Ученики на Учителя.com


Презентация "Теоремы Чевы и Менелая" 10 класс

Скачать материал
Подписи к слайдам:
Презентация к уроку
  • Геометрия 10 класс
  • Теоремы Чевы и Менелая
  • Учитель математики
  • МБОУ лицей №90 Корнилова Т. Ю.
  • 2010г.
Теоремы Чевы и Менелая
  • «Обладая литературой более обширной, чем алгебра и арифметика вместе взятые, и по крайней мере столь же обширной, как анализ, геометрия в большей степени чем любой другой раздел математики, является богатейшей сокровищницей интереснейших, но полузабытых вещей, которыми спешащее поколение не имеет времени насладиться». Е. Т. Белл.
ЧЕВИАНА
  • Отрезок, соединяющий вершину треугольника с некоторой точкой на противоположной стороне, называется чевианой.
  • Таким образом, если в треугольнике АВС X, Y и Z- точки, лежащие на сторонах ВС, СА, АВ соответственно, то отрезки АX, ВY, СZ являются чевианами.
  • Этот термин происходит от имени итальянского математика Джованни Чевы, который в 1687 году опубликовал следующую очень полезную теорему
Теорема Чевы
  • Если три чевианы АX, ВY, СZ ( по одной из каждой вершины ) треугольнка АВС конкурентны, то
  • Когда мы говорим, что три прямые ( или отрезка ) конкурентны, то мы имеем в виду, что все они проходят через одну точку, которую обозначим через Р.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
  • Для доказательства теоремы Чевы вспомним, что площади треугольников с равными высотами пропорциональны основаниям треугольников.
  •  Ссылаясь на рисунок, мы имеем
  • Теперь, если мы перемножим их, то получим
  • .
Теорема Менелая:
  • Пусть точка А1 лежит на стороне ВС треугольника АВС, точка С1 – на стороне АВ, точка В1 – на продолжении стороны АС за точку С. Точки А1,В1 иС1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство
  • А
  • В1
  • В
  • С
  • А1
  • С1
  • Эта теорема Входит в золотой фонд древнегреческой математики. Она дошла до нас в арабском переводе книги «Сферика» Менелая Александрийского. Равенство Менелая можно записывать, начиная с любой вершины треугольника, в любом направлении ( по часовой стрелке, против часовой стрелки ).
Задача 1. В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NC = 3BN; на продолжении стороны АС за точку А взята точка М так, что МА=АС. Прямая MN пересекает сторону АВ в точке F. Найдите: отношение Решение
  • По условию задачи МА = АС, NC = 3BN. Пусть МА = АС = b,
  • BN = k, NC = 3k. Прямая MN пересекает две стороны треугольника АВС и продолжение третьей. По теореме Менелая
  • В
  • F
  • C
  • А
  • M
  • N
  • k
  • 3k
  • b
  • b
  • Ответ:2:3.
  • Задача 2.
  • Пусть AD – медиана треугольника АВС. На стороне AD взята точка K так, что AK:KD=3:1. Прямая ВК разбивает треугольник АВС на два. Найдите отношение площадей этих треугольников.

Геометрия - еще материалы к урокам: