Презентация "Теорема Чевы, теорема Менелая" 7-9 классы

«Теорема Чевы, теорема Менелая» Кирина Ольга Владимировна, МБОУ СОШ №3 г. Ногинск Московская область учитель математики Поповкина Анастасия, МБОУ СОШ №3 г. Ногинск Московская область ученица 10 «А» класса Джованни Чева

• Джованни Чева (Giovanni Ceva) родился в 1647 году в Италии. Он окончил иезуитский колледж в Милане, после чего стал студентом Университета в Пизе, где позже и стал работать профессором математики.
• С 1686 года Чева работал в Университете в Мантуе, оставаясь на этом посту до самого конца своей жизни. Кстати, брат Джованни, Томасо Чева, также был довольно талантливым и известным математиком, а также поэтом.

Большую часть жизни Чева изучал геометрию, стараясь возродить греческую геометрию; кроме того, сегодня его помнят и по изысканиям в области механики.

• Большую часть жизни Чева изучал геометрию, стараясь возродить греческую геометрию; кроме того, сегодня его помнят и по изысканиям в области механики.
• В 1678-м Чева опубликовал свою, ставшую знаменитой, теорему «О взаимнопересекающихся прямых» о синтетической геометрии треугольника; теорема эта впоследствии получила его имя - теорема Чевы.
• Теорема эта сегодня является классической теоремой геометрии треугольника. Говоря простым языком, Чева изобрел некий общий метод, позволяющий по положению точек на сторонах треугольника определять, пересекается ли соответствующая тройка прямых в одной точке или нет. Она аффинная, то есть теорема эта может быть сформулирована используя только характеристики сохраняющиеся при аффинных преобразованиях. Кстати, отрезок, соединяющий вершину треугольника с некоторой точкой на противоположной стороне, называется чевианой - также по имени Джованни Чевы.
• Можно сказать, что эта теорема служит фундаментом всей геометрии треугольника.

Аффи́нное преобразование-отображение плоскости или пространства в себя, при котором параллельные прямые переходят в параллельные прямые.

Известно, что опубликовал ученый не только свои теоремы, но и доработал и популяризировал теоремы Менелая.

• Известно, что опубликовал ученый не только свои теоремы, но и доработал и популяризировал теоремы Менелая.
• Известно, что Джованни был и инженером-гидравликом, а также экономистом, и несколько раз ему довелось поработать на правительство Мантуи, был он правительственным комиссаром Мантуанского герцогства. В 1728 году он обсуждал проблемы в гидравлике.
• Джованни Чева умер 15 июня 1734 года, в возрасте 85 лет; смерть его последовала во время осады Мантуи франко-сардинской армией.

• Чева и сегодня считается не только выдающимся математиком, но и талантливым автором в области экономики - именно он применил математику к экономике и стал первым математическим писателем по этому предмету.

Теорема Чевы

• Пусть в ∆ABC на сторонах BC,AC,AB или их продолжениях взяты соответственно точки A1, B1 и C1,не совпадающие с вершинами треугольника. Прямые A A1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда выполняется равенство:

Доказательство

• Пусть отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в точке О. Докажем, что (1) По теореме о пропорциональных отрезках в треугольнике имеем:
И Левые части этих равенств одинаковы, значит, равны и правые части. Приравнивая их, получаем Разделив обе части на правую часть, приходим к равенству (1)

О

Утверждение обратное теореме:

• Пусть для точек А1, В1, С1, взятых на соответствующих сторонах треугольника ABC. Выполняется равенство(1).Докажем, что отрезки АА1,BB1,СС1 пересекаются в одной точке. Обозначим точку пересечения отрезков АА1 и ВВ1 через О и проведем прямую СО. Она пересекает сторону АВ в точке С2. Т.к. отрезки АА1,ВВ1 и СС2 пересекаются в одной точке, то на основании доказанного в первом пункте
(2) Итак, имеют место равенства (1) и (2) Сопоставляя их, приходим к равенству ,которое показывает, что точки С1 и С2 совпадают, и, значит, отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в точке О. Теорема доказана.

О

Теорема Чевы и её следствия

• Следствие 1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

• Следствие 2. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

• Следствие 3. Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Теорема Чевы и ее следствия

• Следствие 4. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

• Следствие 5. Прямые, соединяющие вершины треугольника с точками, в которых вписанная окружность касается противоположных сторон, пересекаются в одной точке.

Решение задач

• Доказательство: Пусть АМ1, ВМ2, СМ3 – медианы треугольника АВС. Чтобы доказать, что эти отрезки пересекаются в одной точке, достаточно показать, что
Тогда по теореме Чевы (обратной) отрезки АМ1, ВМ2 и СМ3 пересекаются в одной точке. Имеем: Итак, доказано, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. Пусть О – точка пересечения медиан. Прямая М3С пересекает две стороны треугольника АВМ2 и продолжение третьей стороны этого треугольника. По теореме Менелая или Рассматривая теорему Менелая для треугольников АМ1С и АМ2С, мы получаем, что Теорема доказана.

•  

Докажите теорему: Медианы треугольника пересекаются в одной точке; точка пересечения делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Докажите теорему: Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке

• Доказательство: Достаточно показать, что =1. Тогда по теореме Чевы (обратной) AL1, BL2, CL3 пересекаются в одной точке. По свойству биссектрис треугольника:
• .
• . Перемножая почленно полученные равенства, получаем:
Итак, для биссектрис треугольника равенство Чевы выполняется, следовательно, они пересекаются в одной точке. Теорема доказана.

•  

Менелай Александрийский

• Менела́й Александри́йский- древнегреческий математик и астроном (ок. 100 г. н. э.). Автор работ по сферической тригонометрии: 6 книг о вычислении хорд и 3 книги «Сферики» (сохранились в арабском переводе). Тригонометрия у Менелая отделена от геометрии и астрономии. Арабские авторы упоминают также о книге Менелая по гидростатике.

Книга «Сферика»

• Главное сочинение Меналая — «Сферика» в трёх книгах. Его греческий оригинал утрачен, и содержание его известно по арабским, а также последующим вторичным латинским и еврейским переводам.
• В I книге «Сферики» дается определение сферического треугольника и связанных с ним понятий. В 39 предложении этой книги речь идёт о свойствах сферических треугольников.
• В 21 предложении II книги рассматриваются свойства системы параллельных кругов на сфере при пересечении их разными большими кругами — как проходящими через общие полюсы этого семейства, так и наклонными по отношению к этим полюсам. Эта книга опирается на «Сферику» Феодосия.

• Книге III предшествуют леммы о составных отношениях, на которых строятся дальнейшие доказательства. Эта книга открывается теоремой о полном четырёхстороннике (известной также как «теорема шести величин» или «теорема о трансверсалях»). Она доказывается сначала для плоского случая, а затем переносится центральным проектированием на сферу. При этом Менелай формулирует её сферический вариант не на языке отношений синусов, как это стали делать впоследствии Ибн Ирак и другие математики стран ислама, но на языке отношений хорд.

Теорема Менелая

• Пусть на сторонах AB, BC и на продолжении стороны AC (либо на продолжениях сторон AB,BC и AC) ∆ABC взяты соответственно точки C1,A1 и B1, не совпадающие с вершинами ∆ABC . Точки A1, B1, C1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство:

Доказательство

• Пусть точки А1, В1 и С1 лежат на одной прямой. Докажем, что
(3) Проведем прямые AD,BM и CN параллельно прямой В1А1. Согласно обобщению теоремы Фалеса имеем: и
• Перемножая левые и правые части этих равенств, получаем:
, откуда

C

B

A

 

 

 

D

N

M

Утверждение обратное теореме

• Пусть точка В1 взята на продолжении стороны АС, а точки С1 и А1-на сторонах АВ и ВС, причем так, что выполнено равенство
• Докажем, что точки А1, В1 и С1 лежат на одной прямой.

А

С

 

B

 

 

Доказательство

• Прямая В1С1 пересекает сторону ВС в некоторой точке А2.Т.к точки В1,С1 и А2 лежат на одной прямой, то по теореме Менелая
(4)
• Сопоставляя (3) и (4),приходим к равенству , которое показывает, что точки А1 и А2 делят сторону ВС в одном и том же отношении. Следовательно, точки А1 и А2 совпадают, и, значит, точки А1, В1 и С1 лежат на одной прямой.

 

A

B

C

 

 

Решение задач

• В треугольнике АВС АD – медиана, точка О – середина медианы. Прямая ВО пересекает сторону АС в точке К. В каком отношении точка К делит АС, считая от точки А?

• Решение: Пусть ВD = DС = а, АО = ОD = m. Прямая ВК пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника АDС. По теореме Менелая

•  

В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NС = 3ВN; на продолжении стороны АС за точку А взята точка М так, что МА = АС. Прямая МN пересекает сторону АВ в точке F. Найдите отношение .

• В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NС = 3ВN; на продолжении стороны АС за точку А взята точка М так, что МА = АС. Прямая МN пересекает сторону АВ в точке F. Найдите отношение .

•  

• Решение:
По условию задачи МА = АС, NС = 3 ВN. Пусть МА = АС = b, BN = k, NC = 3k. Прямая МN пересекает две стороны треугольника АВС и продолжение третьей. По теореме Менелая

•  

На стороне PQ треугольника PQR взята точка N, а на стороне РR – точка L, причем NQ = LR. Точка пересечения отрезков QL и NR делит QR в отношении m : n, считая от точки Q. Найдите PN : PR.

• На стороне PQ треугольника PQR взята точка N, а на стороне РR – точка L, причем NQ = LR. Точка пересечения отрезков QL и NR делит QR в отношении m : n, считая от точки Q. Найдите PN : PR.

• Решение: По условию NQ = LR,
Пусть NA = LR = a, QF =km, LF = kn. Прямая NR пересекает две стороны треугольника PQL и продолжение третьей. По теореме Менелая

•  

Решение:

• Решение:
Пусть АD = DC = a, KD = m, тогда АК = 3m. Пусть Р – точка пересечения прямой ВК со стороной АС. Необходимо найти отношение . Так как треугольники АВР и РВС имеют равные высоты, проведенные из вершины В, то . По теореме Менелая для треугольника ADC и секущей РВ имеем: 1; Итак,

•  

• Пусть АD – медиана треугольника АВС. На стороне АD взята точка К так, что АК : КD = 3 : 1. Прямая ВК разбивает треугольник АВС на два. Найдите отношение площадей этих треугольников.

Вывод

• Теоремы Чевы и Менелая не изучаются в основном курсе геометрии 7 –9 классов. Но трудности, связанные с освоением этих теорем, оправданы их применением при решении задач. Решение задач с помощью теорем Чевы и Менелая более рационально, чем их решение другими способами, требующими дополнительных действий и построений, которые не всегда оказываются очевидными. Решение задач с помощью этих теорем развивает мышление и логику учеников.

Литература:

• Литература:
• Геометрия.10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / А.В.Погорелов.-12-е изд.-М.:Просвещение,2012
• https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B5%D0%B2%D0%B0,_%D0%94%D0%B6%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%B8;
• https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%A7%D0%B5%D0%B2%D1%8B;
• https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D0%BB%D0%B0%D0%B9;
• https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%9C%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D0%BB%D0%B0%D1%8F;
• http://festival.1september.ru/articles/414201/;