Презентация "Малоизвестные теоремы планиметрии"

Скачать материал

Подписи к слайдам:

МАЛОИЗВЕСТНЫЕ ТЕОРЕМЫ ПЛАНИМЕТРИИ

Учитель математики Потапова Ф.Ф. . 2014-2015 уч. год.

Методическая разработка

§ Медиана прямоугольного треугольника.

Теорема. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Теорема (обратная). Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.

Пример: Точка D – середина гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС.

Пример: Точка D – середина гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС.
Окружность, вписанная в треугольник ACD, касается отрезка CD, в его середине.
Найдите острые углы треугольника ABC.

Решение.
Пусть L – точка касания вписанной окружности с DC;
K – точка касания вписанной окружности с AD;
M – точка касания вписанной окружности с AC.
∆ADC – равнобедренный, т.к. DC – медиана прямоугольного треугольника.
Известно, что DL=LC. При этом KD=DL
AK=LC, т.к. ∆ADC – равнобедренный.
AK=AM, MC=LC – как отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки.
Тогда KD=DL=LC=MC=AK=AM, то есть треугольник равносторонний.
Тогда AD=DC=AC, DAC= DCA= ADC=60˚.

Таким образом, в ∆ABC A=60˚
B=90˚- 60˚=30˚
Ответ: 60˚, 30˚.

Пример. Через основание биссектрисы AD равнобедренного треугольника ABC с вершиной

Пример. Через основание биссектрисы AD равнобедренного треугольника ABC с вершиной
В проведен перпендикуляр к этой биссектрисе, пересекающей прямую АС в точке Е.
Найдите отрезок АЕ, если известно, что СD=4.
Решение.
Отметим середину М отрезка AE. Отрезок DM – медиана прямоугольного треугольника ADE,
проведенная из вершины прямого угла, поэтому AM=DM=ME.
Обозначим,
значит, треугольник CDM равнобедренный. Следовательно, AE=2DM=2DC=8.
Ответ: 8.

§ Биссектриса.

Утверждение. Квадрат биссектрисы треугольника равен произведению сторон, её заключающих, без произведения отрезков третьей стороны, на которые она разделена биссектрисой.

Доказательство.
Пусть М – точка пересечения продолжения биссектрисы АК треугольника АВС с описанной около этого треугольника окружностью. Тогда треугольник АСК подобен треугольнику АМВ по двум углам. Поэтому
Следовательно,

(

§ Пересекающиеся окружности.

Утверждение. Линия центров пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде и делит её пополам.

Доказательство.
Пусть АВ – общая хорда пересекающихся окружностей с центрами Точки равноудалены от концов отрезка АВ, поэтому - серединный перпендикуляр к отрезку АВ, чтд.

§ Окружности, связанные с треугольником и четырёхугольником.

Утверждение 1. Если вписанная окружность касается стороны АВ треугольника АВС в точке М, то АМ=р-а, где р – полупериметр треугольника АВС, а а=ВС.

Доказательство. Обозначим АС=b, AB=c. Пусть К и L – точки касания вписанной окружности со сторонами АС и ВС соответственно. Тогда,
откуда

Утверждение 2. Если окружность касается стороны ВС треугольника АВС, продолжения стороны АВ в точке N и продолжения стороны АС, то АN=р, где р – полупериметр треугольника.

Утверждение 2. Если окружность касается стороны ВС треугольника АВС, продолжения стороны АВ в точке N и продолжения стороны АС, то АN=р, где р – полупериметр треугольника.

Доказательство. Пусть окружность касается стороны ВС в точке Р, а продолжения стороны АС – в точке Q. Тогда
откуда AN=p.

Утверждение. Если р – полупериметр треугольника , r – радиус его вписанной окружности, а – радиус вневписанной окружности, касающейся стороны, равной а, то

Утверждение. Если р – полупериметр треугольника , r – радиус его вписанной окружности, а – радиус вневписанной окружности, касающейся стороны, равной а, то

Доказательство (формулы 2). Обозначим BC=a, AC=b, AB=c. Пусть - центр вневписанной окружности треугольника ABC, касающейся стороны ВС; P, N и Q – точки касания этой окружности со стороной ВС и продолжениями сторон АВ и АС соответственно. Тогда
, чтд.

Презентация "Малоизвестные теоремы планиметрии"

Подписи к слайдам:

Геометрия - еще материалы к урокам:

Предметы

Похожие материалы