Задачи по теории вероятности на ЕГЭ
Муниципальное казенное государственное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №32»
Задачи по теории вероятности
на ЕГЭ.
Учитель математики
высшей категории
Оршокдугова Р.М.
Задачи по теории вероятности :
задачи с монетами
Задачи на подбрасывание монет считаются довольно сложными. И перед тем
как решать их, требуется небольшое пояснение. Задумайтесь, любая задача по
теории вероятностей в итоге сводится к стандартной формуле:
где
p
— искомая вероятность,
k
— число устраивающих нас событий,
n
—
общее число возможных событий.
Большинство задач B6 решаются по этой формуле буквально в одну строчку —
достаточно прочитать условие. Но в случае с подбрасыванием монет эта
формула бесполезна, поскольку из текста таких задач вообще не понятно, чему
равны числа
k
и
n
. В этом и состоит вся сложность.
Тем не менее, существует как минимум два принципиально различных метода
решения:
1. Метод перебора комбинаций — стандартный алгоритм. Выписываются все
комбинации орлов и решек, после чего выбираются нужные;
2. Специальная формула вероятности — стандартное определение
вероятности, специально переписанное так, чтобы было удобно работать с
монетами.
Для решения задачи B6 надо знать оба метода. К сожалению, в школах
изучают только первый. Не будем повторять школьных ошибок. Итак, поехали!
Метод перебора комбинаций
Этот метод еще называется «решение напролом». Состоит из трех шагов:
1. Выписываем все возможные комбинации орлов и решек. Например: ОР, РО,
ОО, РР. Число таких комбинаций — это
n
;
2. Среди полученных комбинаций отмечаем те, которые требуются по условию
задачи. Считаем отмеченные комбинации — получаемчисло
k
;
3. Осталось найти вероятность:
p
=
k
:
n
.
К сожалению, этот способ работает лишь для малого количества бросков.
Потому что с каждым новым броском число комбинаций удваивается.
Например, для 2 монет придется выписать всего 4 комбинации. Для 3 монет их
уже 8, а для 4 — 16, и вероятность ошибки приближается к 100%. Взгляните на
примеры — и сами все поймете:
Задача. В случайном эксперименте симметричную монету бросают 2 раза.
Найдите вероятность того, что орлов и решек выпадет одинаковое количество.
Итак, монету бросают два раза. Выпишем все возможные комбинации (O —
орел, P — решка):
OO OP PO PP
Итого
n
= 4 варианта. Теперь выпишем те варианты, которые подходят по
условию задачи:
OP PO
Таких вариантов оказалось
k
= 2. Находим вероятность:
Задача. Монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что решка не
выпадет ни разу.
Снова выписываем все возможные комбинации орлов и решек:
OOOO OOOP OOPO OOPP OPOO OPOP OPPO OPPP
POOO POOP POPO POPP PPOO PPOP PPPO PPPP
Всего получилось
n
= 16 вариантов. Вроде, ничего не забыл. Из этих вариантов
нас устраивает лишь комбинация «OOOO», в которой вообще нет решек.
Следовательно,
k
= 1. Осталось найти вероятность:
Как видите, в последней задаче пришлось выписывать 16 вариантов. Вы
уверены, что сможете выписать их без единой ошибки? Лично я — не уверен.
Поэтому давайте рассмотрим второй способ решения.
Специальная формула вероятности
Итак, в задачах с монетами есть собственная формула вероятности. Она
настолько простая и важная, что я решил оформить ее в виде теоремы.
Взгляните:
Теорема. Пусть монету бросают
n
раз. Тогда вероятность того, что орел
выпадет ровно
k
раз, можно найти по формуле:
Где
C
n
k
— число сочетаний из
n
элементов по
k
, которое считается по формуле:
Таким образом, для решения задачи с монетами нужны два числа: число
бросков и число орлов. Чаще всего эти числа даны прямо в тексте задачи.
Более того, не имеет значения, что именно считать: решки или орлы. Ответ
получится один и тот же.
На первый взгляд, теорема кажется слишком громоздкой. Но стоит чуть-чуть
потренироваться — и вам уже не захочется возвращаться к стандартному
алгоритму, описанному выше.
Задача. Монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что орел
выпадет ровно три раза.
По условию задачи, всего бросков было
n
= 4. Требуемое число орлов:
k
=
3. Подставляем
n
и
k
в формулу:
С тем же успехом можно считать число решек:
k
= 4 − 3 = 1. Ответ будет таким
же.
Задача. Монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что решка не
выпадет ни разу.
Снова выписываем числа
n
и
k
. Поскольку монету бросают 3 раза,
n
= 3. А
поскольку решек быть не должно,
k
= 0. Осталось подставить числа
n
и
k
в
формулу:
Напомню, что 0! = 1 по определению. Поэтому
C
3
0
= 1.
Задача. В случайном эксперименте симметричную монету бросают 4 раза.
Найдите вероятность того, что орел выпадет больше раз, чем решка.
Чтобы орлов было больше, чем решек, они должны выпасть либо 3 раза (тогда
решек будет 1), либо 4 (тогда решек вообще не будет). Найдем вероятность
каждого из этих событий.
Пусть
p
1
— вероятность того, что орел выпадет 3 раза. Тогда
n
= 4,
k
=
3.Имеем:
Теперь найдем
p
2
— вероятность того, что орел выпадет все 4 раза. В этом
случае
n
= 4,
k
= 4. Имеем:
Чтобы получить ответ, осталось сложить вероятности
p
1
и
p
2
. Помните:
складывать вероятности можно только для взаимоисключающих событий.
Имеем:
p = p
1
+ p
2
= 0,25 + 0,0625 = 0,3125
Решить самостоятельно.
1.В случайном эксперименте симметричную монету бросают 4 раза. Найдите
вероятность того, что орел выпадет ровно 2 раза .
2.В случайном эксперименте симметричную монету бросают 2 раза. Найдите
вероятность того, что орлов и решек выпадет одинаковое количество.
Ответ: 0,5.
3. Монету бросают 4 раза. Найдите вероятность того, что решка не выпадет
ни разу . Ответ: 0,0625
4.В случайном эксперименте симметричную монету бросают 4 раза .
Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно 2 раза .Ответ: 0,375
5.В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите
вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.
Ответ: 0,14
6.В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды.
Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно один раз. Ответ : 0,5
