стороне АС треугольника
Ответ:
Применить:
оятель
АВС проходит через вершину С и касается прямой
12
2.3.1
ная
АВ в точке В. Найдите АС, если диаметр
работа.
окружности равен 5,25, а АВ=9.
2)
На сторонах АВ треугольника АВС взята точка К
Ответ:
Применить:
так, что окружность, проходящая через точки А, С и
18
2.3
К, касается прямой ВС. Найдите АВ, если АС=9,
ВС=12 и СК=6.
3) Через точку А проведены касательные АВ и АС к
Ответ:
Применить:
окружности (В и С – точки касания) и секущая AD,
5
1.2, 2.3.1,
пересекающая окружность в точке Е (точка Е лежит
свойство
параллельных
между точками А и D). Хорда BD параллельна
прямых, подобие
касательной АС. Прямая ВЕ пересекает прямую АС
треугольников
в точке F. Найти длину отрезка AF, если АВ=10.
Решения задач:
Задача №1. Окружность пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС в точках К и Р
соответственно и проходит через вершины В и С. Найдите длину отрезка КР, если АР=7, а
сторона ВС в 1,4 раза меньше стороны АВ.
Решение:
АВ=1,4 ВС
АВС~ΔАКР (теория 2.4)
КР
АР
;
КР
7
; КР=5
ВС
АВ
ВС
1,4ВС
Ответ: 5
Задача №2. Биссектриса СМ треугольника АВС делит сторону АВ на отрезки АМ=5 и
МВ=10. Касательная к описанной окружности треугольника АВС, проходящая через точку С,
пересекает прямую АВ в точке D. Найдите CD.
Решение:
По свойству биссектрисы треугольника:
АМ
МВ
ВС
АС
10
5
1
2
. ACD~ CBD (теория 2.3)
CD
AD
CD
DB
BC
AC
1
2
; пусть AD=x, CD=2x.
CD
2
=AD·BD (теория 2.3.1)
4х
2
=х·(х+15); х=5→ CD=10.
Ответ: 10
Задача №3. В трапеции АВСD боковая сторона АВ
перпендикулярна основанию ВС. Окружность проходит через
точки С и D и касается прямой АВ в точке Е. Найдите расстояние
от точки Е до прямой CD, если AD=4, ВС=3.
Решение:
ЕН CD , АВ – касательная
BEC EDC
1
2
EC , AEDECD
1
2
ED(теория1.1,
1.2)
→
ВЕС~ΔHDE и AED~ HCE (прямоугольные) →
ВС
EC
и
AD
ED
→
НЕ
DE
HE
CE
BC
HE
; → HE
2
=BC·AD; HE
2
.
3 4
3
HE
AD
Ответ: 2
3
Задача №4. Один конец диаметра полуокружности совпадает с вершиной угла при основании
равнобедренного треугольника, а другой принадлежит этому основанию. Найти радиус
полуокружности, если она касается одной боковой стороны и делит другую на отрезки
длиной 5 и 4, считая от основания.
Решение:
ВС – касательная, ВК
2
=ВЕ·АВ (теория 2.3.1), ВК=6, КС=9-
6=3. АЕМ – прямоугольный (теория 1.1.2), СКО –
прямоугольный (свойство касательной, ОК - радиус)
А С (ΔАВС – равнобедренный) →
АЕМ~ΔСКО
СО
СК
3
, пусть СМ= х, тогда
х
R
3
, x
R
АМ
АЕ
5
5
5
2R
СК
2
=СМ·СА (теория 2.3.1), х·(х+2R)=9,
R
R
15
2R  9 , R
.
5
5
11
Ответ:
15
11
Задача №5. В окружности с центром О радиуса 4 проведен диаметр АВ и через середину
радиуса АО – хорда CD, которая видна из середины радиуса ОВ под прямым углом. Найдите
расстояние от центра окружности до хорды CD.
Решение:
BM=MO=ON=NA=R/2=2.
ОР CD , ML CD , О - середина MN→ OP – средняя
линия треугольника NML (по теореме Фалеса), OP
1
2
ML
и LP=PN →CL=ND (т.к. Р – середина CD) и CN=DL.
CMD – прямоугольный (по условию), ML – высота к
гипотенузе → ML  CL DL  DN NC .
DN·NC=BN·NA (теория 2.1.1), DN·NC=6·2=12.
ML  DN NC  12 2 3 .→ OP= 3 .
Ответ: 3
Скачать материал

Математика - еще материалы к урокам: