Задачи по планиметрии
Задачи по планиметрии
1. Если около равнобокой трапеции с длинами оснований 8 см и 10 см описана окружность
с центром, лежащим на большем основании, то площадь трапеции (в кв. см) равна
А) 25 B) 26 C) 27 D) 54 E) 28
2. Если длины диагоналей ромба равны 30 см и 40 см, то радиус окружности (в см), вписанной
в ромб, равен
А) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14
3. Если в равнобедренном треугольнике длина основания равна 12 см, а его периметр равен 32 см,
то радиус окружности, вписанной в треугольник, равен
А) 4 см B) 6 см C) 3 см D) 5 см E) 2 см
4. Сумма длин оснований трапеции равна 24 см, расстояние от точки пересечения диагоналей до
оснований равны 3 см и 9 см. Найдите длину большего основания трапеции
А) 16 B) 14 C) 20 D) 18 E) 15
5. Если в треугольнике АВС угол А – тупой,
sin 0,6A
, АВ=3, АС=5, то длина стороны ВС равна
А)
55
B)
56
C)
57
D)
58
E)
59
6. Если в треугольнике АВС заданы АВ=6, ВС=7, СА=8, то синус угла В равен
А)
15
4
B)
14
4
C)
13
4
D)
23
4
E)
11
4
7. Если хорда, перпендикулярная диаметру, делит его на отрезки, длины которых равны 5 см и
45 см, то длина хорды равна
А) 10 см B) 20 см C) 30 см D) 40 см E) 15 см
8. В прямоугольном треугольнике АВС с катетами АС=5 см и ВС=12 см из вершины прямого угла С
на гипотенузу опущена высота СД. Найдите (в кв. см) площадь треугольника АДС
А)
4
8
17
B)
5
5
24
C)
74
4
169
D) 4,5 E) 5
9. К окружности из точки, находящейся на расстоянии 2 см от ближайшей точки окружности,
проведена касательная длиной 3 см. Найдите (в см) длину окружности
А) 2,4 B) 2,5 C) 3 D) 4 E) 1,8
10. Если стороны треугольника относятся как 3 : 6 : 7, а его площадь равна
100 5
см², то периметр
треугольника (в см) равен
А) 40 B) 36 C) 60 D) 80 E) 120
11. Если в равнобокой трапеции высота равна 14 см, основания равны 12 см и 16 см, то площадь
круга, описанного около трапеции, равна
А) 60 см² B) 25 см² C) 64 см² D) 100 см² E) 144 см²
12. Большее основание трапеции равно 8, расстояние между серединами диагоналей равно 1.
Меньшее основание трапеции равно
А) 6 B) 7 C) 7,5 D) 5 E) 4
13. Длины сторон треугольника равны 10 см, 17 см и 21 см. Найдите (в см) длину меньшей высоты
треугольника
А) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8
14. Известно, что АВ=5, ВС=6, СА=8 см. Чему равна длина медианы АМ треугольника АВС?
А)
142
B)
1
142
2
C)
138
D)
1
138
2
E) 6,5
15. В треугольнике АВС ВС=6, А=45, В=105. Чему равна длина отрезка АВ?
А)
23
B)
32
C)
26
D)
36
E)
62
16. АL – биссектриса треугольника АВС со сторонами АВ=8, ВС=7 и СА=6. Найдите длину отрезка
СL
А) 2 B) 3 C)
10
D) 3,5 E) 4
17. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 5, 6 и 7
А)
6
3
B) 3,5 C)
26
3
D)
35
26
E)
35
46
18. В окружность, длина которой 20, вписан треугольник АВС так, что ВС – диаметр. Найдите
длину стороны АС, если В=30.
А)
10 3
B)
52
C)
10
D) 12 E) 10
19. В треугольнике АВС С=90,
5
sin
13
A
. Найдите отношение биссектрисы АL к высоте СН.
А)
13 26
25
B)
24 26
65
C)
13 58
84
D)
13 13
36
E) другой ответ
20. В параллелограмме АВСD АВ=3, АD=
3
, ВАD=60. Найдите длину биссектрисы АЕ данного
угла (точка Е лежит на стороне СD).
А) 5 B) 2,5 C) 3,5 D) 3 E) 4
21. Найдите площадь правильного шестиугольника со стороной 2.
А)
33
B)
63
C)
12 3
D) 12 E) 24
22. Треугольник АВС – прямоугольный с острым углом
7
arcsin
25
. Найдите отношение длины
вписанной в треугольник АВС окружности к периметру треугольника АВС.
А)
3
28
B)
7
C)
3
14
D)
3
7
E)
25
56
23. Трапеция вписана в окружность и описана около окружности. Одно из оснований трапеции
в 5 раз меньше другого основания. Чему равно отношение периметра трапеции к длине
вписанной в нее окружности?
А)
8
3
B)
16
3
C)
12
5
D)
6
5
E) другой ответ
24. В равнобедренной трапеции длины оснований равны 4 и 8 см. Чему равен угол при большем
основании, если площадь трапеции равна
12 3
?
А) 45 B) 20 C) 90 D) 30 E) 60
25. В равнобедренном треугольнике длина основания равна 2, а радиус вписанной окружности равен
1
2
. Чему равна площадь треугольника?
А)
6
B) 2 C)
22
D)
27
4
E)
3
2
26. О – точка пересечения медиан треугольника АВС, площадь треугольника АВО равна 2, ВС=3.
Чему равна высота АН треугольника АВС?
А) 1 B) 2 C) 3 D) 3,5 E) 4
27. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 8, а площадь вписанного круга равна 4.
Чему равна гипотенуза?
А) 7,5 B) 10 C)
13
3
D) 7 E)
10
28. Длина дуги окружности равна
2
см, а ее угловая мера равна 72. Найдите (в кв. см) площадь
круга, ограниченного этой окружностью
А) 25 B) 26 C) 27 D) 28 E) 30
29. В окружности радиуса R = 20 см вписанный угол опирается на дугу АВ = 6π см. Найдите
величину этого угла (в градусах).
30. В окружности вписанный угол = 80опирается на дугу АВ. Площадь сектора с дугой АВ равна
4π см². Найдите радиус окружности (в см).
31. В окружность радиуса 10 см вписан прямоугольный треугольник с острым углом, синус которого
равен 0,8. Найдите (в см) периметр этого треугольника.
32. Найдите радиус окружности, вписанной в остроугольный треугольник АВС, если его высота ВН
равна 12 и известно, что
12
sin
13
A
,
sin 0,8C
.
33. В трапеции АВСD с площадью 84 см² длина основания ВС равна 6 см, основание АD разделено
точкой Р на отрезки АР = 3 см и РD = 5 см, а боковая сторона АВ разделена точкой М пополам.
Найдите площадь треугольника АМР (в кв. см).
34. В треугольнике АВС проведена медиана АМ. Найдите площадь треугольника АВС, если АС=9,
ВС=
2 101
, МАС=45.
35. Найдите диаметр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, если один из его
катетов равен 20, а проекция другого катета на гипотенузу равна 9.
36. Найдите площадь треугольника, стороны которого составляют арифметическую прогрессию с
разностью 4, если известно, что произведение радиусов вписанной и описанной окружностей
равно 40.
37. Найдите площадь ромба, если радиус вписанной в него окружности равен 1, а одна из
диагоналей равна
5
.
38. В четырехугольнике АВСD длина стороны АВ = 10, синус угла ВАС равен 0,39, синус угла ВАD
равен 0,65. Сумма углов ВАD и ВСD равна 180. Найдите длину стороны ВС.
Ответы «Планиметрия»
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
C
D
C
D
D
A
C
C
B
D
D
A
E
B
B
B
E
E
А
D
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
B
A
C
E
C
E
В
А
27
3
48
4
9
90
25
96
8,5
6
