Решение вариантов досрочного ЕГЭ по математике 2017
1. В квартире установлен прибор учёта расхода холодной воды (счётчик).
Показания счётчика 1 января составляли 121 куб. м воды, а 1 февраля – 131 куб. м.
Сколько нужно заплатить за холодную воду за январь, если стоимость 1 куб. м
холодной воды составляет 13 руб. 50 коп.? Ответ дайте в рублях.
Решение.
Найдем потраченные кубометры и умножим их на указанную стоимость,
предварительно заметив, что 13 руб. 50 коп. = 13,5 руб.
Ответ: 135.
2. На рисунке жирными точками показана цена меди на момент закрытия
биржевых торгов во все рабочие дни в октябре 2010 года. По горизонтали указаны
числа месяца, по вертикали – цена меди в долларах США за тонну. Для наглядности
жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку наименьшую
цену меди за данный период. Ответ дайте в долларах США за тонну.
Решение.
Самая нижняя точка графика соответствует отметке 8085.
Ответ: 8085.
3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображен квадрат. Найдите
радиус вписанной в него окружности.
Решение.
Радиус вписанной в квадрат окружности равен
половине длины стороны квадрата.
Нетрудно посчитать по клеточкам, что длина
квадрата равна 8 клеток, значит радиус равен 4.
Ответ 4.
4. Перед началом футбольного матча судья бросает
монетку, чтобы определить, какая из команд начнет
игру с мячом. Команда «Сапфир» играет три матча с разными командами. Найдите
вероятность того, что в этих матчах команда «Сапфир» начнет игру с мячом не более
одного раза.
Решение.
Пусть команда «Сапфир» начнет игру с мячом в каком-то из трех матчей,
вероятность этого события равна 0,5. В следующем матче, по условию, команда
должна уступить, снова с вероятностью 0,5. И в третьем матче должно произойти то
же самое, вероятность 0,5. Поскольку события связаны, то необходимо перемножить
вероятности:
Ответ: 0,125.
5. Найдите корень уравнения
.
Решение.
ОДЗ: , . Переходим к равенству аргументов:
Ответ: –4.
6. В треугольнике АВС угол С равен 90°,
, . Найдите .
Решение.
Ответ: 0,6.
7. На рисунке изображены график функции
и касательная к нему в точке с абсциссой
.
Найдите значение производной функции
в точке
.
Решение.
Значение производной функции в точке равно
тангенсу угла наклона касательной к графику
функции в этой точке. Специально отмечены точки
и
. Остается найти тангенс угла
прямоугольного треугольника
с вершиной в точке
.
Ответ: 1,5.
8. В прямоугольном параллелепипеде
известно, что , ,
.
Найдите объем многогранника, вершинами которого
являются точки А, В, С, D,
,
.
Решение.
Указанный многогранник занимает ровно половину
объема исходного параллелепипеда. Действительно,
плоскость
«разрезает»
пополам.
Поэтому
Ответ: 60.
9. Найдите значение выражения
.
Решение.
Ответ: 11.
10. Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была
получена зависимость температуры (в К) от времени работы:
где t – время (в мин.),
,
, . Известно, что
при температуре нагревательного элемента свыше 1800 К прибор может испортиться,
поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала
работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.
Решение.
Решим неравенство:
Итак, после 4 минут работы нагревательный элемент достигнет температуры
1800 К, поэтому его следует отключить.
Ответ: 4.
11. Первый час автомобиль ехал со скоростью 115 км/ч, следующие три часа – со
скоростью 45 км/ч, а за тем два часа – со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю
скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Решение.
Ответ: 55.
12. Найдите наименьшее значение функции
на отрезке
.
Решение.
На указанном отрезке функция возрастает, а значит и исходная функция
тоже. Поэтому её наименьшее значение найдется в начале отрезка.
Ответ: –35.
13. а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение.
Замена
. Умножим обе части на :
Возвращаемся к старой переменной
Отбор корней:
Ответ: а) 1/2, 2; б) 1/2.
14. Сечением прямоугольного параллелепипеда
плоскостью α,
содержащей прямую
и параллельной прямой АС, является ромб.
а) Докажите, что грань ABCD – квадрат.
б) Найдите угол между плоскостями α и
, если
, .
Решение.
а) Диагонали ромба перпендикулярны,
проекциями этих диагоналей на плоскость
ABCD являются диагонали прямоугольника
ABCD, которые также должны быть
перпендикулярны. Значит ABCD – квадрат.
б) Из доказанного следует, что
треугольники BCN, BAM,
,
равны по катету и гипотенузе, откуда M и N
являются серединами рёбер
и
соответственно.
Проведем перпендикуляр из M к плоскости
– MK. Из точки K проведем
перпендикуляр к BN, получим точку Н. Угол MHK – искомый линейный угол между
плоскостями.
Из треугольника BKN с катетами 3 и 4 находим высоту
По построению , поэтому угол MHK найдется:
Ответ: а) ч.т.д.; б)
.
15. Решите неравенство
Решение.
Пусть
.
Возвращаемся к старой переменной. Исходное неравенство равносильно
совокупности:
Ответ:
.
16. В треугольнике ABC точки
,
и
– середины сторон ВС, АС и АВ
соответственно, АН – высота, , .
а) Докажите, что точки
,
,
и Н лежат на одной окружности.
б) Найдите
, если
.
Решение.
а)
– медиана прямоугольного треугольника АНС, поэтому
Из равенства треугольников
,
,
,
следует
Значит около четырехугольника
можно описать окружность.
б) По теореме синусов находим:
Тогда
По теореме косинусов для треугольника
:
Ответ: а) ч.т.д.; б) 1.
17. Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят
тыс. рублей в
конце года
. В конце любого года пенсионный фонд может продать
ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого
следующего года сумма на счёте будет увеличиваться в раз. Пенсионный фонд
хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года
сумма на его счёте была наибольшей. Расчеты показали, что для этого ценные бумаги
нужно продавать строго в конце двадцать первого года. При каких положительных
значениях это возможно?
НЕПРАВИЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ.
Выражение для суммы на счёте:
Считаем производную, ищем точку максимума:
По условию, максимум достигается в конце 21 года, поэтому составим двойное
неравенство:
НЕПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:
.
ПРАВИЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ.
За год ценные бумаги увеличиваются в цене в
Видно, что относительное увеличение стоимости замедляется с каждым годом.
Продавать бумаги и класть деньги в банк имеет смысл в том случае, когда в банке
прирост за год (а, значит, и за все последующие годы) станет больше.
По условию, продавать бумаги нужно в конце 21-го года, значит, за 21-ый год
прирост стоимости ценных бумаг еще больше банковского процента, а в 22-м году –
уже нет. Записываем:
21-ый год:
22-й год:
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:
.
18. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система
неравенств
имеет хотя бы одно решение на отрезке
.
Решение.
Рассмотрим семейства следующих графиков:
Неравенство будет выполняться хотя бы для одного из
в том случае,
если прямая будет иметь общую точку с фигурой, ограниченной осью и
линиями , для всех . Это достигается при всех
.
Из аналогичных рассуждений для получаем
.
Неравенство будет выполняться хотя бы для одного из
в том случае,
если прямая будет иметь общую точку с фигурой, ограниченной
осью и линиями , для всех . Это достигается при всех .
Пересекая полученные неравенства, получаем ответ.
Ответ:
.
19. На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение
любых двух из которых больше 40 и меньше 100.
а) Может ли на доске быть 5 чисел?
б) Может ли на доске быть 6 чисел?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их
четыре?
Решение.
а) Да, например 6, 7, 8, 9, 10.
б) Нет. Если попытаться добавить число к набору 6, 7, 8, 9, 10, которое будет
меньше 6, то произведение этого числа и 6 будет меньше 40. А если к этому же набору
прибавить число, большее 10, то произведение этого числа и 10 будет больше 100.
в) 35. Докажем, что четыре подходящих числа 7, 8, 9, 11 обладают наибольшей
суммой среди всех подходящих четверок чисел. Этот набор можно изменить, заменив
7 на 6 – сумма будет меньше. Также можно заменить 11 на 10 – снова получим
уменьшение. А вот заменять число из данного набора на число, которое будет больше
11 нельзя: произведение этого числа и 10 будет больше 100. Поэтому данная четверка
обладает наибольшей суммой.
Ответ: а) да; б) нет; в) 35.
4ege.ru
Математика - еще материалы к урокам:
- Конспект урока "Наглядная геометрия" (повторение)"" 2 класс
- Презентация "Число 10"
- Конспект урока "Число 10"
- Конспект урока "Когда известен результат разностного сравнения" 4 класс
- Конспект урока "Сумма углов треугольника"
- Конспект урока "Время. Единицы времени: час, минута. Соотношение между ними" 2 класс
