Проектная работа "Тетраэдр - пространственный аналог треугольника, его элементы и свойства"
Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Средняя школа с углубленным изучением отдельных предметов № 33
Дзержинского района Волгограда»
Проектная работа
«Тетраэдр - пространственный аналог треугольника,
его элементы и свойства»
Выполнили:
Кошкина Юлия Павловна,
Семенова Дарья Дмитриевна
ученицы 10А класса МОУ СШ № 33
г. Волгограда
Руководитель: Кулик Татьяна
Анатольевна, учитель математики
МОУ СШ № 33
Волгоград, 2017
Содержание:
1. Введение
2. Треугольник
3. Основные элементы треугольника
4. Классификация треугольников
5. Медианы , высоты ,биссектрисы треугольников
6. Основные свойства элементов треугольника
7. Замечательные прямые треугольника
8. Изо-прямые треугольника
9. Замечательные точки треугольника
10. Тетраэдр
11. Типы тетраэдра
12. Свойства равногранного тетраэдра
13. Свойства ортоцентрического тетраэдра
14. Свойства каркасного и соразмерного тетраэдров
15. Свойства правильного тетраэдра
16. Заключение
17. Список литературы
1.Введение
Геометрия является неотъемлемой составляющей общей культуры, а
геометрические методы служат инструментом познания мира,
способствуют формированию научных представлений об окружающем
пространстве, раскрытию гармонии и совершенства Вселенной.
Геометрия начинается с треугольника. Треугольник - атом геометрии.
Треугольник неисчерпаем - постоянно открываются его новые
свойства. Чтобы рассказать обо всех известных его свойствах,
необходим том сравнимый по объему с томом Большой энциклопедии.
Мы хотим рассказать о замечательных линиях геометрических фигур и
их свойствах.
В нашей работе прослеживается цепочка теорем, которая
охватывает весь курс геометрии. Она начинается с теоремы о
замечательных линиях треугольника и приводит к интересным
свойствам тетраэдра, а также показывает роль треугольника в
тетраэдре.
2.Треугольник
Треугольник—геометрическая фигура, образованная тремя отрезками,
которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой.
Указанные три точки называются вершинами треугольника, а отрезки
— сторонами треугольника. Часть плоскости, ограниченная
сторонами, называется внутренностью треугольника: нередко
треугольник рассматривается вместе со своей внутренностью
(например, для определения понятия площади).
Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла,
поэтому треугольник можно также определить, как многоугольник, у
которого имеется ровно три угла. Треугольник является одной из
важнейших геометрических фигур, повсеместно используемых в науке
и технике, поэтому глубокое исследование его свойств проводилось
начиная с глубокой древности.
3.Основные элементы треугольника:
Вершины и углы
Традиционно вершины треугольника обозначаются заглавными буквами
латинского алфавита: А, В, С, а противолежащие им стороны — теми же
строчными буквами (см. рисунок). Треугольник с вершинами A, B и C
обозначается как АВС. Стороны можно также обозначать буквами
ограничивающих их вершин: АВ=с, ВС=а, АС=b.
АВС имеет следующие углы:
• А=ВАС — угол, образованный сторонами АВ и АС и
противолежащий стороне ВС
• В=АВС — угол, образованный сторонами АВ и ВС и
противолежащий стороне АС
• С=АСВ — угол, образованный сторонами ВС и АС и
противолежащий стороне АВ
Величины углов при соответствующих вершинах традиционно
обозначаются греческими буквами (α, β, γ).
Внешним углом DCA плоского треугольника ABC при данной вершине C
называется угол, смежный внутреннему углу ACB треугольника при этой
вершине (см. рис.). Если внутренний угол при данной вершине треугольника
образован двумя сторонами, выходящими из данной вершины, то внешний
угол треугольника образован одной стороной, выходящей из данной вершины
и продолжением другой стороны, выходящей из той же вершины. Внешний
угол может принимать значения от 0 до 180°.
4.Классификация треугольников
Типы треугольников
Разносторонний Тупоугольный Равнобедренный
Остроугольный
Равносторонний
Прямоугольный
1. По величине углов:
Поскольку в евклидовой геометрии сумма углов треугольника равна 180°, то
не менее двух углов в треугольнике должны быть острыми (меньшими 90°).
Выделяют следующие виды треугольников:
• Если все углы треугольника острые, то треугольник
называется остроугольным;
• Если один из углов треугольника тупой (больше 90°), то треугольник
называется тупоугольным;
• Если один из углов треугольника прямой (равен 90°), то треугольник
называется прямоугольным. Две стороны, образующие прямой угол,
называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу,
называется гипотенузой.
2. По числу равных сторон:
• Разносторонним называется треугольник, у которого все три стороны не
равны.
• Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны.
Эти стороны называются боковыми, третья сторона
называется основанием. В равнобедренном треугольнике углы при
основании равны.
• Равносторонним или правильным называется треугольник, у которого все
три стороны равны. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°, а
центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Равносторонний
треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника.
5.Медианы, высоты, биссектрисы
Медианой треугольника, проведённой из данной вершины, называется
отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны
(основанием медианы). Все три медианы треугольника пересекаются в одной
точке. Эта точка пересечения называется центроидом или центром тяжести
треугольника. Последнее название связано с тем, что у треугольника,
сделанного из однородного материала, центр тяжести находится в точке
пересечения медиан. Центроид делит каждую медиану в отношении 1:2,
считая от основания медианы. Треугольник с вершинами в серединах медиан
называется срединным треугольником. Основания медиан данного
треугольника образуют так называемый дополнительный треугольник.
Медианы в треугольнике
Высотой треугольника, проведённой из данной вершины,
называется перпендикуляр, опущенный из этой вершины на
противоположную сторону или её продолжение. Три высоты треугольника
пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.
Треугольник с вершинами в основаниях высот
называется ортотреугольником.
Высота в треугольниках различного типа
Высоты пересекаются в ортоцентре
Биссектрисой (биссéктором) треугольника, проведённой из данной вершины,
называют отрезок, соединяющий эту вершину с точкой на противоположной
стороне и делящий угол при данной вершине пополам. Биссектрисы
треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром
вписанной окружности (инцентром).
Если треугольник разносторонний (не равнобедренный), то биссектриса,
проведённая из любой его вершины, лежит между медианой и высотой,
проведёнными из той же вершины. Ещё одно важное свойство биссектрисы:
она делит противоположную сторону на части, пропорциональные
прилегающим к ней сторонам.
Высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника, опущенные
на основание, совпадают. Верно и обратное: если биссектриса, медиана и
высота, проведённые из одной вершины, совпадают, то треугольник
равнобедренный.
6.Основные свойства элементов треугольника
Свойства углов:
Во всяком треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и
обратно. Против равных сторон лежат равные углы.
Каждый внешний угол треугольника равен разности между 180° и
соответствующим внутренним углом. Для внешнего угла также имеет
место теорема о внешнем угле треугольника: внешний угол равен сумме двух
других внутренних углов, с ним не смежных.
Неравенство треугольника:
В невырожденном треугольнике сумма длин двух его сторон больше длины
третьей стороны, в вырожденном — равна. Иначе говоря, длины сторон
невырожденного треугольника связаны следующими неравенствами:
• а <b+c
• b <c+a
• c <a+b
Дополнительное свойство: каждая сторона треугольника больше разности
двух других сторон.
Теорема о сумме углов треугольника
Сумма внутренних углов треугольника всегда равна 180°:
В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше 180°,
а на сфере — всегда больше.
Теорема синусов:
,
где R — радиус окружности, описанной вокруг треугольника.
Теорема косинусов:
Теорема о проекциях:
7.Замечательные прямые треугольника
Замечательные прямые треугольника — прямые, местоположение которых
однозначно определяется треугольником. Местоположение некоторых не
зависит от того, в каком порядке берутся стороны и вершины треугольника
(например, прямая Эйлера). Местоположение же большинства зависит от
того, в каком порядке берутся стороны и вершины треугольника.
Обычно они расположены внутри треугольника, но и это не обязательно. В
частности, высота может находиться и вне треугольника.
Многие однотипные замечательные прямые треугольника при пересечении
образуют замечательные точки треугольника. Например, на пересечении трех
высот треугольника находится замечательная точка треугольника —
ортоцентр.
8.Изо-прямые треугольника
Изо-прямыми (изо-линиями) треугольника являются прямые, которые
разрезают данный треугольник на два треугольника, имеющие какие-либо
равные параметры
[1]
. Изо-прямыми треугольника являются:
• Медиана треугольника делит противоположную сторону пополам и
разрезает треугольник на два треугольника с равными площадями.
• Биссектриса (Биссектор) треугольника делит пополам угол, из вершины
которого она выходит.
• Высота треугольника пересекает противоположную сторону (или её
продолжение) под прямым углом (то есть образует два равных угла со
стороной по обе стороны от неё) и разрезает треугольник на два
треугольника с равными (прямыми) углами.
• Симедиана — геометрическое место точек внутри треугольника,
выходящее из одной вершины, дающее два равных
отрезка, антипараллельных двум сторонам, пересекающимся в этой
вершине, и ограниченных тремя сторонами.
• Кливер треугольника разбивает периметр пополам. Кливер
треугольника — это отрезок, один конец которого находится в середине
одной из сторон треугольника, второй конец находится на одной из двух
оставшихся сторон. Кроме того, кливер параллелен одной из биссектрис
угла. Каждый из кливеров проходит через центр масс периметра
треугольника ABC, так что все три кливера пересекаются в центре
Шпикера.
• Также разбивает периметр пополам отрезок, соединяющий точку касания
стороны треугольника и вневписанной окружности с вершиной,
противоположной данной стороне. Три таких отрезка треугольника,
проведенные из трех его вершин, пересекаются в точке Нагеля. Иными
словами, этот отрезок есть чевиана точки Нагеля. (Чевиану точки
Нагеля в английской литературе иногда называют сплиттером (splitter)
или делителем пополам периметра. К сплиттеру они относят и кливер).
• Эквалайзер (equalizer) или уравниватель (выравниватель) — отрезок
прямой, разрезающий треугольник на две фигуры одновременно равных
площадей и периметров.
• Немного об эквалайзере (equalizer). Любая прямая (эквалайзер),
проходящая через треугольник и делящая площадь треугольника и
периметр пополам, проходит через центр вписанной окружности. Таких
прямых может существовать три, две или одна.
9.Замечательные точки треугольника
Замечательные точки треугольника — точки, местоположение которых
однозначно определяется треугольником и не зависит от того, в каком
порядке берутся стороны и вершины треугольника.
Обычно они расположены внутри треугольника, но и это не обязательно. В
частности, точка пересечения высот может находиться вне треугольника.
Замечательными точками треугольника являются:
• Точки пересечения:
• Медиан — центроид, центр тяжести (масс);
• Биссектрис — инцентр или центр вписанной окружности;
• Антибиссектрис — центр антибиссектрис;
• Биссектрис внешних углов — центр вневписанной окружности;
• Высот — ортоцентр;
• Серединных перпендикуляров — центр описанной окружности;
• Симедиан — точка Лемуана;
• Биссектрис серединного треугольника (его инцентра) — Центр
Шпикера;
• Кливеров треугольника — также Центр Шпикера;
• Трех (или даже двух) окружностей, построенных, как на диаметре, на
отрезке, соединяющем основания внутренней и внешней биссектрисы,
выпущенных из одного угла, — две точки Аполлония;
• Отрезков, соединяющих вершины треугольника:
• c точками касания противоположных сторон и вписанной
окружности — точка Жергонна;
• c точками касания противоположных сторон и вневписанных
окружностей — точка Нагеля;
• c соответствующими свободными вершинами равносторонних
треугольников, построенных на сторонах треугольника (наружу) —
первая точка Торричелли;
• с соответствующими свободными вершинами правильных
треугольников, построенных внутрь треугольника — вторая точка
Торричелли;
• c соответствующими свободными вершинами треугольников,
подобных исходному треугольнику и построенных на его
сторонах — точки Брокара;
10.Тетраэдр
Тетраэдр — простейший многогранник, гранями которого являются четыре
треугольника, треугольная пирамида. У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер.
Тетраэдр, у которого все грани — равносторонние треугольники, называется
правильным. Правильный тетраэдр является одним из пяти правильных
многогранников.
Свойства тетраэдра:
▪ Параллельные плоскости, проходящие через пары скрещивающихся рёбер
тетраэдра, определяют описанный около тетраэдра параллелепипед.
▪ Плоскость, проходящая через середины двух скрещивающихся рёбер
тетраэдра, делит его на две равные по объёму части.
▪ Бимедианы тетраэдра пересекаются в той же самой точке, что и медианы
тетраэдра. Бимедианами тетраэдра называют отрезки, соединяющие середины
его скрещивающихся ребер (не имеющих общих вершин).
11.Типы тетраэдра:
▪ Равногранный тетраэдр
Все грани его представляют собой равные между собой
треугольники. Разверткой равногранного тетраэдра является треугольник,
разделенный тремя средними линиями на четыре равных треугольника. В
равногранном тетраэдре основания высот, середины высот и точки пересечения
высот граней лежат на поверхности одной сферы (сферы 12 точек)
(Аналог окружности Эйлера для треугольника).
12.Свойства равногранного тетраэдра:
▪ Все его грани равны (конгруэнтны).
▪ Скрещивающиеся ребра попарно равны.
▪ Трехгранные углы равны.
▪ Противолежащие двугранные углы равны.
▪ Два плоских угла, опирающихся на одно ребро, равны.
▪ Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°.
▪ Развертка тетраэдра - треугольник или параллелограмм.
▪ Описанный параллелепипед прямоугольный.
▪ Тетраэдр имеет три оси симметрии.
▪ Общие перпендикуляры скрещивающихся ребер попарно перпендикулярны.
▪ Средние линии попарно перпендикулярны.
▪ Периметры граней равны.
▪ Площади граней равны.
▪ Высоты тетраэдра равны.
▪ Отрезки, соединяющие вершины с центрами тяжести противоположных
граней, равны.
▪ Радиусы описанных около граней окружностей равны.
▪ Центр тяжести тетраэдра совпадает с центром описанной сферы.
▪ Центр тяжести совпадает с центром вписанной сферы.
▪ Центр описанной сферы совпадает с центром вписанной.
▪ Вписанная сфера касается граней в центрах описанных около этих граней
окружностей.
▪ Сумма внешних единичных нормалей (единичных векторов,
перпендикулярных к граням), равна нулю.
▪ Сумма всех двугранных углов равна нулю.
13.Свойства ортоцентрического тетраэдра:
▪ Высоты тетраэдра пересекаются в одной точке.
▪ Основания высот тетраэдра являются ортоцентрами граней.
▪ Каждые два противоположных ребра тетраэдра перпендикулярны.
▪ Суммы квадратов противоположных ребер тетраэдра равны.
▪ Отрезки, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра, равны.
▪ Произведения косинусов противоположных двугранных углов равны.
▪ Сумма квадратов площадей граней вчетверо меньше суммы квадратов
произведений противоположных ребер.
▪ У ортоцентрического тетраэдра окружности 9 точек (окружности Эйлера)
каждой грани принадлежат одной сфере (сфере 24 точек).
▪ У ортоцентрического тетраэдра центры тяжести и точки пересечения высот
граней, а также точки, делящие отрезки каждой высоты тетраэдра от
вершины до точки пересечения высот в отношении 2:1, лежат на одной
сфере (сфере 12 точек).
14.Свойства каркасного и соразмерного тетраэдров
▪ Каркасный тетраэдр- это тетраэдр, отвечающий любому из следующих
условий:
▪ существует сфера, касающаяся всех ребер,
▪ суммы длин скрещивающихся ребер равны,
▪ суммы двугранных углов при противоположных ребрах равны,
▪ окружности, вписанные в грани, попарно касаются,
▪ все четырёхугольники, получающиеся на развертке тетраэдра, —
описанные,
▪ перпендикуляры, восставленные к граням из центров вписанных в них
окружностей, пересекаются в одной точке.
▪ Соразмерный тетраэдр
У этого типа бивысоты равны.
Свойства соразмерного тетраэдра:
▪ Бивысоты равны. Бивысотами тетраэдра называют общие перпендикуляры к
двум скрещивающимся его ребрам (ребрам, не имеющим общих вершин).
▪ Проекция тетраэдра на плоскость, перпендикулярную любой бимедиане,
есть ромб. Бимедианами тетраэдра называют отрезки, соединяющие
середины его скрещивающихся ребер (не имеющих общих вершин).
▪ Грани описанного параллелепипеда равновелики.
▪ Для каждой пары противоположных ребер тетраэдра плоскости, проведенные
через одно из них и середину второго, перпендикулярны.
▪ В описанный параллелепипед соразмерного тетраэдра можно вписать сферу.
15.Свойства правильного тетраэдра:
▪ все ребра тетраэдра равны между собой,
▪ все грани тетраэдра равны между собой,
▪ периметры и площади всех граней равны между собой.
▪ Правильный тетраэдр является одновременно ортоцентрическим,
каркасным, равногранным, инцентрическим и соразмерным.
▪ Тетраэдр является правильным, если он принадлежит к двум любым видам
тетраэдров из перечисленных: ортоцентрический, каркасный,
инцентрический, соразмерный, равногранный.
▪ Тетраэдр является правильным, если он является равногранным и
принадлежит к одному из следующих видов тетраэдров: ортоцентрический,
каркасный, инцентрический, соразмерный.
▪ В правильный тетраэдр можно вписать октаэдр, притом четыре (из восьми)
грани октаэдра будут совмещены с четырьмя гранями тетраэдра, все шесть
вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести рёбер тетраэдра.
▪ Правильный тетраэдр состоит из одного вписанного октаэдра (в центре) и
четырёх тетраэдров (по вершинам), причем ребра этих тетраэдров и
октаэдра вдвое меньше ребер правильного тетраэдра.
▪ Правильный тетраэдр можно вписать в куб двумя способами, притом
четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами куба.
▪ Правильный тетраэдр можно вписать в икосаэдр, притом, четыре вершины
тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами икосаэдра.
▪ Скрещивающиеся ребра правильного тетраэдра взаимно перпендикулярны.
16.Заключение
Итак, многогранники присутствуют в нашей жизни буквально во всём,
и мы настолько к ним привыкли, что порой не замечаем этого. Мы
можем заметить их не только в жизни, но и в архитектуре и искусстве.
В своей проектной работе мы познакомились с замечательными
линиями треугольника и тетраэдра, а именно с медианой, высотой и
биссектрисой. Мы доказали, что тетраэдр – пространственный аналог
треугольника.
17.Список литературы
1.https://ru.wikipedia.org/wiki/
2.Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука,
1978.
3. Заславский А. А. Сравнительная геометрия треугольника и тетраэдра //
Математическое просвещение, сер. 3 (2004), № 8, стр. 78-92.
